Вычисление пределов степенно-показательных функций
Пусть функции 
и 
заданы на множестве 
и функция 
на нем положительна. Функция
называется степенно — показательной.
Предположим, что 
– точка сгущения множества 
и существуют конечные пределы
, 
,
где 
. Нужно найти
.
Воспользовавшись тождествами 
, запишем исходное выражение в виде
.
В силу теоремы 6.1 получим
.
При заданных значениях пределов будем иметь
.
Из проведенного рассуждения видно, что предположение о существовании конечных пределов 
и 
можно отбросить. Действительно, для нахождения предела выражения 
достаточно знать предел произведения 
(конечный или бесконечный).
1) Пусть 
. Тогда 
.
2) Если 
, то 
.
3) Если 
, то 
.
Заметим, что произведение 
может оказаться неопределенностью типа 
. Тогда и исходное выражение 
представляет собой неопределенность. Перечислим возникающие здесь неопределенности.
1) Если 
, то вычисление предела 
приводит к неопределенности типа 
.
2) Если 
, то вычисление предела 
приводит к неопределенности типа 
.
3) Если 
, то вычисление предела 
приводит к неопределенности типа 
.
Во всех указанных случаях (
, 
, 
) можно раскрыть неопределенность 
в показателе степени, преобразуя ее к типу 
и используя соответствующие эквивалентные бесконечно малые.
Замечание 8.3. Приведенные выше рассуждения справедливы и для вычисления предела степенно-показательной функции в бесконечно удаленной точке: 
.
Пример 8.2. Вычислить 
.
Решение. Здесь 
, 
, поэтому имеем неопределенность типа 
. Преобразуем выражение под знаком предела:
.
В показателе степени имеем неопределенность типа 
. Заменой 
при 
на эквивалентную бесконечно малую 
раскрываем ее:
.
.
Замечание 8.4. Аналогично доказывается равенство 
.
,
образуют две формы одного и того же равенства, которое также является замечательным пределом и часто служат определением числа 
.
Задачи к §8
Задача 1. Вычислить 
.
Решение. Здесь имеем неопределенность типа 
. Преобразуем числитель дроби к форме произведения:
.
Затем заменим бесконечно малую в точке 
функцию 
эквивалентной бесконечно малой 
.
.
Ответ: 
.
Задача 2. Вычислить 
.
Решение. Здесь возникает неопределенность типа 
. Преобразуем знаменатель, воспользовавшись свойствами логарифмической функции, и выделим в аргументе логарифма слагаемое, равное 1:
.
Заменим бесконечно малую в точке 
функцию 
эквивалентной бесконечно малой 
. Числитель разложим на множители:
.
.
Ответ: 
.
Задача 3. Вычислить 
.
Решение. Здесь возникает неопределенность типа 
. Представим числитель в виде:
.
Затем заменим его эквивалентной бесконечно малой в точке 
функцией 
.
Функцию 
в точке 
тоже заменим на эквивалентную бесконечно малую 
.
.
Ответ: 
.
Задача 4. Вычислить 
.
Решение. Здесь возникает неопределенность типа 
. Представим числитель в виде:
.
Затем заменим его эквивалентной бесконечно малой в точке 
функцией 
.
и заменим его на эквивалентную бесконечно малую 
. Тогда получим
.
Ответ: 
.
Задача 5. Вычислить 
.
Решение. Здесь возникает неопределенность типа 
. Числитель 
можно заменить эквивалентной бесконечно малой 
.
Чтобы воспользоваться соотношением (8.4), преобразуем знаменатель:
и заменим его эквивалентной бесконечно малой 
.
.
Ответ: 
.
Задача 6. Вычислить 
.
Решение. Здесь имеем неопределенность типа 
. Чтобы применить к выражению 
соотношение (8.3), представим его в виде:
,
и заменим бесконечно малую функцию 
эквивалентной бесконечно малой 
. Знаменатель же представим в виде:
и, используя соотношения (8.2) и (8.8), заменим его эквивалентной бесконечно малой 
. Учитывая проведенные выкладки и соотношение (8.4), получим:
.
Ответ: 
.
Задача 7. Вычислить 
.
Решение. Здесь имеем неопределенность типа 
. Используя ряд приемов, примененных в задачах 1–7, получим
.
Ответ: 
.
Задача 8. Вычислить 
.
