Как построить лемнискату бернулли эксель

Лабораторная работа2

Пусть один и тот же эксперимент или испытание со случайным исходом проводится многократно в одних и тех же условиях. В каждом из испытаний может наступить событие А с вероятностью p, не зависящей от наступления этого события в других испытаниях. Говорят, что в этом случае испытания проводятся по схеме Бернулли.

Формула Бернулли

Вероятность того, что в n испытаниях по схеме Бернулли событие А наступит ровно m раз можно вычислить по формуле

(1),

где р – вероятность наступления события в одном испытании, q=1-p.

В Excel’e для вычисления вероятностей по формуле Бернулли можно использовать статистическую функцию

БИНОМРАСП(число_успехов;число_испытаний;вероятность_успеха ;интегральная)

Число_успехов — количество успешных испытаний — m.

Число_испытаний — число независимых испытаний — n.

Вероятность_успеха — вероятность успеха каждого испытания — p.

Интегральная — логическое значение, определяющее вид функции. Если аргумент «интегральная» имеет значение ИСТИНА, функция БИНОМРАСП возвращает интегральную функцию распределения, то есть вероятность того, что число успешных испытаний не меньше значения аргумента «число_успехов»; если этот аргумент имеет значение ЛОЖЬ, то возвращается функция вероятностной меры, то есть вероятность того, что число успешных испытаний равно значению аргумента «число_успехов».

Формула Пуассона

Формула Бернулли позволяет всегда вычислить точное значение вероятности , однако в случае большого числа испытаний(n>15-20) могут возникнуть вычислительные трудности. В случае, когда n достаточно велико, р – мало, а их произведение рекомендуется использовать приближенную формулу Пуассона:

(2)

В Excel’e для вычисления вероятностей по формуле Бернулли можно использовать статистическую функцию

ПУАССОН(m;λ;интегральная)

m — количество успешных событий;

— произведение числа испытаний на вероятность успеха.

Интегральная — логическое значение, определяющее форму возвращаемого распределения вероятностей. Если аргумент «интегральная» имеет значение ИСТИНА, то функция ПУАССОН возвращает интегральное распределение Пуассона, то есть вероятность того, что число случайных событий окажется в диапазоне от 0 до m включительно. Если этот аргумент имеет значение ЛОЖЬ, то возвращается вероятность точного равенства числа произошедших событий значению m.

Теорема Муавра-Лапласа

Еще одну приближенную формулу для вычисления вероятности дает локальная теорема Муавра-Лапласа:

(3)

Функция f(x) является четной и при можно полагать .

В Excel’e для вычисления вероятностей по этой формуле следует использовать статистическую функцию

НОРМРАСП(x;среднее;стандартное_откл;интегральная)

x — значение, для которого строится распределение(см. формулу 3).

Среднее — .

Стандартное_откл —.

Интегральная — логическое значение, определяющее форму функции. Если аргумент «интегральная» имеет значение ИСТИНА, функция НОРМРАСП возвращает интегральную функцию распределения; если этот аргумент имеет значение ЛОЖЬ, возвращается функция плотности распределения. Для формулы необходимо этот параметр взять равным ЛОЖЬ.

Для вычисления вероятности, что число наступивших событий А будет в пределах от m₁ до m₂, следует воспользоваться интегральной теоремой:

, где (4)

Для вычисления в Excel’e следует каждое из значений и вычислить с помощью функции НОРМРАСП, указав в качестве последнего аргумента значение ИСТИНА.

При испытаниях по схеме Бернулли одно или два значения m – число успехов, будут иметь самую высокую вероятность наступления. Это число называется наивероятнейшим числом наступления события А и обозначается n₀. Его можно вычислить, решив два неравенства:

(5)

Интервал, описываемый этими неравенствами, в точности равен единице, поэтому если выражения (np-p) и (np+q) – целые числа, то n₀ принимает два значения, иначе – одно.

Задание на лабораторную работу 2.

1. Изучить образец решения варианта 0.

2. Решить задачи 2.1-2,4 согласно варианту по образцу решения, подставив данные из таблиц 2-1-2.4

3. Написать отчет по лабораторной работе и защитить его.

