Как построить годограф найквиста

Б) Критерий Найквиста (на плоскости лчх)

Построим ЛЧХ заданной системы, для этого определим расчетные выражения для L(w) и φ(w):

Для построения асимптотической ЛАЧХ найдем параметры:

ЛФЧХ системы также можно построить как геометрическую сумму ЛФЧХ отдельных звеньев системы.

Графики расчетных ЛЧХ, построенные по формулам (7) и (8) изображены на рисунке (1.3.2):

w_ср(частота среза) – частота, соответствующая пересечению ЛАЧХ с осью lgw;

w_кр(критическая частота) – частота, соответствующая пересечению ЛФЧХ уровня –π;

Система устойчива, если выполняется условие:

Данное условие не выполняется, следовательно, система неустойчива. Аналогичный вывод можно сделать по асимптотической ЛАЧХ и ЛФЧХ системы, построенной как сумма отдельных звеньев, входящих в систему, изображенной на рисунке (1.3.3):

В) Критерий Михайлова

Используя характеристическое уравнение замкнутой системы (2) введем функцию Михайлова:

Для заданной системы функция Михайлова примет вид:

Графическое изображение функции Михайлова на комплексной плоскости при называется годографом Михайлова. Для устойчивости системы n-го порядка необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова начинался на вещественной положительной полуоси и при увеличении частоты до ∞ проходил последовательно в положительном направлении n квадрантов, нигде не обращаясь в ноль.

Расчет и построение годографов Найквиста для каждого звена и системы в целом

Критерий Найквиста: если годограф Найквиста разомкнутой системы охватывает точку (-1,j0), то система является неустойчивой и наоборот.

1) Построим годограф для 1-ого звена:

Рис 3.1 Годограф Найквиста для первого звена(P₁(w)-вещественная часть, Q₁(w)-мнимая часть)

Вывод: Годограф не охватывает (-1,j0), поэтому звено устойчиво.

2) Построим годограф для 2-ого звена:

Рис 3.2 Годограф Найквиста для второго звена(P₂(w)-вещественная часть, Q₂(w)-мнимая часть)

Вывод: Годограф не охватывает точку (-1,j0), поэтому звено устойчиво.

3) Построим годограф для 3-ого звена:

Рис 3.3 Годограф Найквиста для третьего звена(P₃(w)-вещественная часть, Q₃(w)-мнимая часть)

Вывод: Годограф не охватывает точку (-1,j0), поэтому звено устойчиво.

Теперь построим годограф Найквиста для всей САР.

Рис 3.4 Годограф Найквиста для всей САР(P(w)-вещественная часть, Q(w)-мнимая часть)

Вывод: Годограф не охватывает критическую точку, из этого следует, что САР устойчива.

Годограф Найквиста

на плоскости комплексной переменной в зависимости от частоты называется амплитудно-фазовой частотной характеристикой (а.ф.ч.х.). Вообще говоря, с изменением частоты w от нуля до бесконечности (0 < w <¥) вектор в плоскости комплексного переменного будет поворачиваться и его конец опишет некоторую кривую, называемую годографом. Применительно с частотным характеристикам этот годограф называется годографом Найквиста (а.ф.ч.х.).

На рисунке 1 приведен типичный пример годографа Найквиста в положительном диапазоне частот (0 < w <¥). На нем показаны все составляющие частотной характеристики как комплексной функции вещественного аргумента.

Иногда, (например, в ППП Control System Toolbox) годограф строится во всем диапазоне частот (-¥ < w <¥). Не трудно доказать, что при отрицательных значениях частот годограф симметричен годографу при положительных значениях частот (относительно вещественной оси).

Рисунок 1 — Годограф Найквиста

2 Диаграммы Боде

Логарифмические амплитудные и фазовые частотные характеристики (ЛЧХ), называемые диаграммами Боде, получили гораздо большее распространение, чем годографы Найквиста.

Прологарифмировав выражение частотной характеристики (через амплитудную и фазовую), получим, что ее логарифм равен сумме логарифма амплитудной характеристики и фазовой характеристики:

.

Две характеристики и , построенные в логарифмическом масштабе частот (), называются натуральными логарифмическими амплитудными и фазовыми частотными характеристиками.

В теории автоматического управления используются десятичные логарифмы. За единицу измерения принимается децибел () и рассматривают две характеристики: и , построенные в логарифмическом масштабе частот. Именно они называются логарифмическими амплитудными и логарифмическими фазовыми характеристиками соответственно.