Решение. Здесь имеем неопределенность типа 
. Используя ряд приемов, примененных в задачах 1–7 и формулы приведения для тригонометрических функций, получим
.
Ответ: 
.
Задача 9. Вычислить 
.
Решение. Здесь имеем неопределенность типа 
. Чтобы применить к числителю соотношение (8.2), преобразуем его следующим образом:
.
Теперь числитель согласно соотношению (8.2) можно заменить эквивалентной бесконечно малой 
.
.
Заменяем, используя соотношение (8.1), 
эквивалентной бесконечно малой 
.
.
Ответ: 
.
Задача 10. Вычислить 
.
Решение. Здесь имеем неопределенность типа 
. Используя приемы, описанные выше, получим
.
Ответ: 
.
Задача 11. Вычислить 
.
Решение. Здесь имеем неопределенность типа 
. Используя теоремы 6.2 и 6.1, получим
.
Получили неопределенность типа 
. Преобразуем выражение с помощью формул приведения, затем переходим к эквивалентным бесконечно малым. В итоге получим
.
Ответ: 
.
Задача 12. Вычислить 
.
Решение. Здесь имеем неопределенность типа 
. Выделим 
в основании степени:
.
Заметим, что 
при 
.
Справедлива цепочка равенств
.
Заменяя логарифм эквивалентной бесконечно малой согласно соотношению (8.2) и используя замечание 6.4 для раскрытия неопределенности, получим
.
Ответ: 
.
Задача 13 4 . Вычислить 
.
Решение. Здесь имеем неопределенность типа 
. Введем переменную 
. Если 
, то 
.
.
Выделим 
в основании степени:
,
.
Заметим, что 
при 
. Заменим функцию 
эквивалентной бесконечно малой 
, будем иметь
.
Используя теорему 7.3, окончательно получим
.
Ответ: 
.
Задача 14. Вычислить 
.
Решение. Здесь возникает неопределенность типа 
. Поскольку
,
вычислим сначала 
. Мы имеем дело с неопределенностью типа 
.
Воспользовавшись последовательно соотношениями (8.2) и (8.1), будем иметь
.
Ответ: 
.
Задача 15. Вычислить 
.
Решение. Здесь возникает неопределенность типа 
. Воспользуемся формулой
.
Вычислим предел, стоящий в показателе степени. Для этого требуется раскрыть неопределенность типа 
. Преобразуем ее в неопределенность типа 
и воспользуемся эквивалентностью бесконечно малых:
.
Ответ: 
.
Задача 16. Вычислить 
.
Решение. Здесь возникает неопределенность типа 
. Преобразуем исходное предельное выражение
.
Вычислим предел, стоящий в показателе степени.
.
Ответ: 
.
Предел показательно степенной функции, примеры нахождения
В процессе нахождения предела показательно-степенной функции типа lim x → x 0 ( f ( x ) ) g ( x ) часто работаем с такими степенными неопределенностями, как 1 ∞ , 0 0 , ∞ 0 .
Для их раскрытия необходимо задействовать логарифмирование a = e ln ( a ) , свойство логарифма a · ln ( b ) = ln ( b a ) и применение его предела заданной непрерывной функции, причем ее знак разрешено менять местами.
Для этого производятся преобразования вида:
lim x → x 0 ( f ( x ) ) g ( x ) = e ln lim x → x 0 f ( x ) ) g ( x ) = e lim x → x 0 ( ln ( f ( x ) ) g ( x ) = e lim x → x 0 ( g ( x ) ln ( f ( x ) ) ) = = e lim x → x 0 ln ( f ( x ) ) 1 g ( x )
Отсюда видно, что задание приводится к нахождению предела заданной функции вида e lim x → x 0 ln ( f ( x ) ) 1 g ( x ) = ∞ ∞ или 0 0 .
Данный случай рассматривает методы:
- непосредственного вычисления;
- использования правила Лопиталя;
- с заменой эквивалентных бесконечно малых функций;
- применение первого замечательного предела.
Для того, чтобы неопределенность была раскрыта, необходимо применять второй замечательный предел, при наличии 1 ∞ .
Рассмотрим теорию на элементарных примерах заданий.
Найти предел заданной функции lim x → 0 ( x 3 + 2 x + 1 ) 3 2 x 3 + x .
