Как привести квадратичную форму к каноническому виду ортогональным преобразованием

Как привести квадратичную форму к каноническому виду ортогональным преобразованием

11.14. Привести квадратичную форму к каноническому виду ортогональным преобразованием .

Решение

Квадратичная форма
Найдём собственные числа и собственные векторы квадратичной формы.

Матрица квадратичной формы имеет вид
Составим характеристическое уравнение матрицы квадратичной формы

Подставляя в характеристическое уравнение матрицу квадратичной формы и единичную матрицу, получим характеристическое уравнение в следующем виде
Раскроем определитель, тогда характеристическое уравнение характеристическое уравнение запишется в виде
Приведём подобные слагаемые и вынесем общий множитель за скобки. Характеристическое уравнение матрицы квадратичной формы запишется или
Из полученного выражения находим корни характеристического уравнения или
Дискриминант квадратного уравнения
Соответствующие корни
Таким образом, мы нашли корни характеристического уравнения матрицы заданной квадратичной формы. Эти корни являются собственными значениями квадратичной формы: ,

Канонический вид квадратичной формы

Найдём собственные векторы квадратичной формы.
Для собственного вектора, соответствующего собственному значению , получим систему уравнений Из этой системы находим
Собственный вектор
Для собственного вектора, соответствующего собственному значению , получим систему уравнений Из этой системы находим
Собственный вектор
Для собственного вектора, соответствующего собственному значению , получим систему уравнений Из этой системы находим
Собственный вектор
Найдём длины собственных векторов.
Нормируем собственные векторы, то есть найдём единичные векторы, соответствующие собственным векторам.
Запишем искомое ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду.
Ответ: Канонический вид квадратичной формы
Ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду

7.3. Ортогональное преобразование квадратичной формы к каноническому виду

Теорема(о приведении действительной квадратичной формы к главным осям). Всякая действительная квадратичная форманекоторым ортогональным преобразованием неизвестных может быть приведена к каноническому виду.

Доказательство.Применим метод индукции по числуnпеременных. Приn=1 утверждение очевидно. Допустим, что утверждение теоремы справедливо для квадратичной формы отn-1 переменных. Рассмотрим квадратичную форму отnпеременных:. Пусть– нормированный собственный вектор матрицыС, соответствующий собственному значению. Примемза первый столбец ортогональной матрицы

.

Матрица преобразованной квадратичной формы есть . Так как первый столбец матрицыТесть собственный вектор, то. Тогда

так как столбцы матрицы Т ортогональны и нормированы.

Матрица симметрична, поэтому имеет вид

,

где – симметричная матрица.

Рассмотрим квадратичную форму с матрицей В. В силу индуктивного предположения найдется ортогональная матрицаQтакая, что

.

Положим .

Матрица Q₁ортогональна, так как ее первый столбец нормирован и ортогонален остальным столбцам, а остальные столбцы попарно ортогональны и нормированы в силу ортогональности матрицыQ. Тогда

.

Ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду, определяется не однозначно. Однако из доказанной теоремы следует, что каково бы ни было ортогональное преобразование, приводящее к каноническому виду квадратичную форму , коэффициенты этого канонического вида равны собственным числам матрицыС, причем каждое собственное число повторяется столько раз, какова его кратность как корня характеристического уравнения.

Пример.Квадратичную форму

привести к каноническому виду.

Решение.Определяем собственные значения матрицы квадратичной формы

.

Характеристическое уравнение имеет вид

,

откуда .

Таким образом, канонический вид квадратичной формы следующий:

.

Найдем ортогональное преобразование, осуществляющее приведение к каноническому виду.

Решая уравнение , найдем собственные векторы

Преобразуя данную систему векторов в ортонормируемую систему, получим

.

Данная система векторов определяет ортогональную матрицу преобразования переменных. Действительно,Х=ТY, откуда.

7.4. Положительно определенные квадратичные формы

Определение.Квадратичная форма называется положительно определенной, если все ее значения при вещественных значениях переменных, не равных одновременно нулю, положительны. Очевидно, что квадратичная формаположительно определена.