Логарифмический масштаб частот связан с некоторыми особенностями в терминологии. При двукратном изменении частот говорят, что частота изменилась на октаву, а при десятикратном – на декаду. Иначе говоря, октава – отрезок логарифмической оси частот, между произвольным значением частоты и ее удвоенным значением.

Декада – отрезок логарифмической оси частот между произвольным значением частоты и в десять раз большим значением:

.

При графическом изображении логарифмических характеристик придерживаются некоторых правил. Точка, соответствующая нулевому значению частоты лежит слева в бесконечности, т.к. lg0 = -¥. Поэтому ось ординат проводится через любую точку оси частот так, чтобы справа располагалась та часть ЛЧХ, которую нужно исследовать, а слева – для описания которой достаточно качественных характеристик. Слева обычно остается та часть фазовой характеристики, которая мало отличается от нуля (или другого постоянного значения). То же самое можно сказать и о коэффициенте наклона амплитудной характеристики. Слева обычно оставляют ту часть амплитудной характеристики, коэффициент наклона которой мало отличается от нулевого значения (или другого постоянного значения.

Амплитудную и фазовую характеристики изображают на одном рисунке с общей осью частот. Ось частот разбивается на декады и, может быть, октавы, причем каждая декада разбивается на октавы отдельно. Для удобства под точками этой оси принято записывать не значения логарифмов частот, а значения самих частот. Обе характеристики имеют общую ось ординат, но две разные разметки: в децибелах для амплитудной характеристики и в радианах (или градусах) для фазовой.

Удобство логарифмических характеристик заключается в возможности простого определения амплитудных характеристик последовательного соединения звеньев и спрямления амплитудных характеристик, как будет показано ниже.

Передаточная функция последовательного соединения звеньев равна произведению передаточных функций соединяемых звеньев. Поэтому

.

.

Определим отсюда выражение логарифмических характеристик последовательного соединения звеньев:

,

Таким образом, логарифмические характеристики последовательного соединения складываются. Это относится как к амплитудным, так и к фазовым характеристикам.

На рисунке 2 в качестве примера изображены логарифмические характеристики (диаграммы Боде) системы с передаточной функцией

Рисунок 2 — Логарифмические частотные характеристики (ЛЧХ)

1. Мирошник И.В. Теория автоматического управления. Линейные системы. — СПб.: Питер, 2005.

2. Филлипс Ч., Харбор Р. Системы управления с обратной связью. М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001.

3. Методы классической и современной теории автоматического управления в 3-х т. Т.1: Анализ и статистическая динамика систем автоматического управления / Под ред. Н.Д. Егупова. – Изд. МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000.

Теория и проектирование цифровых систем управления – часть 43

Исследование цифровых систем управления в частотной области, по су­ти дела, связано с применением всех известных методов, разработанных для анализа непрерывных систем. Хорошо известны следующие методы.

1. Годограф Найквиста, который для передаточной функции G(s) [или G(z)] является отображением контура Найквиста на s-плоскости (г-плоскости) на плоскость G(s) [или G(z)]. Построив годограф Найк­виста для разомкнутой системы и исследовав его положение относи­тельно точки (— 1, /0), можно сделать вывод об устойчивости замкнутой системы.

2. Логарифмические частотные характеристики, которые являются графическим представлением амплитуды в децибелах и фазового угла передаточной функции (обычно это — передаточная функция разомкнуто­го контура)" в зависимости от частоты со (или десятичного логарифма частоты). Эти характеристики можно использовать для анализа абсолют­ной и относительной устойчивости замкнутой. системы.

3. Амплитудно-фазовая диаграмма, которая строится для разомкну­той системы и связывает значения амплитуды в децибелах с фазовым сдвигом в градусах. С ее помощью также можно определить абсолютную и относительную устойчивость замкнутой системы. Если амплитудно-фа – зовую диаграмму наложить на диаграмму Никольса [1], то можно полу­чить полную информацию о частотных характеристиках замкнутой системы.

