Как найти угол между векторами
Угол между векторами — это угол между отрезками, которые изображают эти две направляющие и которые отложены от одной точки пространства. Другими словами — это кратчайший путь, на который можно повернуть один из векторов вокруг его начала до положения общей направленности со вторым.
На изображении это α, который также можно обозначить следующим образом:
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Как и любой другой угол, векторный может быть представлен в нескольких вариациях.
Острый:
Тупой:
Прямой:
С величиной \(0^\circ\) (то есть, векторы сонаправлены):
С величиной \(180^\circ\) (векторы направлены в противоположные стороны):
Нахождение угла между векторами
Как правило, угол между \( \overrightarrow a\) и \(\overrightarrow b\) можно найти с помощью скалярного произведения или теоремы косинусов для треугольника, который был построен на основе двух этих направляющих.
Скалярное произведение — это число, которое равно произведению двух направляющих на косинус угла между ними.
Формула скалярного произведения:
\(\left(\overrightarrow a;\overrightarrow b\right)=\left|\overrightarrow a\right|\times\left|\overrightarrow b\right|\times\cos\left(\widehat<\overrightarrow a;\overrightarrow b>\right)\)
- Если α — острый, то СП (скалярное произведение) будет положительным числом (cos острого угла — положительное число).
- Если векторы имеют общую направленность, то есть угол между ними равен \(0^\circ\) , а косинус — 1, то СП будет тоже положительным.
- Если α — тупой, то скалярное произведение будет отрицательным (cos тупого угла — отрицательное число).
- Если α равен \(180^\circ\) , то есть векторы противоположно направлены, то СП тоже отрицательно, потому что cos данного угла равен 1.
- Если α — прямой, то СП равно 0, так как косинус \(90^\circ\) равен 0.
В случае, если \overrightarrow a и \overrightarrow b не нулевые, можно найти косинус α между ними, опираясь на формулу:
Расчет угла, если вектор задан координатами
В случае, когда направляющие расположены на двухмерной плоскости с заданными координатами в виде \(\overrightarrow a=\left(a_x;a_y\right)\) и \(\overrightarrow b=\left(b_x;b_y\right)\) , то угол между ними можно найти следующим образом:
Если же координаты находятся в трехмерном пространстве и заданы в виде:
то формула принимает такой вид:
Расчет угла, если заданы три точки в прямоугольной системе координат
В этом случае проще будет разобраться с объяснениями сразу на примере.
Допустим, нам известны три точки и их координаты: A(3,-2), B(2,1), C (6,-1). Нужно найти косинус угла между \(\overrightarrow
Решение
Для начала найдем их координаты по известным координатам заданных точек:
После этого уже можем применить формулу для определения косинуса угла на плоскости и подставить известные значения:
Примеры решения задач
Для наглядности, взглянем на примеры решения задач по данной теме.
Задача 1
Известно, что \(\overrightarrow a\) и \(\overrightarrow b\) . Их длины равны 3 и 6 соответственно, а скалярное произведение равно -9. Нужно найти cos угла между векторами и его величину.
Решение
Подставим известные значения:
Далее найдем угол между данными векторами:
Задача 2
В пространстве даны координаты \(\overrightarrow a=(8; -11; 7)\) и \(\overrightarrow b=(-2; -7; 8)\) . Вычислить угол α между ними.
Решение
Используем формулу для нахождения косинуса угла между направляющими в трехмерной системе координат:
Подставляем значения и получаем:
Теперь находим угол α:
Задача 3
Известны \(\overrightarrow a=(3; 4)\) и \(\overrightarrow b=(2; 5)\) . Найти угол между ними.
5.2. Векторное произведение двух векторов.
О
пределение. Векторным произведением двух векторов 
и
называется вектор />, удовлетворяющий следующим условиям:
а) вектор 
перпендикулярен плоскости векторов 
и
и направлен так, что тройка векторов
,
,
правая;
б) длина вектора 
численно равна площади
Рис. 2.19 параллелограмма, построенного на векторах 
и
, т.е.
, где
— угол между векторами
и
(рис. 2.19).
Очевидно, что 
,
,
,
,
,
.
Пример 11. Проверить справедливость равенства 
.
