Как определить периодичность функции

Периодичность функции

Онлайн калькулятор для определения периодичности функции. Периодическая функция — это функция повторяющая свои значения через некоторый регулярный интервал аргумента, то есть не меняющая своего значения при добавлении к аргументу некоторого фиксированного ненулевого числа (периода функции) на всей области определения.

Периодичная функция может иметь и несколько периодов, самый маленький положительный из них называется основным.

$\left(a=\operatorname<const>\right)» /> <ul> <li><img decoding=$ : x^a

Периодичность функций

Функция называетсяпериодической, если существует такое число , что для любого значениях из области определения выполняется равенство

число Т называется периодом функции.

Примеры периодических функций: ,,,.

Заметим, что периодическую функцию достаточно исследовать в пределах одного периода, т.е. при .

Простейшие преобразования графиков

Пусть в данной системе координат вычерчен график некоторой функции

Из этого графика с помощью специальных приемов легко получить график сходных функций; таких как

а также более общего вида

где — некоторые константы.

График функции получается растяжениемили сжатиемвm раз исходного графика вдоль оси Оy.

Если же , то, построив сначала график функции, затем строим симметричный с ним относительно осиОх искомый график функции .

График функции получается с помощью параллельного переноса (сдвига) графикавдоль осиОy вверх или внизнаn единиц.

График функции получается из графикасжатиемили растяжениемего ва раз вдоль оси Ох. (т.е. к оси Оy).

График функции y=f(x+b) получается из графика y=f(x) с помощью параллельного переноса (сдвига) его вдоль оси Ох влево (b>0) или вправо (b<0) на b единиц.

Построение графиков подобного рода в общем случае

сводится к проведению в соответствующем порядке операций 1-4.

1. . Вычислить:,,,

2. . Вычислить:,,,

3. Найти область определения функций:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) ;

ж) ;

з) ;

и) ;

к) .

4. Исследовать функции на четность или нечетность

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) .

5. Найти наименьший период функций:

а) ; б)

6. Построить графики функций:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е)

ж) ;

з)

и)

Задание 1. Найти области определения и значения функций

11)

21)

12)

22)

13)

23)

14)

24)

15)

25)

16)

26)

17)

27)

18)

28)

19)

29)

10)

20)

30)

Периодические функции

С периодическими функциями мы встречаемся в школьном курсе алгебры. Это функции, все значения которых повторяются через определенный период. Как будто мы копируем часть графика — и повторяем этот паттерн на всей области определения функции. Например, — периодические функции.

Дадим определение периодической функции:

Функция называется периодической, если существует такое число , не равное нулю, что для любого из ее области определения

Другими словами, это функция, значения которой не изменяются при добавлении к значениям её аргумента некоторого фиксированного ненулевого числа . Число называется периодом функции. Как правило, говоря о периоде, мы имеем в виду наименьший положительный период функции.

Например, — периодические функции.

Для функций и период ,

Для функций и период

Но не только тригонометрические функции являются периодическими. Если вы учитесь в матклассе или на первом курсе вуза — вам могут встретиться вот такие задачи:

1. Периодическая функция определена для всех действительных чисел. Ее период равен двум и Найдите значение выражения

График функции может выглядеть, например, вот так:

Отметим точку М (1; 5), принадлежащую графику функции . Поскольку период функции равен 2, значения функции в точках будут также равны пяти. Здесь k — целое число.

Как ведет себя функция в других точках — мы не знаем. Но знаем, что ее график состоит из повторяющихся элементов длиной 2, что и нарисовано.

Значения функции в точках -3 и 7 равны пяти. Мы получим:

2. График четной периодической функции совпадает с графиком функции на отрезке от 0 до 1; период функции равен 2. Постройте график функции и найдите f(4 ).

Построим график функции при

Поскольку функция четная, ее график симметричен относительно оси ординат. Построим часть графика при симметричную части графика от 0 до 1.

Период функции равен 2. Повторим периодически участок длины 2, который уже построен.

3. Найдите наименьший положительный период функции

Наименьший положительный период функции равен

График функции получается из графика функции сжатием в 3 раза по оси X (смотри тему «Преобразование графиков функций).

Значит, у функции частота в 3 раза больше, чем у функции , а наименьший положительный период в 3 раза меньше и равен . Значит, на отрезке укладывается ровно 3 полных волны функции

Рассуждая аналогично, получим, что для функции наименьший положительный период равен На отрезке укладывается ровно 5 полных волн функции

Числа 3 и 5 — взаимно простые. Поэтому наименьший положительный период функции равен .

4. Период функции равен 12, а период функции равен 8. Найдите наименьший положительный период функции

По условию, период функции равен 12. Это значит, что все значения повторяются через 12, через . Если мы выберем любую точку на графике функции то через значение функции будет такое же, как и в точке

Аналогично, все значения функции повторяются через . В этих точках значения будут такие же, как и в точке

На каком же расстоянии от точки расположена точка, в которой значение функции такое же, что и в точке ? Очевидно, на расстоянии Это значит, что число делится и на 12, и на 8, то есть является их наименьшим общим кратным. Значит, .

Наименьший положительный период суммы функций равен наименьшему общему кратному периодов слагаемых.

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Периодические функции» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Периодичность функций

$ art_name

В этой статье обсуждаем периодичность функций: как определить, периодична ли функция, и каков ее период.