72. ГОДОГРАФ НАЙКВИСТА

Критерий Найквиста [1] позволяет графически исследовать устойчи­вость замкнутой системы по частотному годографу передаточной функции разомкнутого контура, построенному в полярных координатах. Непре­рывная система, изображенная на рис. 1.1,а имеет в замкнутом состоянии передаточную функцию

Рис. 7.1. Структурные схемы систем управления: а — непрерывной; б — цифровой

Рис. 7.2. Контуры Найквиста: a – Ts на s-плоскости; б— Гг на z-плоскости

Устойчивость системы определяется нулями функции 1 + G(s)//(s). Контур Найквиста на s-плоскости выглядит так, как показано на рис. 1.2,а. Этот контур состоит из четырех участков и охватывает всю правую половину s-плоскости, исключая начало координат и точки на мнимой оси, где рас­положены полюсы и нули функции G(s)//(s). Для анализа устойчивости замкнутой системы, изображенной на рис. 7.1, я, нужно сначала построить годограф Найквиста для G(s)h’(s), который является отображением кон­тура Найквиста Гх в s-плоскости на плоскость G(s)h’(s), а затем пронаблю­дать его поведение относительно точки ( — 1,/0).

Цифровая система управления, изображенная на рис. 7.1, б, имеет в замкнутом состоянии импульсную передаточную функцию

C*(s) = G*(s) R*(s) 1 + GH*(s)

Устойчивость замкнутой системы можно определить по годографу Найк­виста для GH*(s). Так как GH*(s) имеет вид

GH*(s) = = Y G(s + 3nws)H(s + inws)

то построение годографа фактически зависит от свойств произведения G (s)tf(s). Можно поступить иначе, записав передаточную функцию (7-2) в z-форме:

и построив годограф Найквиста для GH(z), если использовать контур Найквиста Г2 на z-плоскости. Контур Гг можно получить отображением контура rs на z-плоскость с помощью выражения z = eTs. На рис. 7.2, б показан контур Найквиста Г2 на z-плоскости; малые полуокружности при z = 1 и в других точках контура соответствуют возможным аналогичным полуокружностям на контуре Найквиста в s-плоскости. Большая окруж­ность бесконечного радиуса на z-плоскости соответствует большой полу­окружности (участок IV) на s-плоскости. Контур Найквиста на z-плоскос­ти не является непрерывным, ибо, когда при движении по контуру в s – плоскости точка достигает положения 5, соответствующая ей точка на z – плоскости перескакивает с единичной окружности на окружность беско-

нечного радиуса, а в положении 7 происходит обратный скачок. Точное место, где происходит такой скачок, указать невозможно. Однако об­ластью, охватываемой контуром Найквиста Г2, является все пространство между двумя окружностями. Для передаточных функций GH(z), которые не имеют полюсов и нулей вне единичной окружности на z-плоскости, достаточно использовать только участок I контура Г2, соответствующий участку Гх от s = 0 до s = /

Теперь приведем формулировку критерия Найквиста для цифровых систем управления и опишем процедуру его применения.

1. На z-плоскости определяется контур Найквиста, как показано на рис. 1.2,6.

2. Годограф Найквиста для GH*(s) или GH(z) строится в полярных координатах при изменении переменной z вдоль контура Гг или перемен­ной s вдоль контура Гх.

3. Критерий Найквиста указывает на то, что для устойчивости замкну­той цифровой системы годограф Найквиста GH(z) [или Gff*(s)] должен охватывать точку ( — 1, /0) на плоскости GH(z) [или GH*(s)] столько раз, сколько полюсов GH(z) [или GH*(s)] находится внутри контура Найк­виста Г2 (или rs), причем зти охваты должны совершаться по часовой стрелке.

где N — число охватов точки ( — 1, /0) годографом Найквиста GH(z), причем N берется со знаком плюс при охвате точки ( — 1, /0) против ча­совой стрелки и со знаком минус при охвате по часовой стрелке; Z — чис­ло нулей функции 1 + GH(z), расположенных на z-плоскости вне единич­ной окружности (или "охватываемых" контуром НайкЕиста при движе­нии по нему против часовой стрелки); Р — число полюсов функции 1 + + GH(z), расположенных на z-плоскости вне единичной окружности, т. е. охватываемых контуром Найквиста. [Заметим, что полюсы 1 + GH(z) совпадают с полюсами G/7(z)].

Чтобы замкнутая система была устойчива, должно выполняться тож­дество Z = 0, т. е. все корни характеристического уравнения должны ле­жать внутри единичной окружности. Тогда условие (7-5) принимает вид

Если функция GH(z) не имеет полюсов вне единичной окружности (т. е. Р = 0), это означает, что разомкнутая система устойчива, и критерий Найк­виста принимает простейшую форму

Таким образом, если разомкнутая система устойчива и Z — 0, то для того, чтобы замкнутая система также была устойчива, годограф Найквиста GH(z) вообще не должен охватывать точку ( — 1, /0).