Решение. 
,
,
.
Метод Жуковского.
Рассмотрим метод Жуковского построения вектора 
.
Пусть угол между векторами 
и
равен
.
Векторы 
и
приложим к общему началу
(рис. 2.20). Через точку
перпендикулярно вектору
проведем плоскость
. Из конца вектора
опустим перпендикуляр на плоскость
. Точку пересечения этого перпендикуляра и плоскости обозначим через
. Проведем в плоскости
вектор
и построим вектор
.
Рис. 2.20 П
окажем, что вектор
.
а) Из построения следует, что вектор 
перпендикулярен векторам
,
, и векторы
,
,
образуют правую тройку.
б) 
.
Из а) и б) следует, что 
.
Если проекцию вектора 
на плоскость
обозначить через
, то
.
Свойства векторного произведения.
Векторное произведение двух векторов обладает следующими свойствами:
1) 
(векторное произведениеантикоммутативно, т.е. при перестановке сомножителей направление вектора меняется на противоположное, при этом его модуль остаётся неизменным).
Это свойство следует из определения векторного произведения. Если тройка векторов 
правая, то тройка
— левая.
2) 
(ассоциативный закон). Это свойство легко доказывается из определения векторного произведения.
3) 
(дистрибутивный закон.) ►
.◄
4) 
. Это свойство следует из определения векторного произведения, а именно из того, что модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на векторах
и
. Это свойство дает возможность записать в удобной форме параллельность двух векторов.
Например, 
означает, что вектор
коллинеарен биссектрисе первого координатного угла.
Векторное произведение в координатной форме.
Пользуясь свойствами векторного произведения и равенствами 
,
,
,
,
,
, вычислим
=
=
, т.е. 
или
.
Применение векторного произведения.
Векторное произведение векторов 
и
применяется:
для нахождения площади параллелограмма, построенного на векторах 
и
;
для нахождения площади треугольника, построенного на векторах 
и
;
для нахождения синуса угла между векторами 
и
;
для нахождения вектора, перпендикулярного векторам 
и
.
1) Площадь 
параллелограмма, построенного на векторах
и
, может быть вычислена по формуле
, где
— угол между векторами
и
.
Замечание. Если 
и
, то
и
. Отсюда следует, чтомодуль определителя второго порядка численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах 
и
.
2) Площадь 
треугольника, построенного на векторах
и
, равна половине площади параллелограмма, построенного на этих же векторах, т.е.
, где
— угол между векторами
и
.
3) Синус угла между векторами 
и
может быть вычислен по формуле
.
4) Вектор 
перпендикулярен вектору
и вектору
.
Замечание. Векторное произведение может быть использовано при решении системы линейных однородных уравнений вида 
Если векторы
и
неколлинеарны, то
является решением исходной системы.
►Действительно, из системы уравнений следует, что вектор 
перпендикулярен векторам
и
, а, следовательно,
.◄
● Пример 12. Дано: 
,
,
,
,
.
Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах 
и
.
Найти синус угла 
между векторами
и
.
Решение. Площадь параллелограмма, построенного на векторах 
и
равнамодулю векторного произведения векторов 
и
, т.е.
.
.
=
.
.
Ответ: 
,
.
● Пример 13. Дано: 
,
,
,
,
.
Найти значение параметра 
, при котором векторы
и
коллинеарны.
Решение. Первый способ. Так как векторы 
и
коллинеарны, то их векторное произведение равно нулю.
=0, а так как
, то
и
.
Второй способ. Векторы 
и
составляют базис системы векторов
,
,
и
. В базисе
и
. Так как векторы
и
коллинеарны, то
, откуда
●
● Пример 14. Найти координаты вектора 
, длина которого равна 15, зная, что он перпендикулярен оси
и вектору
и образует острый угол с осью
.
Решение. 
и
, поэтому
.
, откуда 
Так как вектор 
образует острый угол с осью
, то вторая его координата положительна, тогда
и
●
● Пример 15. Найти площадь параллелограмма 
, если известны координаты трёх его вершин
,
и
.
Решение. 
.
,
,
,
.
● Пример 16. 
,
,
— вершины треугольника
. Найти недостающую координату
точки
. если площадь треугольника
равна 3.