Задача 2.1 Вероятность, что аудитор при проверке документации фирмы найдет ошибку – p. Аудитор проверяет n фирм. Найти вероятность того, что при проверке аудитор найдет ошибку:

а) ровно в m фирмах;

б) менее чем в k фирмах:

в) не более чем в l фирмах;

Построить полигон распределения. Найти наивероятнейшее число фирм, при проверке которых обнаружится ошибка.

Задача 2.2 При упаковке денежных купюр в пачки в банке вероятность, что число купюр в пачке окажется ошибочным – p. Какова вероятность, что из n пачек ошибочное число купюр содержат

а) m пачек

б) не более k пачек

в) хотя бы l пачек

Найти наивероятнейшее число пачек, содержащих ошибочное число купюр. Сколько пачек требуется взять, чтобы наивероятнейшим числом пачек с ошибочным числом купюр было u пачек?

Задача 2.3 На факультете учатся n студентов. Вероятность, что студент не имеет задолженностей – p. Найти вероятность, что задолженности имеют

б) не более k студентов

в) от l до u студентов

1. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле – 0,8. Какова вероятность, что при 9 выстрелах будет хотя бы 3 попадания?

2. Вероятность приживления саженца ели в условиях нашего города равна 0,75. Какова вероятность того, что из 192 высаженных саженцев погибнут ровно 44 саженца?

1. Вероятность, что пассажир опоздает на поезд – 0,002. Каково наивероятнейшее число опоздавших среди 4000 пассажиров? Чему равна вероятность этого числа?

2. В среднем 75% клиентов-заемщиков банка не допускают просрочки платежей. Какова вероятность, что просрочки не допускают не менее 150 клиентов из 200?

1. Вероятность встретить на улице своего преподавателя – 0,002. Какова вероятность, что среди 1000 прохожих вы встретите хотя бы одного своего преподавателя?

2. Доля изделий высшего сорта продукции составляет 80 %. Найти вероятность того, что в партии из 900 изделий высшего сорта будет не больше 600.

1. В течение семестра студент выполняет 10 контрольных работ. Вероятность, что он успешно выполнит каждую работу – 0,7. Какова вероятность, что он успешно выполнит хотя бы 8 контрольных работ?

2. Вероятность покупки при посещении клиентом магазина составляет 0,75. Найти вероятность того, что при 100 посещениях клиент совершит покупку ровно 80 раз.

1. Страховой агент заключает договор в 10% случаев при посещении потенциальных клиентов. Какова вероятность заключить хотя бы 1 договор при посещении 6 человек?

2. Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Найти вероятность того, что магазин получил меньше двух разбитых бутылок.

Задача 2.1 Вероятность, что аудитор при проверке документации фирмы найдет ошибку – 0.3. Аудитор проверяет 8 фирм. Найти вероятность того, что при проверке аудитор найдет ошибку:

а) ровно в 3 фирмах;

б) менее чем в 4 фирмах:

в) не более чем в 2 фирмах;

Построить полигон распределения. Найти наивероятнейшее число фирм, при проверке которых обнаружится ошибка.

Решение: Запишем номер задачи и данные в ячейках А1-F2. В ячейке G2 наберем формулу БИНОМРАСП(D2;C2;B2;ЛОЖЬ) – получим ответ на вопрос а). В ячейке H2 запишем формулу БИНОМРАСП(D2-1;C2;B2;ИСТИНА), так как нам нужно менее чем k фирм – первым аргументом будет значение k-1 из ячейки D2, последним аргументом будет ИСТИНА, так как требуется просуммировать все вероятности для значений от 0 до k-1, полученный результат есть ответ на вопрос б). В ячейке I2 запишем формулу 1-БИНОМРАСП(F2;C2;B2;ИСТИНА), то есть мы вычисляем сначала вероятность противоположного события – что ошибка обнаружится в l и менее чем l фирмах (поэтому последний аргумент = ИСТИНА), затем вычитаем ее из единицы, результат и есть ответ на вопрос в).