Итак, применение критерия Найквиста к цифровым системам управ­ления, по сути, сводится к исследованию поведения годографа Найквиста GH(z) относительно точки ( — 1,/0). Следовательно, основной задачей является построение этого годографа.

Если критерий устойчивости имеет вид (7-7), то необходимо построить только участок I (z = т, 0 < со < годографа Найквиста.

Участок I годографа Найквиста GH(z) строится на основании выра­жения

GH*(jw)=if Z G(jw + jnws)H(jw + jncos) (7-8)

где со изменяется от 0 до Другим способом тот же годограф можно построить по выражению GH(z), заменяяz = и варьируя со от 0 до

Выражение (7-8) неудобно для построения годографа Найквиста, так как оно содержит бесконечное число членов. Поэтому ниже рассмотрим несколько практических, методов построения годографа Найквиста для GH(z).

1. Метод /-преобразования. При гармоническом анализе непрерывных систем в выражении для передаточной функции производится подстанов­ка s = /со, т. е. на s-плоскости рассматриваются только точки, расположен­ные на положительном направлении мнимой оси. Для цифровых систем управления соответствующий анализ в частотной области связан с заменой

т. е. на z-плоскости рассматриваются только точки, расположенные на еди­ничной окружности |z| = 1.Так, если задана некоторая передаточная функ­ция G(z), то имеет место тождество

Программа вычисления G(z) по последнему выражению на языке ФОРТ – PAH-IV приведена в п. 7.7.

Пример. 7.1. Пусть цифровая система управления, изображенная на рис. 7.1, б, имеет в разомкнутом состоянии передаточную функцию

а частота квантования cjs = 4 рад/с, что соответствует периоду квантования Т = = тг/2 с.

z-преобразование выражения G(s)#(s) имеет вид

GH(z) = 1,57 (z _ iXz-0,208) (7-13)

В соответствии с (7-11) частотный годограф GH(z) описывается выражением

____________ 1.243(cosojT + jsinojT)_____

(coswT + jsinwT – l)(coswT + jsinwT – 0,208)

< rtu>s/2, где n = 1,2,. . ., то в указанных интервалах частот годограф G#(z) имеет один и тог же вид. На рис. 7.3 изображен годограф GH(z) при изменении z вдоль еди­ничной окружности. На годографе отмечены только те значения частоты, которые соответствуют отрезку оси /си на s-плоскости, находящемуся в основной полосе. Влияние квантования на устойчивость замкнутой системы очевидно из годографов Найквиста для G(s)H(s) и GH(z), приведенных на рис. 7.3. Поскольку передаточная функция G(s)H(s) имеет второй порядок, то соответствующий ей частотный годо­граф не пересекает отрицательное направление действительной оси и непрерывная система управления с такой передаточной функцией всегда будет устойчива в замк­нутом состоянии. Для цифровой системы управления годограф GH(z) при К = 1,57 пересекает отрицательное направление действительной оси в точке – 0,515; точка же ( – 1 ,/0) находится левее, и годограф GH(z) не охватывает ее. Следовательно, замк­нутая цифровая система при К = 1,57 и Т — тг/2 с является устойчивой. Однако при К > 3,05 она уже не будет асимптотически устойчивой.

Пример 12. Рассмотрим цифровую систему управления, изображенную на рис. 6.5; передаточная функция разомкнутой системы задана выражением (6-59), где Т = 0,1 с, Кг= 3,17-Ю5, /у = 41822, аКр

варьируемый параметр. Итак,

1,2 X 10"7К (z + 1) G(Z) = (z-l)(z-0,242) (7-15)

После замены z = el^ в выражении (7-15) вычисляются модуль и фаза функ­ции G(z). На рис. 7.4 изображены годографы Найквиста для C(z) при Ар = 1,65-106 ; 6,32-106 и 107. Когда Кр = 1.65-106, то годограф G(z) при частоте 13,2 рад/с пересе­кает отрицательное направление действительной оси в точке – 0,26. Так как точка ( — 1./0) находится левее, то в соответствии с критерием Найквиста замкнутая сис­тема асимптотически устойчива. При Кр = 6,32-106 годограф G(z) проходит через точку ( – 1,/0) и система не является асимптотически устойчивой. Наконец, при Кр = 10"? годограф G(z) охватывает точку ( – 1,/0) и систем а неустойчива. Частота, при которой годограф G(z) пересекает отрицательное направление действительной оси, равна значению и>, при котором корневой годограф на z-плоскости пересекает единичную окружность (см. рис. 6.21).