Решение. Площадь 
равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах
и
, т.е.
.
, 
,
.
, откуда
16,
и
.
Ответ: 
или
.
● Пример 17. Решить систему 
Решение. Из уравнений системы следует, что вектор 
перпендикулярен векторам
и
. Тогда
— решение данной системы. ●
Угол между векторами
Иногда студенты при решении задач аналитической геометрии сталкиваются с вопросом: «Как найти угол между векторами?». Чтобы решить такую задачу нужно сначала найти косинус угла между ними, а затем и сам угол. Для этого применяется такая формула: $$ \phi = \arccos(\cos \phi) $$
Если воспользоваться данной формулой, то сначала нужно найти угол между векторами $ \cos \phi $. Затем находим арккосинус от косинуса угла $ \phi $. А чему равен $ \cos \phi $? Для его нахождения необходимо воспользоваться следующими формулами.
Формула
Если векторы расположены на плоскости и координаты их заданы в виде: $ \overline = (a_x; a_y) $ и $ \overline = (b_x; b_y) $, то найти угол между ними можно так:
Если вектора находятся в пространстве и координаты каждого из них заданы в виде: $ \overline = (a_x; a_y; a_z) $ и $ \overline = (b_x; b_y; b_z) $, то вычислить косинус угла следует по формуле:
Примеры решений
Сначала находим косинус угла между векторами по формуле:
Теперь искомый угол $ \phi $ находим по другой формуле:
$$ \phi = \arccos (\cos \phi) = \arccos (\cos \frac<\sqrt<2>><2>) = 45^0 $$
Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
Как найти угол между векторами? Ответ на
Пусть на плоскости или в трехмерном пространстве заданы два ненулевых вектора 
и 
. Отложим от произвольной точки O векторы 
и 
. Тогда справедливо следующее определение.
Углом между векторами 
и 
называется угол между лучами OA и OB.
Угол между векторами 
и 
будем обозначать как 
.
Угол между векторами может принимать значения от до 
или, что то же самое, от 
до 
.
когда векторы 
и 
сонаправленные, 
когда векторы 
и 
противоположно направленные.
Векторы 
и 
называются перпендикулярными, если угол между ними равен 
( 
радиан).
Если хотя бы один из векторов 
и 
нулевой, то угол 
не определен.
Нахождение угла между векторами, примеры и решения
Косинус угла между векторами 
и 
, а значит и сам угол, в общем случае может быть найден либо с использованием скалярного произведения векторов, либо с использованием теоремы косинусов для треугольника, построенного на векторах 
и 
.
Разберем эти случаи.
По определению скалярное произведение векторов есть 
. Если векторы 
и 
ненулевые, то можно разделить обе части последнего равенства на произведение длин векторов 
и 
, и мы получим формулу для нахождения косинуса угла между ненулевыми векторами: 
. Эту формулу можно использовать, если известны длины векторов и их скалярное произведение.
Вычислите косинус угла между векторами 
и 
, а также найдите сам угол, если длины векторов 
и 
равны 3 и 6 соответственно, а их скалярное произведение равно -9.
В условии задачи даны все величины необходимые для применения формулы 
. Вычисляем косинус угла между векторами 
и 
: 
.
Теперь находим угол между векторами: 
.
.
Существуют задачи, где векторы заданы координатами в прямоугольной системе координат на плоскости или в пространстве. В этих случаях для нахождения косинуса угла между векторами можно использовать все ту же формулу 
, но в координатной форме. Получим ее.
Длина вектора есть корень квадратный из суммы квадратов его координат, скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат. Следовательно, формула для вычисления косинуса угла между векторами 
на плоскости имеет вид 
, а для векторов 
в трехмерном пространстве — 
.
Найдите угол между векторами 
, заданными в прямоугольной системе координат.
Решение.
Можно сразу воспользоваться формулой 
: 
А можно для нахождения косинуса угла между векторами использовать формулу 
, предварительно вычислив длины векторов и скалярное произведение по координатам: 
.
К предыдущему случаю сводится задача, когда даны координаты трех точек (например А, В и С) в прямоугольной системе координат и требуется найти какой-нибудь угол (например, 
).