Для решения необходимо произвести подстановку. Получаем :
lim x → 0 ( x 3 + 2 x + 1 ) 3 2 ( x 3 + x ) = ( 0 3 + 2 · 0 + 1 ) 3 2 ( 0 3 + 0 ) = 1 ∞
Получение единицы в степени бесконечность называют неопределенностью, значит, необходимо решить другим методом.
Следует произвести преобразования данного предела. Получаем:
lim x → 0 ( x 3 + 2 x + 1 ) 3 2 ( x 3 + x ) = e ln lim x → 0 ( x 3 + 2 x + 1 ) 3 2 ( x 3 + x ) = = e lim x → 0 ln ( x 3 + 2 x + 1 ) 3 2 ( x 3 + x ) = e lim x → 0 3 ln ( x 3 + 2 x + 1 ) 2 ( x 3 + x )
Видим, что преобразование сводится к пределу вида lim x → 0 3 ln ( x 3 + 2 x + 1 ) 2 ( x 3 + x ) .
lim x → 0 3 ln ( x 3 + 2 x + 1 2 ( x 3 + x ) = 0 0 = 3 2 lim x → 0 ln ( x 3 + 2 x + 1 ) x 3 + x = = 3 2 lim x → 0 x 3 + 2 x x 3 + x = 3 2 lim x → 0 x 2 + 2 x 2 + 1 = 3 2 · 0 2 + 2 0 2 + 1 = 3
Данные преобразования были выполнены при помощи применения замены логарифма на эквивалентную бесконечно малую функцию.
Тогда исходный предел принимает вид lim x → 0 ( x 2 + 2 x + 1 ) 3 2 ( x 3 + x ) = e 3 .
Вычисление данного предела возможно с применением второго замечательного предела. Тогда получаем:
lim x → 0 ( x 2 + 2 x + 1 ) 3 2 ( x 3 + x ) = lim x → 0 ( 1 + ( x 3 + 2 x ) 1 x 3 + 2 x ( x 3 + 2 x ) 3 2 ( x 3 + x ) = = lim x → 0 ( 1 + ( x 3 + 2 x ) ) 1 x 3 + 2 x 3 ( x 3 + 2 x ) 2 ( x 3 + x ) = lim x → 0 1 + ( x 3 + 2 x ) ) 1 x 3 + 2 x 3 ( x 2 + 2 ) 2 ( x 2 + 1 ) = = lim x → 0 ( 1 + ( x 3 + 2 x ) 1 x 3 + 2 x 3 = e 3
Найти и вычислить предел lim x → π 2 ( t g x ) 2 c o s x
Если произведем подстановку, в результате получим ответ в виде бесконечности в степени ноль, а это является знаком, что необходимо применить другой метод для преобразования. Получаем:
lim x → π 2 ( t g x ) 2 c o s x = ∞ 0 = e ln lim x → π 2 ( t g x ) 2 cos x = = e 2 lim x → π 2 ( t g x ) 2 cos x = e lim x → π 2 ( 2 cos x · ln · ( t g x ) ) = = e 2 lim x → π 2 ln ( t g x ) 1 cos x
Отсюда видно, что решение сводится к переделу lim x → π 2 ln ( t g x ) 1 cos x = ∞ ∞ .
Для дальнейшего преобразования применим правило Лопиталя, так как получили неопределенность в виде частного бесконечностей. Видим, что
lim x → π 2 ln ( t g x ) 1 cos x = ∞ ∞ = lim x → π 2 = ln ( t g x ) ‘ 1 cos ( x ) ‘ = = lim x → π 2 1 t g ( x ) · 1 cos 2 ( x ) sin ( x ) cos 2 ( x ) = lim x → π 2 cos ( x ) sin 2 ( x ) = cos π 2 sin 2 π 2 = 0 1 2 = 0
Отсюда следует, что пределом показательно-степенной функции является результат, полученный при вычислении. Имеем вы предел вида lim x → π 2 ( t g x ) 2 cos x = e 2 · 0 = e 0 = 1 .
Пределы со степенями: показательная, степенная и показательно-степенная функции
Пределы со степенями бывают различных видов в зависимости от положения неизвестной $x$ в пределе. Рассмотрим примеры решений для следующих ситуаций:
- Показательная функция
$$\lim\limits_ - Степенная функция
$$ \lim\limits_ - Показательно-степенная функция
$$\lim\limits_
Подставив точку $x=2$ в предел получим неопределенность $2^<\big(\frac<0><0>\big)>$. Итак, перенесем знак предела в показатель и попробуем его вычислить путем разложения числителя по формуле разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.
