Как проверить является ли линейным оператор

2.5. Линейные операторы

ПЛАН РЕШЕНИЯ. ЕСЛИ Х = и у = <2/1,2/2, • • • ,2/п>— произвольные векторы пространства Х„, то ж4-2/ = <^i+T/i, ^2+2/2, • • •, 2^п + 2/п>и аж = .

Проверяем условия линейности оператора:

Если условия линейности выполнены, т.е.

при г = 1,2. п, то оператор Л линеен, в противном случае опера­ тор А нелинеен.

ПРИМЕР . Пусть в некотором базисе линейного пространства Х^ задан произвольный вектор х = <х1,Х2,хз>‘ Является ли линейным оператор А : Х^ ^ Х^ такой, что

РЕШЕНИЕ. Пусть х — и г/ = — произвольные векторы пространства ХзТогда х -\-у — и ах = .

*) Найденные фундаментальные системы решений однородных систем уравне­ ний и частные решения неоднородных систем проверьте с помощью подстановки в уравнения.

Гл. 2. Линейная алгебра

Проверяем условия линейности оператора:

Условия линейности выполнены. Следовательно, оператор А линеен.

Ответ. Оператор А линеен.

Условия ЗАДАЧ. Являются ли линейными операторы А, В иС1

5×2 — Зхз, -2×1 — 3×2 — а^з, 2:2 + Зхз>,

Хз, 2×1 — Х2- 2хз, 3×2 -Ь хз>.

2×1 — 3×2 — 2хз, 2×1 — 3×2,2×2 + 3>,

3X2 — Хз, О, Х2 + Хз>,

2×2 — а:з, 3×1 — 2×2,3×2 + х^>.

2X1 — Х2 — ЗХз, Xi, Xi -h Х2 + Хз>,

Хз, 2×1,3×1 -\-X2-\- Хз>,

Х2 — Хз, 2X1, 3X1 + Х2 — 1>.

2×1 -\-X2-\- 4хз, 2хз, xi — 2×2 — Зхз>,

2×1 -\-X2-\- 4хз, 1, XI — 2×2 + 3>,

5×1 -f 3×2 + Хз, Хз, 2х^ — 2×2 — 4хз>.

XI, 2X1 — Х2 + l,Xi — Х2 — ЗХз>,

Зхз, Xi — Х2 — ЗХз>.

XI + 2×2,3×2 — 4хз, xi — 2×2 — Зхз>,

XI + 2X2,3X2 — 4хз,Х1 — 2X2 — ЗХз>,

XI -h 2X2, 3X2 — 2, Xi — 2X2 — 5>.

2xi,3xi 4-2×2 + 3×3,4×1 + 5×2 + 2хз>,

2xi, 3xi + 2×2 + 3,4×1 + 5×2 + 7>,

2xi, 3xi + 2×2 + Зхз, 4xi + 5×2 + 2хз>.

2.6. Матрица, образ, ядро, ранг и дефект оператора

XI — 3X2 — Хз, Хз, XI + 2X2 +

4×1 — 2×2, Зхз, XI -h 2×2 + Зхд>,

= ‘4×1 — 2×2, Зхз, XI + 2×2 + Зхз>,

-2Х2,3,Х1 + 2Х2 + Зхз>.

5×3, XI -Ь 2×2 + Зхз, 2×1 + 3×2 + 5хз>,

= 5×3, XI + 2×2 + 2,2×1 + 3×2 4- 5>,

5хз,0,х^ + 3×2 + 5хз>.

линейный, В нелинейный, С нелинейный.

нелинейный, В нелинейный, С линейный.

нелинейный, В линейный, С нелинейный.

линейный, В нелинейный, С нелинейный.

нелинейный, В нелинейный, С линейный.

нелинейный, В линейный, С нелинейный.

линейный, В нелинейный, С нелинейный.

нелинейный, В нелинейный, С линейный.

10. А линейный, В нелинейный, С нелинейный.

2.6. Матрица, образ, ядро, ранг и дефект оператора

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Задан оператор А, осуществляющий неко­ торое преобразование пространства геометрических векторов V^. Доказать линейность., найти матрицу (б базисе i^j^k)^ образ^ лдро^ ранг и дефект оператора А.