Действительно, угол 
равен углу между векторами 
и 
. Координаты этих векторов вычисляются как разность соответствующих координат точек конца и начала вектора.
Пример.
На плоскости в декартовой системе координат заданы координаты трех точек 
. Найдите косинус угла между векторами 
и 
.
Решение.
Определим координаты векторов 
и 
по координатам заданных точек: 
Теперь воспользуемся формулой для нахождения косинуса угла между векторами на плоскости в координатах: 
.
Угол между векторами 
и 
также можно вычислить по теореме косинусов. Если отложить от точки O векторы 
и 
, то по теореме косинусов в треугольнике ОАВ мы можем записать 
, что эквивалентно равенству 
, откуда находим косинус угла между векторами 
. Для применения полученной формулы нам нужны лишь длины векторов 
и 
, которые легко находятся по координатам векторов 
и 
. Однако, этот метод практически не используется, так как косинус угла между векторами проще найти по формуле 
.
Вычисление ортогональной проекции(сво-во проекции):
Проекция вектора 
на ось l равна произведению модуля вектора 
на косинус угла φ между вектором и осью, т.е. пр 
cosφ.
Док-во: Если φ= 
< 
, то прl 
=+ 
= 
*cos φ.
Если φ> 
(φ≤ 
), то прl 
=- 
=- 
* cos( 
–φ) = 
cosφ (см.рис10)
Если φ= 
, то прl 
= 0 = 
соs φ.
Следствие: Проекция вектора на ось положительна (отрицательна), если вектор образует с осью острый (тупой) угол, и равна нуле, если этот угол – прямой.
Следствие: Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны между собой.
Вычисление ортогональной проекции суммы векторов (сво-во проекции):
Проекция суммы нескольких векторов на одну и ту же ось равна сумме их проекций на эту ось.
Док-во: Пусть, например, 
= 
+ 
+ 
. Имеем прl 
=+ 
=+ 
+ 
— 
, т.е. прl( 
+ 
+ 
) = прl 
+ прl 
+ прl 
(см.рис11)
РИС. 11
Вычисление произведения вектора на число:
При умножеии вектора 
на число λ его проекция на ось так же умножается на это число, т.е. прl (λ* 
)= λ* прl 
.
Док-во: При λ > 0 имеем прl (λ* 
)= 
*cos φ = λ* 
φ = λ*прl 
При λl (λ* 
)= 
*cos( 
–φ)=- 
* (-cosφ) = 
* cosφ= λ *прl 
.
Свойство справедливо и при 
Таким образом, линейные операции над векторами приводят к соответствующим линейным операциям над проекциями этих векторов.
Нахождение угла между векторами
Как правило, угол между \( \overrightarrow a\) и \(\overrightarrow b\) можно найти с помощью скалярного произведения или теоремы косинусов для треугольника, который был построен на основе двух этих направляющих.
Скалярное произведение — это число, которое равно произведению двух направляющих на косинус угла между ними.
Формула скалярного произведения:
\(\left(\overrightarrow a;\overrightarrow b\right)=\left|\overrightarrow a\right|\times\left|\overrightarrow b\right|\times\cos\left(\widehat<\overrightarrow a;\overrightarrow b>\right)\)
- Если α — острый, то СП (скалярное произведение) будет положительным числом (cos острого угла — положительное число).
- Если векторы имеют общую направленность, то есть угол между ними равен \(0^\circ\) , а косинус — 1, то СП будет тоже положительным.
- Если α — тупой, то скалярное произведение будет отрицательным (cos тупого угла — отрицательное число).
- Если α равен \(180^\circ\) , то есть векторы противоположно направлены, то СП тоже отрицательно, потому что cos данного угла равен 1.
- Если α — прямой, то СП равно 0, так как косинус \(90^\circ\) равен 0.
В случае, если \overrightarrow a и \overrightarrow b не нулевые, можно найти косинус α между ними, опираясь на формулу:
Видео
Примеры решений
Сначала находим косинус угла между векторами по формуле:
Теперь искомый угол $ \phi $ находим по другой формуле:
$$ \phi = \arccos (\cos \phi) = \arccos (\cos \frac<\sqrt<2>><2>) = 45^0 $$
Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!