Определение.Квадратичная форма называется отрицательно определенной, если все ее значения отрицательны, за исключением ненулевого значения при ненулевых значениях переменных.

Определение.Квадратичная форма называется положительно (отрицательно) полуопределенной, если она не принимает отрицательных (положительных) значений.

Квадратичные формы, принимающие как положительные, так и отрицательные значения, называются неопределенными.

При n=1 квадратичная формалибо положительно определена (приa₁₁>0), либо отрицательно определена (приa₁₁<0). Неопределенные формы появляются приn≥2.

Теорема(критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы). Для того чтобы квадратичная форма

была положительно определена, необходимо и достаточно выполнение условий:

.

Доказательство.Используем индукцию по числу переменных, входящих в. Для квадратичной формы, зависящей от одной переменной,и утверждение теоремы очевидно. Положим, что утверждение теоремы справедливо для квадратичной формы, зависящей отn-1 переменных.

1. Доказательство необходимости. Пусть

положительно определена. Тогда квадратичная форма

будет положительно определенной, так как если , то при.

По предположению индукции все главные миноры формы положительны, т.е.

.

Остается доказать, что .

Положительно определенная квадратичная форма невырожденным линейным преобразованиемХ=ВYприводится к каноническому виду

.

Квадратичной форме соответствует диагональная матрица

с определителем .

Линейное преобразование, заданное невырожденной матрицей В, преобразует матрицуСквадратичной формы в матрицу. Но так както.

2. Доказательство достаточности. Предположим, что все главные миноры квадратичной формы положительны: .

Докажем, что квадратичная форма положительно определена. Из предположения индукции вытекает положительная определенность квадратичной формы. Поэтомуневырожденным линейным преобразованием приводится к нормальному виду. Сделав соответствующую замену переменныхи положив, получим

,

где – какие-то новые коэффициенты.

Осуществляя замену переменных , получим

.

Определитель матрицы этой квадратичной формы равен , а так как знак его совпадает со знаком, то, и, значит, квадратичная форма– положительно определена. Теорема доказана.

Для того чтобы квадратичная форма была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы

была положительно определенной, а значит, чтобы все главные миноры матрицы

были положительны. Но это означает, что

т.е. что знаки главных миноров матрицы Cчередуются, начиная со знака минус.

Пример.Вычислить, является ли квадратичная форма положительно (отрицательно) определенной или неопределенной.

а) .

Решение.Матрица квадратичной формыимеет вид:

.

Вычислим главные миноры матрицы С:

Квадратичная форма положительно определена.

б) .

Решение.Вычислим главные миноры матрицы

Квадратичная форма является неопределенной.

В заключение сформулируем следующую теорему.

Теорема (закон инерции квадратичных форм). Число положительных и число отрицательных квадратов в нормальном виде, к которому приводится квадратичная форма невырожденными линейными преобразованиями, не зависит от выбора этих преобразований.

Приведение квадратичной формы к каноническому виду.

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Метод собственных векторов:

Рассмотрим квадратичную форму $A(x,x) =\sum\limits_^na_x_ix_j$ в евклидовом пространстве $R^n.$ Так как ее матрица $A=(a_ij)$ симметрична, то она может быть представлена в виде $A=UDU^,$ где $D -$ диагональная матрица, на диагонали которой стоят собственные числа матрицы, а $U -$ ортогональная матрица. Столбцы матрицы $U$ являются координатами некоторого ортонормированного базиса $B’=(e_1, . e_n),$ в котором матрица $A$ имеет диагональный вид $D,$ и, следовательно, квадратичная форма — искомый канонический вид. Соответствующие преобразования координат определяются соотношением $$\beginx_1\\\vdots\\x_n\end=U\beginx_1’\\\vdots\\x_n’\end.$$

Пример.