Для построения полигона распределения запишем в ячейках B4:J4 возможные значения числа наступивших событий – от 0 до 8. Затем в ячейке B5 наберем формулу БИНОМРАСП(B4;$C$2;$B$2;ЛОЖЬ) и выполним автозаполнение ячеек С5:J5 по ячейке B5. После этого выделим ячейки B5:J5 и выберем значок «Диаграмма» на панели инструментов или в меню «Вставка». Выбираем далее 1)тип диаграммы – график, 2) в разделе «Ряд» выберем пункт «Подписи по оси Х» — ячейки B4:J4 3)-4) можно добавить по желанию подписи к осям и выбрать цвет и вид линий на диаграмме.

Наивероятнейшее число – это число, для которого вероятность максимальна, в данной задаче это число 2 с вероятностью 0,296. Запишем это в ячейке В26. Задача решена.

Задача 2.2 При упаковке денежных купюр в пачки в банке вероятность, что число купюр в пачке окажется ошибочным – 0.002. Какова вероятность, что из 4000 пачек ошибочное число купюр содержат

б) не более 3 пачек

в) хотя бы 2 пачек

г)Найти наивероятнейшее число пачек, содержащих ошибочное число купюр.

д) Сколько пачек требуется взять, чтобы наивероятнейшим числом пачек с ошибочным числом купюр было 5 пачек?

Решение. В данной задаче следует использовать формулу Пуассона (2). Действительно, n велико, p мало и . Запишем обозначения и данные задачи в ячейках A1:G2, как показано на рисунке. В ячейке H2 набираем формулу ПУАССОН(D2;B2*C2;ЛОЖЬ), первый параметр – число успехов, второй значение λ=np, третий параметр ЛОЖЬ, так как нас интересует ровно m успехов. Результат будет ответом на вопрос а). В ячейке I2 задаем формулу ПУАССОН(E2;B2*C2;ИСТИНА), получаем ответ на вопрос б) – третий параметр выбираем ИСТИНА, так как нам нужно 3 и менее успехов – 0,1,2. И в ячейке J2 задаем формулу

1-ПУАССОН(F2;B2*C2;ИСТИНА), ответ на вопрос в). Для ответа на вопрос г) вычислим сначала величины np+p и np-q в ячейках K3 и K4 с помощью формул C2*B2+B2 и C2*B2-(1-B2). Так как оба числа не целые, возьмем в качестве ответа наибольшее из них, округленное вниз до целого. Для этого записываем в ячейке K2 формулу ОКРУГЛВНИЗ(K3;0). Получили ответ на вопрос г). Для решения пункта д) необходимо решить систему неравенств

, выражая отсюда n получим: .Запишем в ячейки L2 и L3 соответственно формулы (G2-B2)/B2 и (G2+1-B2)/B2. Полученные два числа и будут ответом – необходимо взять от 2499 до 2999 пачек, чтобы наивероятнейшим числом ошибочных пачек было 5.

Задача 2.3 На факультете учатся 600 студентов. Вероятность, что студент не имеет задолженностей – 0.8. Найти вероятность, что задолженности имеют

а) 150 студентов

б) не более 110 студентов

в) от 100 до 120 студентов

Решение. В данной задаче будем использовать формулы (3) и (4), так как число испытаний велико, а вероятность не является достаточно маленькой. Обратите внимание, что в условии задачи дана вероятность того, что студенты не имеют задолженностей, а далее спрашиваются вероятности об имеющих задолженности студентах, то есть работать фактически надо с вероятностью 1-p=0.2, ее и запишем сразу в таблицу. Запишем обозначения и данные задачи в ячейках A1:K2, как показано на рисунке. Предварительно, в ячейке H2 вычислим величину с помощью формулы =КОРЕНЬ(B2*C2*(1-B2)), в дальнейшем будем ее использовать там, где требуется указать стандартное отклонение. Для ответа на вопрос а) набираем в ячейке I2 формулу НОРМРАСП(D2;B2*C2;H2;ЛОЖЬ). Первый параметр здесь – число успехов, затем следует указать величину np, затем стандартное отклонение, и последний параметр – ЛОЖЬ, так как нам требуется вероятность только для 1 значения успеха. Получившаяся маленькая величина не должна смущать – событий вида «0 студентов имеют задолженности», «1 студент имеет задолженности» и т.д. – очень много, а сумма всех их вероятностей вместе – 1. Для ответа на вопрос б) набираем в ячейке J2 формулу НОРМРАСП(E2;B2*C2;H2;ИСТИНА). Последний параметр ИСТИНА –так, как нам требуется сумма вероятностей для числа успехов от 0 до 110. Для ответа на вопрос в) в ячейке K2 набираем формулу =НОРМРАСП(G2;B2*C2;H2;ИСТИНА)-НОРМРАСП(F2;B2*C2;H2;ИСТИНА). Обратите внимание, в первой формуле используем большее число – 120, во второй меньшее – 100. Задача решена.