Функция периодична, если некоторый набор ее значений повторяется раз за разом, и точки с одинаковыми значениями функции расположены на числовой оси с равными промежутками. Это расстояние и будем называть периодом. Периодичная функция может иметь и несколько периодов, самый маленький положительный из них будем называть основным.

Тогда, если мы знаем период, мы можем, зная все значения функции на протяжении данного периода, достроить функцию, либо узнать ее значения в любой точке числовой оси – то есть при любом аргументе.

period1

Пример 1: функция f(x) имеет период, равный 2: T=2 и f(x)=x^2+2x при x in[-2; 0] . Найдите значение выражения -2f(-3)-4f(3,5) .

Раз наша функция принимает форму части параболы на отрезке [-2; 0] при периоде, равном 2, значит, такую же форму она будет иметь и на следующем отрезке – [0;2], и на отрезке [2;4]. Изобразим ее:

period2

Определение значения периодичной функции

Видно, что функция принимает одинаковые значения в точках, отстоящих друг от друга на 2, 4, 6 единиц и т.д., тогда f(-3)= f(-1), f(3,5)=f(-0,5) . Найдем эти значения функции. В точке (-1) функция принимает значение f(-1)=(-1)^2-2=-1 , в точке (3,5) функция принимает значение f(-0,5)=(-0,5)^2+2(-0,5)=-0,75 .

Теперь найдем значение искомого выражения: -2f(-3)-4f(3,5)=-2(-1)-4(-0,75)=5 .

Строго говоря, функция периодична, если есть такое число Т, что f(x+T)=f(x) .

Попробуем научиться определять, периодична ли функция или нет. Для этого рассмотрим несколько примеров.

Пример 2. Проверим, периодична ли функция f(x)=sqrt<x>» />.
Установим, выполняется ли условие: <img decoding= , то есть sqrt<x+T>= sqrt<x>» />? Очевидно, что данное условие не выполняется. Значит, функция непериодична.
Пример 3. Проверим, периодична ли функция <img decoding= .

Функцию для удобства представим в виде: f(x)= (x-2)^2 .

Установим, выполняется ли условие: f(x+T)=f(x) , то есть (x-2)^2= (x+T-2)^2 ? Очевидно, что данное условие не выполняется: (x+T-2)^2=x^2-2(t-2)x+(T-2)^2<> (x-2)^2 . Значит, функция непериодична.

Пример 4. Проверим, периодична ли функция f(x)=delim<|><cos x><|>» />. Если функция периодична, то будет выполняться условие: <img decoding= , то есть delim<|><cos x><|>= delim<|><cos (x+T)><|>» />. Поскольку нам все равно, в какой точке числовой оси мы проведем свое исследование, то очень удобно начать с точки <img decoding= . Тогда delim<|><cos 0><|>= delim<|><cos (0+T)><|>» />, или <img decoding= , либо cos T=-1 , то есть либо T=2<pi>» />, либо <img decoding=

Определение периода функции

Если Т – период, то cos 2(x+T)+2sin 2(x+T)= cos (2x)+2sin (2x) .

В это равенство подставим какие-нибудь «удобные» точки, например, . Получим:

cos (2<pi>+2T)+2sin (2pi+2T)= cos (2<pi>)+2sin (2<pi>)» />
<img decoding=

Далее есть два пути отыскания периода, первый – решение этого уравнения, второй – составление еще одного уравнения такого же вида. Если функция имеет период Т, то верно и следующее: cos 2(x-T)+2sin 2(x-T)= cos (2x)+2sin (2x) . Подставим «удобную» точку :

cos (2<pi>-2T)+2sin (2<pi>-2T)= cos (2<pi>)+2sin (2<pi>)» />
<img decoding=

Пользуясь четностью косинуса и нечетностью синуса можем записать:

cos (2T)-2sin (2T)=1

delim<lbrace><matrix<2><1> << cos (2T)-2sin (2T)=1>< cos (2T)+2sin (2T)=1>>>< >» />
Уравнения сложим, и получим
<img decoding= , откуда

cos (2T)=1

2T=2<pi>n» />, при <img decoding= получим T=<pi>» /> – ведь нам нужен наименьший период.
Теперь испробуем второй путь, решим это уравнение: <img decoding= . Из основного тригонометрического тождества:

<sqrt<1-<sin <2T>>^2>>+2<sin <2T>>=1″ />
Оставим в левой части только корень:
<img decoding= , то есть T=<pi>» />.
Здесь также необходимо сделать проверку. Подставим полученный период в условие <img decoding= :

cos (2x+2<pi>)+2sin (2x+2<pi>)= cos (2x)+2sin (2x)=f(x)» />, то есть
период данной функции — <img decoding=

Определение периода функции

Пример 6. Определить периодичность функции f(x)= delim<|><<sin><delim<|><x><|>>><|>» /> и найти ее основной период.
Если Т – период, то <img decoding= , имеем

delim<|><<sin><delim<|><0><|>>><|>= delim<|><<sin><delim<|><T><|>>><|>» />,
Или <img decoding= , T= <pi>n» />, наименьший период при <img decoding= , T= <pi>» />.
<img decoding=

Определение периода функции

Пример 7. Определим период функции f(x)=sin 4x .

Запишем условие периодичности:

sin 4(x+T)=sin 4x , если x=0 , то

sin 4T=sin 0=0 , откуда 4T= <pi>n» />, <img decoding= , T= <pi>/4″ />, при <img decoding= , T= <pi>/2″ />. Проверкой можно показать, что <img decoding=