Сокращаем числитель со знаменателем на $x-2$ и вычисляем предел степени.
Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
Внесем знак предела внутрь скобок, а степень останется при этом снаружи.
При подстановке точки $x=0$ в предел получаем неопределенность $\frac<0><0>$. Для её устранения воспользуемся таблицей эквивалентностей пределов.
$$\sin x^2 \sim x^2$$ $$ 1-\cos x \sim \frac
Подставляем эквивалентные функции в предел и сокращаем $x$.
Если подставим $x=0$, то получим предел ноль в степени ноль $(0^0)$. Превратим это в другую неопределенность $(\frac<\infty><\infty>)$ с помощью третьей формулы.
Используем правило Лопиталя для продолжения решения. По нему, как известно, предел отношения функций равен пределу отношения производных от этих функций.
Преобразуем числитель в нормальный вид с помощью формулы $tg \; x = \frac<\sin x><\cos x>$ и выполняем все необходимые сокращения.
Замечательные пределы.
Примеры решений
Продолжаем наш разговор на тему Пределы и способы их решения. Перед изучением материалов данной страницы настоятельно рекомендую ознакомиться со статьей Пределы. Примеры решений. Из вышеуказанной статьи Вы сможете узнать, что же такое предел, и с чем его едят – это ОЧЕНЬ важно. Почему? Можно не понимать, что такое определители и успешно их решать, можно совершенно не понимать, что такое производная и находить их на «пятёрку». Но вот если Вы не понимаете, что такое предел, то с решением практических заданий придется туго. Также не лишним будет ознакомиться с образцами оформления решений и моими рекомендациями по оформлению. Вся информация изложена в простой и доступной форме.
А для целей данного урока нам потребуются следующие методические материалы: Замечательные пределы и Тригонометрические формулы. Их можно найти на странице Математические формулы, таблицы и справочные материалы. Лучше всего методички распечатать – это значительно удобнее, к тому же к ним часто придется обращаться в оффлайне.
Чем же замечательны замечательные пределы? Замечательность данных пределов состоит в том, что они доказаны величайшими умами знаменитых математиков, и благодарным потомкам не приходится мучаться страшными пределами с нагромождением тригонометрических функций, логарифмов, степеней. То есть при нахождении пределов мы будем пользоваться готовыми результатами, которые доказаны теоретически.
Замечательных пределов существует несколько, но на практике у студентов-заочников в 95% случаев фигурируют два замечательных предела: Первый замечательный предел, Второй замечательный предел. Следует отметить, что это исторически сложившиеся названия, и, когда, например, говорят о «первом замечательном пределе», то подразумевают под этим вполне определенную вещь, а не какой-то случайный, взятый с потолка предел.
Первый замечательный предел
Рассмотрим следующий предел: (вместо родной буквы «хэ» я буду использовать греческую букву «альфа», это удобнее с точки зрения подачи материала).
Согласно нашему правилу нахождения пределов (см. статью Пределы. Примеры решений) пробуем подставить ноль в функцию: в числителе у нас получается ноль (синус нуля равен нулю), в знаменателе, очевидно, тоже ноль. Таким образом, мы сталкиваемся с неопределенностью вида , которую, к счастью, раскрывать не нужно. В курсе математического анализа, доказывается, что:
Данный математический факт носит название Первого замечательного предела. Аналитическое доказательство предела приводить не буду, а вот его геометрический смысл рассмотрим на уроке о бесконечно малых функциях.
Нередко в практических заданиях функции могут быть расположены по-другому, это ничего не меняет:
– тот же самый первый замечательный предел.
! Но самостоятельно переставлять числитель и знаменатель нельзя! Если дан предел в виде , то и решать его нужно в таком же виде, ничего не переставляя.
На практике в качестве параметра может выступать не только переменная , но и элементарная функция, сложная функция. Важно лишь, чтобы она стремилась к нулю.
Здесь , , , , и всё гуд – первый замечательный предел применим.
А вот следующая запись – ересь:
Почему? Потому что многочлен не стремится к нулю, он стремится к пятерке.
Кстати, вопрос на засыпку, а чему равен предел ? Ответ можно найти в конце урока.