Задача 2.4. Вероятность изготовления нестандартной детали на станке-автомате равна 0,003 . Найти вероятность того, что среди 1000 деталей окажется не более 2 нестандартных.

Решение. В данной задаче число испытаний велико, а вероятность мала. Проверим λ=np=1000*0.003=3<10, значит можно использовать формулу Пуассона. Не более 2 – означает 0,1 или 2 детали, значит параметр Интегральная будет равен ИСТИНА. Для ответа на вопрос задачи запишем данные как показано на рисунке и набираем формулу для ответа =ПУАССОН(D2;B2*C2;ИСТИНА). Задача решена.

Лабораторная работа ‘MS Excel. Построение графиков и диаграмм’

«Построение и редактирование различных типов диаграмм в MS Excel».

Цель урока: Закрепить умения по построению различных типов диаграмм, редактированию и изменению их типов.

Оснащение урока: ПК, MS Excel, задания для практического занятия

Построить функцию, заданную уравнением: , .

Для построения графика функции используется тип диаграммы Точечная. Выделяется только диапазон значений x и y.

Построим таблицу и произведем расчеты:

Для получения полной трехлепестковой розы значение fi должно быть от 0 до 3,2.

Формулы для вычисления:

Построить график функции: (fi выбираем из интервала [-2;-1,9] с шагом 0,05)

Построить график функции (Декартов лист): . Fi из диапазона -0,15 до 2 шагом 0,05.

Построить Верьсьеру: . Принять t от -5 до 5 шагом 0,3.

Построить Лемнискату Бернулли: . Fi возьмите из диапазона от -3 до 0 с шагом 0,1.

Моделирование с использованием MS Excel

Задан отрезок прямой и спираль Архимеда. Нужно построить их графики и обеспечить вращение относительно центра прямоугольных координат.

Начнем с массива координат прямой и спирали с начальными условиями. Затем во вспомогательном массиве будем осуществлять пересчет координат с учетом текущего угла поворота, который определяется скоростью изменения и счетчиком времени. Этот массив координат будет служить для построения графиков прямой и спирали.

Отрезок прямой зададим координатами ее концов, а спираль Архимеда уравнением в полярной системе координат как

где R — радиус,

а — параметр, который определяет скорость изменения радиуса при изменении угла,

Задаем координаты прямой в ячейках G3:H4 и параметр спирали в ячейке М3. Размерность координат задаем в условных единицах, а уго- лов — в радианах. Для реализации модели вращения пересчитываем прямоугольные координаты концов прямой в полярные по формулам

Полярные координаты прямой запишем в ячейки 13 :J4. Формируем массив координат графиков для изображения через диаграммы (А7:С20).

В ячейках В7:С8 вычисляем прямоугольные координаты концов прямой с учетом угла поворота по формулам (см. рисунок)

где а — угол поворота графика.

Угол поворота вычисляется (ЕЗ) с учетом угловой скорости (АЗ) и значения счетчика (СЗ).