Найти ортогональное преобразование, приводящее следующие формы к каноническому виду, и написать этот канонический вид:

4.213. $11x_1^2+5x_2^2+2x_3^2+16x_1x_2+4x_1x_3-20x_2x_3.$

Решение.

Найдем собственные числа этой матрицы. Для этого запишем характеристическое уравнение:

$$det(A-\lambda E)=\begin11-\lambda&8&2\\8&5-\lambda&-10\\2&-10&2-\lambda\end=$$ $$=(11-\lambda)(5-\lambda)(2-\lambda)+2\cdot 8\cdot (-10)+2\cdot 8\cdot (-10)-$$ $$-2\cdot(5-\lambda)\cdot 2-(11-\lambda)\cdot(-10)\cdot(-10)-8\cdot 8\cdot(2-\lambda)=$$ $$=-\lambda^3+\lambda^2(2+5+11)-\lambda(10+22+55)+110-160-160-20+$$ $$+4\lambda-1100+100\lambda-128+64\lambda=$$ $$=-\lambda^3+18\lambda^2+81\lambda-1458=-\lambda(\lambda^2-81)+18(\lambda^2-81)=$$ $$=(\lambda-9)(\lambda+9)(-\lambda+18)=0.$$

Отсюда находим собственные числа:

$$\lambda_1=9,\quad \lambda_2=-9, \quad\lambda_3=18.$$

Далее находим собственные вектора:

Собственный вектор для собственного числа $\lambda_1=9$ найдем из системы $$(A-\lambda E)X=0, X\neq 0, \Rightarrow (A-9E)X=0, X\neq 0$$

Решим однородную систему уравнений:

Вычислим ранг матрицы коэффициентов $A=\begin2&8&2\\8&-4&-10\\2&-10&-7\end$ методом окаймляющих миноров:

Фиксируем минор отличный от нуля второго порядка $M_2=\begin2&8\\8&-4\end=-8-64=-72\neq 0.$

Рассмотрим окаймляющий минор третьего порядка: $\begin2&8&2\\8&-4&-10\\2&-10&-7\end=56-160-160+16-200+448=0;$

Таким образом ранг матрицы $A$ равен двум.

Выберем в качестве базисного минор $M=\begin2&8\\8&-4\end=-72\neq 0.$ Тогда, полагая $x_3=c,$ получаем: $$\left\<\begin2x_1+8x_2+2c=0\\ 8x_1-4x_2-10c=0\end\right.\Rightarrow\left\<\begin2x_1+8x_2=-2c\\8x_1-4x_2=10c\end\right.$$

По правилу Крамера находим $x_1$ и $x_2:$

Таким образом, общее решение системы $X(c)=\beginc\\-c/2\\c\end.$

Из общего решения находим фундаментальную систему решений: $E=X(1)=\begin1\\-1/2\\1\end.$

Собственный вектор для собственного числа $\lambda_2=-9$ найдем из системы $$(A-\lambda E)X=0, X\neq 0, \Rightarrow (A+9E)X=0, X\neq 0$$

Решим однородную систему уравнений:

Вычислим ранг матрицы коэффициентов $A=\begin20&8&2\\8&14&-10\\2&-10&11\end$ методом окаймляющих миноров:

Фиксируем минор отличный от нуля второго порядка $M_2=\begin20&8\\8&14\end=280-64=216\neq 0.$

Рассмотрим окаймляющий минор третьего порядка: $\begin20&8&2\\8&14&-10\\2&-10&11\end=3080-160-160-56-2000-704=0;$

Таким образом ранг матрицы $A$ равен двум.