На практике не все так гладко, почти никогда студенту не предложат решить халявный предел и получить лёгкий зачет. Хммм… Пишу эти строки, и пришла в голову очень важная мысль – все-таки «халявные» математические определения и формулы вроде лучше помнить наизусть, это может оказать неоценимую помощь на зачете, когда вопрос будет решаться между «двойкой» и «тройкой», и преподаватель решит задать студенту какой-нибудь простой вопрос или предложить решить простейший пример («а может он (а) все-таки знает чего?!»).
Переходим к рассмотрению практических примеров:
Если мы замечаем в пределе синус, то это нас сразу должно наталкивать на мысль о возможности применения первого замечательного предела.
Сначала пробуем подставить 0 в выражение под знак предела (делаем это мысленно или на черновике):
Итак, у нас есть неопределенность вида , ее обязательно указываем в оформлении решения. Выражение под знаком предела у нас похоже на первый замечательный предел, но это не совсем он, под синусом находится , а в знаменателе .
В подобных случаях первый замечательный предел нам нужно организовать самостоятельно, используя искусственный прием. Ход рассуждений может быть таким: «под синусом у нас , значит, в знаменателе нам тоже нужно получить ».
А делается это очень просто:
То есть, знаменатель искусственно умножается в данном случае на 7 и делится на ту же семерку. Теперь запись у нас приняла знакомые очертания.
Когда задание оформляется от руки, то первый замечательный предел желательно пометить простым карандашом:
Что произошло? По сути, обведенное выражение у нас превратилось в единицу и исчезло в произведении: 
Теперь только осталось избавиться от трехэтажности дроби: 
Кто позабыл упрощение многоэтажных дробей, пожалуйста, освежите материал в справочнике Горячие формулы школьного курса математики.
Готово. Окончательный ответ:
Если не хочется использовать пометки карандашом, то решение можно оформить так:
Используем первый замечательный предел
Опять мы видим в пределе дробь и синус. Пробуем подставить в числитель и знаменатель ноль:
Действительно, у нас неопределенность и, значит, нужно попытаться организовать первый замечательный предел. На уроке Пределы. Примеры решений мы рассматривали правило, что когда у нас есть неопределенность , то нужно разложить числитель и знаменатель на множители. Здесь – то же самое, степени мы представим в виде произведения (множителей):
Далее, по уже знакомой схеме организовываем первые замечательные пределы. Под синусами у нас , значит, в числителе тоже нужно получить :
Аналогично предыдущему примеру, обводим карандашом замечательные пределы (здесь их два), и указываем, что они стремятся к единице:
Собственно, ответ готов:
В следующих примерах, я не буду заниматься художествами в Пэйнте, думаю, как правильно оформлять решение в тетради – Вам уже понятно.
Подставляем ноль в выражение под знаком предела:
Получена неопределенность , которую нужно раскрывать. Если в пределе есть тангенс, то почти всегда его превращают в синус и косинус по известной тригонометрической формуле (кстати, с котангенсом делают примерно то же самое, см. методический материал Горячие тригонометрические формулы на странице Математические формулы, таблицы и справочные материалы).
В данном случае:
Косинус нуля равен единице, и от него легко избавиться (не забываем пометить, что он стремится к единице):
Таким образом, если в пределе косинус является МНОЖИТЕЛЕМ, то его, грубо говоря, нужно превратить в единицу, которая исчезает в произведении.
Дальше по накатанной схеме, организуем первый замечательный предел:
Здесь все вышло проще, без всяких домножений и делений. Первый замечательный предел тоже превращается в единицу и исчезает в произведении:
В итоге получена бесконечность, бывает и такое.
Пробуем подставить ноль в числитель и знаменатель:
Получена неопределенность (косинус нуля, как мы помним, равен единице)
Используем тригонометрическую формулу . Возьмите на заметку! Пределы с применением этой формулы почему-то встречаются очень часто.
Постоянные множители вынесем за значок предела:
Организуем первый замечательный предел:
Здесь у нас только один замечательный предел, который превращается в единицу и исчезает в произведении:
Избавимся от трехэтажности:
Предел фактически решен, указываем, что оставшийся синус стремится к нулю:
Этот пример сложнее, попробуйте разобраться самостоятельно:
Некоторые пределы можно свести к 1-му замечательному пределу путём замены переменной, об этом можно прочитать чуть позже в статье Методы решения пределов.