Значение счетчика можно изменять путем записи с клавиатуры. Для автоматизации процесса моделирования поворота графиков создадим ячейку, которая определяет шаг изменения значения счетчика (D3). Следует отметить, что поворот прямой осуществляется против часовой стрелки при положительном значении угловой скорости (АЗ). В массиве А10:С20 формируем 11 точек для изображения спирали Архимеда, где пересчитываем полярные координаты в поямоугольные 1см. пгшмечания). Можно изменить количество точек. При

пересчете используем массив полярных координат спирали без учета угла поворота (18:Л 7). Координаты точек вычисляем с учетом номера точки, который определяет полярный угол точки спирали (см.примечания). Так как при пересчете координат в массиве А10:С20 вычитаем значение угла поворота, то спираль вращается по часовой стрелке. Итак, прямая вращается по часовой стрелке, а спираль — против. Можно изменить вращение графиков на противоположный путем задания отрицательного значения угловой скорости.

Выделяем массив А7:С20 и через закладку Вставка, в группе Диаграмма выбираем график Точечная с гладкими кривыми и маркерами. Целесообразно зафиксировать в пункте Формат оси контекстного меню оси максимальные и минимальные значения осей. Получим изображение графиков, которые вращаются при изменении значения счетчика.

Автоматизируем изменение значение счетчика. Для этого создадим кнопки Обнуление счетчика и Начисление счетчика. На закладке Разработчик, в группе Элементы управления, в списке Вставить выбираем в Элементы ActiveX элемент Кнопка.

Протяжкой определяем место и размер изображения кнопки на листе. Не закрывая объект Кнопка, через контекстное меню выходим на Свойства и в пункте Caption заносим название кнопки.

Далее щелкнув дважды на соответствующей кнопке, заносим следующие тексты программ:

Private Sub CommandButtonl_Click()

Cells(3, 3) = 0 ‘Обнуление счетчика’

Private Sub CommandButton2_Click()

Cells(3, 3) = Cells(3, 3) + Cells(3, 4) ‘Начисление счетчика’

Точку не надо ставить в тексте программы кнопок. Стиль ссылок в программах кнопок соответствуует R1C1. В этом случае сначала указывается номер строки, а затем номер столбца в функции Cells. Обнуление и начисление счетчика осуществляется путем щелчков на соответствующих кнопках. При моделировании можно изменить шаг начисления счетчика (D3 или Cells(3, 4)).

Обязательно сохраните файл с расширением Книга Excel с поддержкой макросов, а при открытии файла включить разрешение на функционирование макросов. На рисунках представлены графики в начальном положении и после начисления счетчика.

В нижней таблицы представлены уравнения кривых в полярной системе координат, которые могут быть использованы для моделирования.

Лемниската Бернулли

Лемниска́та Берну́лли — плоская алгебраическая кривая. Определяется как геометрическое место точек, произведение расстояний от которых до двух заданных точек (фокусов) постоянно и равно квадрату половины расстояния между фокусами.

Лемниската по форме напоминает арабскую цифру «восемь» или символ бесконечности. Точка, в которой лемниската пересекает саму себя, называется узловой, или двойной.

Содержание

История

Название происходит от др.-греч. λημνίσκος  — лента, повязка. В Древней Греции «лемнискатой» называли бантик, с помощью которого прикрепляли венок к голове победителя на спортивных играх. Данный вид лемнискаты назван в честь швейцарского математика Якоба Бернулли, положившего начало её изучению.

Уравнение лемнискаты впервые опубликовано в статье Curvatura Laminae Elasticae Якоба Бернулли в журнале Acta eruditorum в 1694 году. Бернулли назвал эту кривую lemniscus; он не знал, что четырнадцатью годами ранее Джованни Кассини уже исследовал более общий случай [1] . Квадратуру лемнискаты впервые выполнил Джюлио-Карло Фаньяно ( англ. ) , опубликовав в 1718 году статью Metodo per misurare la lemniscata и положив тем самым начало изучению эллиптических интегралов, продолженное впоследствии Леонардом Эйлером [2] . Некоторые свойства кривой были также исследованы Якобом Штейнером в 1835 году.

Уравнения

Рассмотрим простейший случай: если расстояние между фокусами равняется [math]\displaystyle< 2c >[/math] , расположены они на оси [math]\displaystyle< OX >[/math] , и начало координат делит отрезок между ними пополам, то следующие уравнения задают лемнискату:

• Параметрическое в прямоугольных координатах: [math]\displaystyle< x = \frac\cos(t)><1 + \sin^2(t)>; \qquad y = \frac\sin(t)\cos(t)><1 + \sin^2(t)>>[/math]
• в прямоугольных координатах:

Фокусы лемнискаты — [math]\displaystyle< F_1(-c;0) >[/math] и [math]\displaystyle< F_2(c;0) >[/math] . Возьмём произвольную точку [math]\displaystyle< M(x;y) >[/math] . Произведение расстояний от фокусов до точки [math]\displaystyle< M >[/math] есть

и по определению оно равно [math]\displaystyle< c^2 >[/math] :

Возводим в квадрат обе части равенства:

Раскрываем скобки в левой части:

Раскрываем скобки и свёртываем новый квадрат суммы:

Выносим общий множитель и переносим:

Далее можно сделать замену [math]\displaystyle< a^2=2c^2 >[/math] , хотя это не обязательно:

В данном случае [math]\displaystyle< a >[/math] — радиус окружности, описывающей лемнискату.

Возводим в квадрат и раскрываем скобки:

Приводим к виду

Это квадратное уравнение относительно [math]\displaystyle< y^2 >[/math] . Решив его, получим

Взяв корень и отбросив вариант с отрицательным вторым слагаемым, получим:

где положительный вариант определяет верхнюю половину лемнискаты, отрицательный — нижнюю.

Используя формулы перехода к полярной системе координат [math]\displaystyle< x=\rho\cos\varphi,\,y=\rho\sin\varphi, >[/math] получим:

Делим на [math]\displaystyle< \rho^2 >[/math] , предполагая, что [math]\displaystyle< \rho\neq 0 >[/math] и используем ещё одно тождество: [math]\displaystyle< \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = cos 2\alpha >[/math] :

Как и в случае прямоугольной системы можно заменить [math]\displaystyle< a^2=2c^2 >[/math] :

• Параметрическое уравнение в прямоугольной системе:

Это единственный вариант рациональной параметризации кривой. Уравнение полностью описывает кривую, когда параметр пробегает всю вещественную прямую: от [math]\displaystyle< -\infty >[/math] до [math]\displaystyle< +\infty >[/math] . При этом, когда параметр стремится к [math]\displaystyle< -\infty >[/math] , точка кривой стремится к [math]\displaystyle< (0;0) >[/math] из второй координатной четверти, а когда параметр стремится к [math]\displaystyle< +\infty >[/math] , то — из четвёртой. Распределение точек, которые даёт параметрическое уравнение, при изменении его параметра с фиксированным шагом показано на рисунке.

Уравнение лемнискаты в полярной системе

подставим в формулы перехода к полярной системе координат [math]\displaystyle< x=\rho\cos\varphi,\,y=\rho\sin\varphi, >[/math] возведённые в квадрат:

Используем ещё одно легко выводимое тригонометрическое соотношение [math]\displaystyle< \operatorname\alpha=\dfrac<1-\operatorname\left(\frac<\pi><4>-\alpha\right)><1+\operatorname\left(\frac<\pi><4>-\alpha\right)> >[/math] :

Выполнив необходимые преобразования, получаем:

Извлекаем корень из обеих частей обоих равенств:

Если произвести замену [math]\displaystyle< \textstyle \operatorname\left(\frac<\pi><4>-\varphi\right)=p^2 >[/math] , то получаем искомые параметрические уравнения:

• Чтобы задать лемнискату по двум произвольным точкам, можно не выводить уравнение заново, а определить преобразование координат, при котором старый (данный) фокусный отрезок переходит в новый, и воздействовать на представленные уравнения этим преобразованием.

Пусть, например, [math]\displaystyle< F_1(-1;2),\,F_2(2;-2) >[/math] — фокусы.

Существует прямоугольная система координат (на рисунке — [math]\displaystyle< \textstyle x''Oy'' >[/math] ), в которой уравнение лемнискаты имеет вид

Необходимо определить преобразование системы координат, переводящее [math]\displaystyle< \textstyle xOy >[/math] в [math]\displaystyle< \textstyle x''Oy'' >[/math] . Это преобразование осуществляется в два этапа: параллельный перенос и поворот.

Середина отрезка [math]\displaystyle< F_1F_2 >[/math] — [math]\displaystyle< \textstyle F\left (\frac<1><2>;0\right ) >[/math] , значит перенос только на [math]\displaystyle< \textstyle+\frac<1> <2>>[/math] по оси [math]\displaystyle< OX >[/math] :

После переноса системы координат её надо повернуть на некоторый угол. Для определения угла сначала найдём расстояние между фокусами:

Теперь из геометрических соображений находим синус и косинус угла наклона [math]\displaystyle< F_1 F_2 >[/math] к [math]\displaystyle< OX >[/math] :

Совместив оба преобразования, получим конечные формулы перехода:

Для того, чтобы получить уравнение в стандартной системе координат, подставим эти соотношения в исходное уравнение кривой:

Это уравнение задаёт лемнискату с фокусами [math]\displaystyle< F_1(-1;2),\,F_2(2;-2) >[/math] в стандартной прямоугольной системе координат.

Свойства

Лемниската Бернулли является частным случаем овала Кассини при [math]\displaystyle< a=c >[/math] , синусоидальной спирали с индексом [math]\displaystyle< n=2 >[/math] и лемнискаты Бута при [math]\displaystyle< c=0 >[/math] , поэтому она наследует некоторые свойства этих кривых.

Свойства, верные для произвольных овалов Кассини

• Лемниската — кривая четвёртого порядка.
• Она симметрична относительно двойной точки — середины отрезка между фокусами.
• Кривая имеет 2 максимума и 2 минимума. Их координаты: [math]\displaystyle< \beginx=\pm\frac<\sqrt<3>><2>c\\ y=\pm\frac<2>\end >[/math]
• Расстояние от максимума до минимума, находящихся по одну сторону от серединного перпендикуляра отрезка между фокусами равно расстоянию от максимума (или от минимума) до двойной точки.
• Лемнискату описывает окружность радиуса [math]\displaystyle < a=c\sqrt<2>>[/math] , поэтому иногда в уравнениях производят эту замену.

Свойства, верные для произвольных синусоидальных спиралей

в двойной точке составляют с отрезком [math]\displaystyle< F_1F_2 >[/math] углы [math]\displaystyle< \textstyle\pm\frac<\pi><4>>[/math] .
• Угол [math]\displaystyle< \mu >[/math] , составляемый касательной в произвольной точке кривой с радиус-вектором точки касания равен [math]\displaystyle< \textstyle 2\varphi+\frac<\pi><2>>[/math] .
• Касательные в точках пересечения кривой и хорды, проходящей через двойную точку, параллельны друг другу. относительно окружности с центром в двойной точке, переводит лемнискату Бернулли в равнобочную гиперболу. лемнискаты есть [math]\displaystyle< \textstyle R=\frac<2c^2><3\rho>>[/math]

Есть частный случай формулы радиуса кривизны синусоидальной спирали:

однако, легко вывести и по определению.

Уравнение лемнискаты в полярной системе:

Формулы перехода к полярной системе координат:

Подставляем в уравнение лемнискаты и выражаем [math]\displaystyle< x >[/math] и [math]\displaystyle< y >[/math] :

—- это параметрическое уравнение относительно [math]\displaystyle< \varphi >[/math] . Проведя некоторые тригонометрические преобразования, можно получить уравнение относительно [math]\displaystyle< \textstyle p >[/math] , указанное выше в разделе Уравнения.

Формула радиуса кривизны кривой, заданной параметрически:

Находим производные по [math]\displaystyle< \varphi >[/math] :

Подставляем в формулу радиуса:

Возвращаемся к уравнению лемнискаты:

Подставляем это выражение в полученную формулу радиуса и получаем:

кривой имеет вид [math]\displaystyle< S=3\int\frac<\mathrmR><\sqrt<\left(\frac<3>R\right)^4-1>> >[/math] лемнискаты является синусоидальная спираль [math]\displaystyle< \textstyle \rho^<\frac<2><3>>=(c\sqrt<2>)^<\frac<2><3>>\cos\frac<2><3>\varphi. >[/math]
• Лемниската сама является подерой равносторонней гиперболы.