1. По определению доказываем линейность оператора Л, исполь­ зуя свойства операций над геометрическими векторами в координат­ ной форме, т.е. проверяем, что Vx, у G V3 и Vo: G R

Гл. 2. Линейная алгебра

2. Строим по определению матриц^^ оператора А. Для этого на­ ходим образы базисных векторов г, j , fc и записываем их координаты в базисе i^j^k. Столбцы искомой матрицы — это столбцы координат образов базисных векторов.

3. Раходим образ, ранг, ядро и дефект оператора А, исходя из их определений.

ПРИМЕР. Доказать линейность, найти матрицу (в базисе i,j,^), образ, ядро, ранг и дефект оператора проецирования пространства геометрических векторов Vs на плоскость XOY.

1. Докажем по определению линейность оператора проецирова­ ния. Пусть в базисе г, j , fc имеем произвольный вектор х = <^i, Х2, жз>. Тогда его образ (проекция) есть Рх = <ж1,а:2,0>.

По правилам операций с геометрическими векторами в коорди­ натной форме Vf = е Уз, Уу = <у1,2/2,2/з>G Vs и Va G R имеем

2. Так как по определению матрицы оператора ее столбцы — это столбцы координат образов базисных векторов, найдем образы базисных векторов г, jf, fc и запишем их координаты в базисе г, j , /с:

Таким образом, матрица оператора проецирования Р есть

3. Находим образ, ранг, ядро и дефект оператора А, исходя из определений. ^

Образ оператора проецирования Р — это множество векторов, лежащих в плоскости XOY, следовательно, в базисе г, j , к

Отсюда R g P = 2.

2.6. Матрица, образ, ядро, ранг и дефект оператора

КегР — это множество векторов, коллинеарных оси 0 Z , следова­ тельно, в базисе г, j , ^

Отсюда Def Р = 1.

Заметим, что Rg Р + Def Р = 2 + 1 = dim V3

Ответ. Оператор Р линеен. Его матрица в базисе i^j^k есть

x = jk, 7 G R>, DefP = 1.

Условия ЗАДАЧ. Доказать линейность, найт,и матрицу (в ба­ зисе i^j^k), образ, ядро, ранг и дефект оператора.

1. Оператор проецирования на ось ОХ.

2. Оператор отражения относительно плоскости YOZ.

3. Оператор поворота относительно оси ОХ на угол тг/З в поло­ жительном направлении.

4. Оператор отражения относительно плоскости х — z = 0.

5. Оператор проецирования на плоскость у -\- z = 0.

6. Оператор поворота относительно оси 0Z на угол тг/б в поло­ жительном направлении.

7. Оператор проецирования на плоскость х -\-у = 0.

8. Оператор отражения относительно плоскости у — z = 0.

9. Оператор проецирования на плоскость л/Зу + z = 0.

10. Оператор поворота относительно оси 0Y на угол 7г/4 в поло­ жительном направлении.

Как проверить является ли линейным оператор

$4A\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(4x_1-4x_2+4x_3,4x_2,4x_3-4x_1\right)$
$7B\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(0,7x_2,7\right)$
$4A+7B=\left(4x_1-4x_2+4x_3,11x_2,4x_3-4x_1+7\right)$
Ответ: $4A+7B=\left(4x_1-4x_2+4x_3,11x_2,4x_3-4x_1+7\right)$

Упражнение 3.
Найти значение выражения $B\cdot 4A$

$4A\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(0,4x_2+x_3,4x_3\right)$
$B\cdot 4A\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(4x_3,4x_2+x_3,1\right)$
Ответ: $B\cdot 4A\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(4x_3,4x_2+x_3,1\right)$

Определение и примеры линейных операторов. Действия над линейными операторами. Задания

Оператор является линейным, если $\forall a,b\in \mathbb^<3>$, $\forall \alpha\in \mathbb$ выполняются условия:

1. $A\left(a+b\right)=Aa+Ab$
2. $A\left(\lambda a\right)=\lambda Aa$

Проверим условие 1:
$A\left(a+b\right)=A\left(a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3\right)=$
$=\left(a_2+b_2+a_3+b_3,5a_2+5_b2-a_1-b_1,a_1+b_1+8a_3+8b_3\right)=$
$=\left(a_2+a_3,5a_2-a_1,a_1+8a_3\right)+\left(b_2+b_3,5_b2-b_1,b_1+8b_3\right)=$
$=A\left(a_1,a_2,a_3\right)+A\left(b_1,b_2,b_3\right)=Aa+Bb$

Ответ: оба условия выполняются, значит оператор $A$ — линейный.