Второй замечательный предел
В теории математического анализа доказано, что:
Данный факт носит название второго замечательного предела.
Справка: – это иррациональное число.
В качестве параметра может выступать не только переменная , но и сложная функция. Важно лишь, чтобы она стремилась к бесконечности.
Когда выражение под знаком предела находится в степени – это первый признак того, что нужно попытаться применить второй замечательный предел.
Но сначала, как всегда, пробуем подставить бесконечно большое число в выражение , по какому принципу это делается, разобрано на уроке Пределы. Примеры решений.
Нетрудно заметить, что при основание степени , а показатель – , то есть имеется, неопределенность вида :
Данная неопределенность как раз и раскрывается с помощью второго замечательного предела. Но, как часто бывает, второй замечательный предел не лежит на блюдечке с голубой каемочкой, и его нужно искусственно организовать. Рассуждать можно следующим образом: в данном примере параметр , значит, в показателе нам тоже нужно организовать . Для этого возводим основание в степень , и, чтобы выражение не изменилось – возводим в степень :
Когда задание оформляется от руки, карандашом помечаем:
Практически всё готово, страшная степень превратилась в симпатичную букву :
При этом сам значок предела перемещаем в показатель: 
Далее, отметки карандашом я не делаю, принцип оформления, думаю, понятен.
Внимание! Предел подобного типа встречается очень часто, пожалуйста, очень внимательно изучите данный пример.
Пробуем подставить бесконечно большое число в выражение, стоящее под знаком предела:
В результате получена неопределенность . Но второй замечательный предел применим к неопределенности вида . Что делать? Нужно преобразовать основание степени. Рассуждаем так: в знаменателе у нас , значит, в числителе тоже нужно организовать :
Теперь можно почленно разделить числитель на знаменатель:
Вроде бы основание стало напоминать , но у нас знак «минус» да и тройка какая-то вместо единицы. Поможет следующее ухищрение, делаем дробь трехэтажной:
Таким образом, основание приняло вид , и, более того, появилась нужная нам неопределенность . Организуем второй замечательный предел .
Легко заметить, что в данном примере . Снова исполняем наш искусственный прием: возводим основание степени в , и, чтобы выражение не изменилось – возводим в обратную дробь :
Наконец-то долгожданное устроено, с чистой совестью превращаем его в букву :
Но на этом мучения не закончены, в показателе у нас появилась неопределенность вида , раскрывать такую неопределенность мы научились на уроке Пределы. Примеры решений. Делим числитель и знаменатель на :
А сейчас мы рассмотрим модификацию второго замечательного предела. Напомню, что второй замечательный предел выглядит следующим образом: . Однако на практике время от времени можно встретить его «перевёртыш», который в общем виде записывается так:
Сначала (мысленно или на черновике) пробуем подставить ноль (бесконечно малое число) в выражение, стоящее под знаком предела:
В результате получена знакомая неопределенность . Очевидно, что в данном примере . С помощью знакомого искусственного приема организуем в показателе степени конструкцию :
Выражение со спокойной душой превращаем в букву :
Еще не всё, в показателе у нас появилась неопределенность вида . Раскладываем тангенс на синус и косинус (ничего не напоминает?):
Косинус нуля стремится к единице (не забываем помечать карандашом), поэтому он просто пропадает в произведении:
А что такое и к чему оно стремится, нужно уже знать, иначе «двойка»!
Как видите, в практических заданиях на вычисление пределов нередко требуется применять сразу несколько правил и приемов.
Чтобы окончательно разобраться в пределах функций, и во 2-м замечательном пределе в частности, настоятельно рекомендую ознакомиться с третьим уроком – Методы решения пределов.
В 90-95% на зачете, экзамене Вам встретится первый замечательный предел или второй замечательный предел. Как быть, если попался «экзотический» замечательный предел? (со списком всех замечательных пределов можно ознакомиться в соответствующей методичке). Ничего страшного, практически все приёмы решения 1-го замечательного предела работают и для остальных замечательных пределов, читайте 2-й параграф заключительной статьи Сложные пределы.
Да, так чему же равен предел ?
Если у Вас получился ответ , значит в понимании высшей математики не всё так безнадежно = )
Автор: Емелин Александр
(Переход на главную страницу)
Contented.ru – онлайн школа дизайна
SkillFactory – получи востребованную IT профессию!