Собственные свойства

• Кривая является геометрическим местом точек, симметричных центру равносторонней гиперболы относительно её касательных.
• Отрезок биссектрисы угла между фокальными радиусами-векторами точки лемнискаты равен отрезку от центра лемнискаты до пересечения её оси с этой биссектрисой. , движущаяся по лемнискате под действием однородного гравитационного поля, пробегает дугу за то же время, что и соответствующую хорду (см. рисунок). Предполагается, что ось лемнискаты составляет угол [math]\displaystyle< 45^\circ >[/math] с вектором напряжённости поля, а центр лемнискаты совпадает с исходным положением движущейся точки. полярного сектора [math]\displaystyle< \varphi\in[0,\alpha] >[/math] , при [math]\displaystyle< \textstyle 0\leqslant\alpha\leqslant\frac<\pi><4>>[/math] : [math]\displaystyle< \textstyle S(\alpha)=\frac<2>\sin2\alpha >[/math]
  • В частности, площадь каждой петли [math]\displaystyle< \textstyle 2S\left (\frac<\pi><4>\right )=c^2 >[/math] , то есть площадь, ограниченная кривой, равна площади квадрата с диагональю [math]\displaystyle < c\sqrt<2>>[/math] .
  • В частности, длина всей лемнискаты [math]\displaystyle< \textstyle 4L\left(\frac<\pi><4>\right)=2c\sqrt<2>\,K\left(\frac<1><\sqrt<2>>\right)\approx 5<,>244 a \approx 7<,>416 c. >[/math]

  Построения

  При помощи секущих (способ Маклорена)

  Строится окружность радиуса [math]\displaystyle< \textstyle\frac<\sqrt<2>> >[/math] с центром в одном из фокусов. Из середины [math]\displaystyle< O >[/math] фокусного отрезка строится произвольная секущая [math]\displaystyle< OPS >[/math] ( [math]\displaystyle< P >[/math] и [math]\displaystyle< S >[/math]  — точки пересечения с окружностью), и на ней в обе стороны откладываются отрезки [math]\displaystyle< OM_1 >[/math] и [math]\displaystyle< OM_2 >[/math] , равные хорде [math]\displaystyle< PS >[/math] . Точки [math]\displaystyle< M_1 >[/math] , [math]\displaystyle< M_2 >[/math] лежат на разных петлях лемнискаты.

  Шарнирные методы

  Вариант первый

  На плоскости выбираются две точки — [math]\displaystyle< A >[/math] и [math]\displaystyle< B >[/math]  — будущие фокусы лемнискаты. Собирается специальная конструкция из трёх скреплённых в ряд на шарнирах отрезков, чтобы полученная линия могла свободно изгибаться в двух местах (точки сгиба — [math]\displaystyle< C >[/math] и [math]\displaystyle< D >[/math] ). При этом необходимо соблюсти пропорции отрезков: [math]\displaystyle< \textstyle AC=BD=\frac<\sqrt<2>>,\;CD=AB >[/math] . Края линии крепятся к фокусам. При непараллельном вращении отрезков вокруг фокусов середина центрального отрезка опишет лемнискату Бернулли.

  Вариант второй

  В этом варианте лемниската строится по фокусу и двойной точке — [math]\displaystyle< A >[/math] и [math]\displaystyle< O >[/math] соответственно. Собирается почти такая же шарнирная конструкция как и в предыдущем варианте, но прикреплённый к двойной точке отрезок [math]\displaystyle< OC >[/math] соединяется не с концом центрального [math]\displaystyle< BD >[/math] , а с его серединой. Пропорции также другие: [math]\displaystyle< \textstyle BC=CD=OC=\frac<\sqrt<2>>,\;AB=AO >[/math] .

  Похожие публикации:

  1. Как скачать по ссылке на яндекс диск
  2. Как узнать когда первый раз включили телефон
  3. Как узнать пароль от компьютера windows 11
  4. Машинка атлант ошибка door что делать