Упражнение 2.
Найти значение выражения $4A+7B$

$A,B$ — линейные операторы из $\Omega\left(\mathbb^3\right)$, $A\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(x_1-x_2+x_3,x_2,x_3-x_1\right)$, $B\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(0,x_2,1\right)$

$4A\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(4x_1-4x_2+4x_3,4x_2,4x_3-4x_1\right)$
$7B\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(0,7x_2,7\right)$
$4A+7B=\left(4x_1-4x_2+4x_3,11x_2,4x_3-4x_1+7\right)$
Ответ: $4A+7B=\left(4x_1-4x_2+4x_3,11x_2,4x_3-4x_1+7\right)$

Упражнение 3.
Найти значение выражения $B\cdot 4A$

$A,B$ — линейные операторы из $\Omega\left(\mathbb^3\right)$, $A\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(0,x_2+\frac<1><4>x_3,x_3\right)$, $B\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(x_1+x_3,x_2,1\right)$

$4A\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(0,4x_2+x_3,4x_3\right)$
$B\cdot 4A\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(4x_3,4x_2+x_3,1\right)$
Ответ: $B\cdot 4A\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(4x_3,4x_2+x_3,1\right)$

Упражнение 4.
Найти значение выражения $Ax-3Bx$

$A, B$ — линейные операторы из $\Omega\left(M_2\left(\mathbb\right)\right)$,
$A=\begin2& 2\\ 0 & 0\end$, $B=\begin1 & 1 \\ 2 & 0\end$

Ответ: $Ax-3Bx=-\beginx_1+x_3& x_2+x_4\\ 6x_1 & 6x_2\end$

Как проверить является ли линейным оператор

\[ \!i\hbar\frac<\partial><\partial t>\psi=-\frac<\hbar^2><2m>\nabla^2\psi+V\psi \] Пусть \( \mathit\) — векторное пространство. Функция \(A: \mathit \rightarrow \mathit\) называется оператором, действующим в векторном пространстве \(\mathit\).

Оператор \(A\) называется линейным, если для любых \(u_1,u_2 \in \mathit\) и любых чисел \(c_1,c_2\) выполняется: \(A(c_1u_1+c_2u_2)=c_1A(u_1)+c_2A(u_2)\).

Результат действия линейного оператора \(A\) на вектор \(u\) обозначают \(Au\), опуская скобки.

1. \(Au=0\) — оператор, который любому вектору ставит в соответствие нулевой вектор.

2. \(Au=u\) — тождественный оператор.

3. \(Au=\lambda \cdot u\) — оператор, который каждый вектор растягивает в \(\lambda\) раз.

4. Пусть в векторном пространстве фиксирован базис \(e_1,e_2. e_n\), так что любой вектор \(u\) представим в виде линейной комбинации \[ u=\sum _^n\zeta _ke_k. \]

Возьмем \(B\), произвольную квадратную матрицу порядка \(n\). С ее помощью можно построить линейный оператор следующим образом. Положим \[ \xi _m=\sum _^nB_\zeta _k, \] и положим \(v=\sum _^n\xi _me_m\). Таким образом, мы вектору \(u\) поставили в соответствие вектор \(v\), т.е. задали оператор, действующий на векторном пространстве. Можно проверить, что этот оператор является линейным. Отметим при этом, что если выбирать разные базисы, то при заданной матрице \(B\) мы получим разные линейные операторы.

Для линейных операторов можно ввести естественные операции.

1. Пусть даны два линейных оператора \(A\) и \(B\). Построим новый линейный оператор согласно соотношению: \(u \rightarrow Au+Bu\). Нетрудно проверить, что это новое отображение само является линейным оператором. Его обозначают \(A+B\).

2. Пусть \(A\) — линейный оператор, \(\lambda\) — некоторое число. Построим новый линейный оператор согласно соотношению: \(u \rightarrow \lambda \cdot Au\). Нетрудно проверить, что это новое отображение само является линейным оператором. Его обозначают \(\lambda A\).

Итак, на множестве всех линейных операторов, действующих в векторном пространстве \( \mathit\), мы ввели две операции — сложение линейных операторов и умножение линейного оператора на число. Нулевой линейный оператор — оператор, ставящий в соответствие любому вектору нулевой вектор. Можно проверить, что при этом множество всех линейных операторов само становится векторным пространством.