Выберем в качестве базисного минор $M=\begin20&8\\8&14\end=216\neq 0.$ Тогда, полагая $x_3=c,$ получаем: $$\left\<\begin20x_1+8x_2+2c=0\\ 8x_1+14x_2-10c=0\end\right.\Rightarrow\left\<\begin20x_1+8x_2=-2c\\8x_1+14x_2=10c\end\right.$$

По правилу Крамера находим $x_1$ и $x_2:$

Таким образом, общее решение системы $X(c)=\begin-c/2\\c\\c\end.$

Из общего решения находим фундаментальную систему решений: $E=X(1)=\begin-1/2\\1\\1\end.$

Собственный вектор для собственного числа $\lambda=18$ найдем из системы $$(A-\lambda E)X=0, X\neq 0, \Rightarrow (A-18E)X=0, X\neq 0$$

Решим однородную систему уравнений:

Вычислим ранг матрицы коэффициентов $A=\begin-7&8&2\\8&-13&-10\\2&-10&-16\end$ методом окаймляющих миноров:

Фиксируем минор отличный от нуля второго порядка $M_2=\begin-7&8\\8&-13\end=91-64=27\neq 0.$

Рассмотрим окаймляющий минор третьего порядка: $\begin-7&8&2\\8&-13&-10\\2&-10&-16\end=-1456-160-160+52+700+1024=0;$

Таким образом ранг матрицы $A$ равен двум.

Выберем в качестве базисного минор $M=\begin-7&8\\8&-13\end=27\neq 0.$ Тогда, полагая $x_3=c,$ получаем: $$\left\<\begin-7x_1+8x_2+2c=0\\ 8x_1-13x_2-10c=0\end\right.\Rightarrow\left\<\begin-7x_1+8x_2=-2c\\8x_1-13x_2=10c\end\right.$$

По правилу Крамера находим $x_1$ и $x_2:$

Таким образом, общее решение системы $X(c)=\begin-2c\\-2c\\c\end.$

Из общего решения находим фундаментальную систему решений: $E=X(1)=\begin-2\\-2\\1\end.$

Таким образом, мы нашли вектора

В базисе $B’=(e_1′, e_2′, e_3′)$ заданная квадратичная форма имеет вид $$A(x, x)=9x_1^2-9x_2^2+18x_3^2,$$ а соответствующее преобразование координат:

Как привести квадратичную форму к каноническому виду ортогональным преобразованием

Существует довольно простой метод (метод Лагранжа) приведения квадратичной формы к каноническому виду. Этот метод, однако, во многих задачах не дает нужного результата. Например, в задачах аналитической геометрии часто требуется привести общее уравнение кривой или поверхности второго порядка к каноническому виду, причем такое приведение требуется осуществить с помощью весьма специального преобразования переменных (а именно ортогонального); метод Лагранжа не всегда обеспечивает это условие. В связи с этим мы укажем способ, основанный на отыскании собственных значений матрицы квадратичной формы.

Теорема 38. Всякая квадратичная форма с матрицей А может быть приведена к каноническому виду

при помощи преобразования переменных с ортогональной матрицей. При этом коэффициенты канонического вида являются корнями характеристического многочлена матрицы каждый из которых взят столько раз, какова его кратность.

Доказательство. Пусть дана вещественная квадратичная форма с матрицей А. По теореме 35 квадратичная форма после выполнения линейного преобразования переменных с матрицей будет иметь матрицу

Отсюда следует, что задача приведения квадратичной формы к каноническому виду равносильна задаче приведения симметрической матрицы А к диагональному виду путем умножения ее слева и

справа соответственно на взаимно транспонированные матрицы

Воспользуемся теоремой 34, утверждающей, что для всякой симметрической матрицы А существует ортогональная матрица такая, что матрица

диагональна. Легко видеть, что матрица решает поставленную задачу, так как вследствие ее ортогональности имеем и потому

Заметим попутно, что (как видно из доказательства теоремы 34) диагональные элементы матрицы В суть корни характеристического многочлена матрицы каждый из которых взят столько раз, какова его кратность. Теорема доказана.

Канонический вид формы можно найти, таким образом, и не находя самого ортогонального преобразования переменных, а зная лишь собственные значения определяемые матрицей А.

Это положение подтверждает важность понятия собственного значения.

Пример. Найти канонический вид, к которому приводится квадратичная форма

посредством ортогонального преобразования, не находя самого этого преобразования.

Решение. Находим корни характеристического многочлена матрицы А данной формы: