Как найти расстояние от точки до окружности

3.2 Кривые второго порядка

Задача 1. Привести уравнение кривой к каноническому виду и построить ее.

а). Выделим полные квадраты пои по:или— каноническое уравнение окружности с центром в точкеи радиусом.

б).

— окружность,,

Задача 2. а) Найти точки пересечения прямойи окружности.

Решение. Чтобы найти точки пересечения двух линий, нужно решить систему их уравненийи. Для этого подставимв уравнение окружности:, осталось найти;.

Ответ:,.

б) Показать, что прямая и окружностьне пересекаются.

Решение. Для этого достаточно показать, что система уравненийирешений не имеет. Подставимв уравнение окружности:, дискриминант уравнения. Решений у системы нетточек пересечения у линий нет.

Задача 3. Окружность касается осей координат и проходит через точку. Составить уравнение этой окружности.

Решение.Так как окружность касается осей координат, тов уравнении, т.е.

и (почему?). Таким образом, каноническое уравнение окружности. Чтобы найти, подставим в это уравнение координаты точки, через которую проходит окружность:

,,.

Ответ: ;.

Задача 4. Вычислить кратчайшее расстояние от точкидо окружности.

Решение.– кратчайшее расстояние от точкидо окружности. Очевидно,.– центр окружности,— ее радиус. Приведем уравнение окружности к каноническому видуили,. Вычислим длину отрезка.

Ответ:.

Задача 5. Составить уравнение окружности, диаметром которой является отрезок прямой, заключенный между осями координат.

Решение.Преобразуем уравнение прямойк виду «уравнение прямой в отрезках на осях»:, откуда видно, что—и точки пересечения прямой с

осями координат, — диаметр окружности по условию задачи. Следовательно, центр

окружности — точка– середина, т.е. координаты центра окружности,

ведь ,, а радиус окружности

. Уравнение окружности по :

Ответ:.

Задача 6.Окружность задана уравнением. Составить уравнение ее диаметра, перпендикулярного хорде.

Решение. Диаметрпроходит через центр окружности.

риведем уравнение окружности к каноническому виду

или , откуда. По условию задачи диаметр

перпендикулярен данной прямой , значит, по условию перпендикулярности

двух прямых , получим, т.к. угловой коэффициент данной

прямой . Итак, прямая:, или, или.

Ответ:.

Задача 7. Написать каноническое уравнение эллипса, у которого расстояние от одного из фокусов до концов большой оси равно 5 и 1.

Решение.Общий вид канонического уравнения эллипса :, где– большая полуось эллипса, а— малая полуось эллипса. Найдем их. По

условию задачи ,, следовательно,или

,,– фокусное расстояние эллипса,

откуда – полуфокусное расстояние. Зависимость

между параметрами ,,у эллипса:

. Таким образом, каноническое

уравнение эллипса: .

Ответ:.

Задача 8. Найти полуоси, координаты вершин, фокусов, эксцентриситет эллипса. Построить его.

Решение. Приведем уравнение эллипса к каноническому видуили, откуда;, т.к. для эллипса, то. Таким образом:;;;;;. Эксцентриситет эллипса.

Ответ: .

Задача 9.Привести уравнение кривой к каноническому виду:. Построить эту кривую, найти ее эксцентриситет.

Решение. Выделим в уравнении кривой полные квадраты по

и:или. Из уравнения

видно, что центр симметрии эллипса (данной кривой) находится в точке;

— малая и– большая полуоси эллипса,;.

Ответ:.

Задача 10.Дана гипербола. Найти координаты ее вершин, фокусов, эксцентриситет и уравнения асимптот этой гиперболы.

Решение.Каноническое уравнение гиперболы, следовательно, для данной гиперболы,. Зависимость между параметрами гиперболы:

,. Значит,;;

;;;;; асимптоты:

или. (Ответ)

Задача 11. Привести уравнение кривой к каноническому виду и построить ее:.

ешение.Приведем уравнение к каноническому виду, выделив полные квадраты пои:или, из уравнения

следует, что центр симметрии кривой ,— действительная,

— мнимая полуоси гиперболы;—

полуфокусное расстояние гиперболы .

Задача 12. Привести уравнение кривойк каноническому виду, построить кривую.

Решение. Преобразуем данное уравнение. Выделив пополный квадрат:

или— это каноническое уравнение параболы

. Из этого уравнения видно, что вершина параболы —, ось

симметрии параллельна оси .

Задача 13.Камень, брошенный под острым углом к горизонту, описал дугу параболы и упал на расстоянии 16 м от начального положения. Определить параметр параболической траектории, зная, что наибольшая высота, достигнутая камнем, равна 12 м.

Решение. Выберем систему таким образом, чтобы можно было задать параболу

каноническим уравнением вида. Из условий задачи видно, что в этой

системе координат координаты точек ,, т.к.,.

Подставим координаты одной из них в уравнение параболы: ,

отсюда .

Ответ: .

Задача 14. Струя воды, выбрасываемая фонтаном, принимает форму параболы, параметр которого равен. Определить высоту струи, если известно, что она падает в бассейн на расстоянии 2 м от места выхода.

Решение. Решая эту задачу, можно воспользоваться рисунком предыдущей задачи и уравнением параболы. По условию задачи известно, чтом,, следовательно,,,. Подставим в уравнение параболы данный параметр и координаты точки, через которую проходит парабола, например:, откуда. Это ордината точеки, а также и высота параболы, следовательно,.

Ответ:

Расстояние от точки до окружности формула

Окружность — это геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от некоторой заданной точки (центра окружности). Расстояние между любой точкой окружности и ее центром называется радиусом окружности (радиус обозначают буквой R).
Значит, окружность — это линия на плоскости, каждая точка которой расположена на одинаковом расстоянии от центра окружности.

Кругом называется часть плоскости, ограниченная окружностью и включающая ее центр.

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, представляет собой диаметр. Диаметр окружности равен ее удвоенному радиусу: D = 2R.

Точка пересечения двух хорд делит каждую хорду на отрезки, произведение которых одинаково: a1a2 = b1b2

Касательная к окружности всегда перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны: AB = AC, центр окружности лежит на биссектрисе угла BAC.

Квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть

Центральный угол — это угол, вершина которого совпадает с центром окружности.

Дугой называется часть окружности, заключенная между двумя точками.

Мерой дуги (в градусах или радианах) является центральный угол, опирающийся на данную дугу.

Вписанный угол это угол, вершина которого лежит на окружности, а cтороны угла пересекают ее.

Вписанный угол равен половине центрального, если оба угла опираются на одну и ту же дугу окружности.
Внутренние углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Сектором круга называется геометрическая фигура, ограниченная двумя радиусами и дугой, на которую опираются данные радиусы.

Периметр сектора: P = s + 2R.

Площадь сектора: S = Rs/2 = ПR 2 а/360°.

Сегментом круга называется геометрическая фигура, ограниченная хордой и стягиваемой ею дугой.

Наименьшее расстояние между точкой и окружностью

Данный круг с данным радиусом имеет свой центр в определенной позиции в координатной плоскости. В координатной плоскости задается другая точка. Задача — найти кратчайшее расстояние между точкой и окружностью.

Примеры:

Подход :

Ниже приведена реализация вышеуказанного подхода:

// C ++ программа для поиска
// Наименьшее расстояние
// между точкой и
// круг
#include

using namespace std;

// Функция для поиска кратчайшего расстояния

void dist( double x1, double y1, double x2, double y2, double r)

cout «The shortest distance «

«between a point and a circle is «

sqrt (( pow ((x2 — x1), 2))

double x1 = 4, y1 = 6,

x2 = 35, y2 = 42, r = 5;

dist(x1, y1, x2, y2, r);

// Java-программа для поиска
// Наименьшее расстояние
// между точкой и
// круг

// Функция для поиска кратчайшего расстояния

static void dist( double x1, double y1, double x2,

double y2, double r)

System.out.println( «The shortest distance «

+ «between a point and a circle is «

+ (Math.sqrt((Math.pow((x2 — x1), 2 ))

public static void main(String[] args)

double x1 = 4 , y1 = 6 ,

x2 = 35 , y2 = 42 , r = 5 ;

dist(x1, y1, x2, y2, r);

/ * Этот код предоставлен PrinciRaj1992 * /

# Python программа для поиска
# Наименьшее расстояние
# между точкой и
# круг

# Функция поиска кратчайшего расстояния

def dist(x1, y1, x2, y2, r):

print ( «The shortest distance between a point and a circle is «

,((((x2 — x1) * * 2 ) + ((y2 — y1) * * 2 )) * * ( 1 / 2 )) — r);

dist(x1, y1, x2, y2, r);

# Этот код предоставлен 29AjayKumar

// C # программа для поиска кратчайшего расстояния
// между точкой и окружностью

// Функция для поиска кратчайшего расстояния

static void dist( double x1, double y1, double x2,

double y2, double r)

Console.WriteLine( «The shortest distance «

+ «between a point and a circle is «

+ (Math.Sqrt((Math.Pow((x2 — x1), 2))

public static void Main(String[] args)

double x1 = 4, y1 = 6,

x2 = 35, y2 = 42, r = 5;

dist(x1, y1, x2, y2, r);

/ * Этот код предоставлен PrinciRaj1992 * /

// PHP программа для поиска
// Наименьшее расстояние
// между точкой и
// круг

// Функция для поиска кратчайшего расстояния

function dist( $x1 , $y1 , $x2 , $y2 , $r )

echo «The shortest distance between a point and a circle is «

Длина окружности

О чем эта статья:

6 класс, 9 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Если вы не знаете, как обозначается длина окружности, то знак окружности выглядит вот так — l

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).

Как найти длину окружности через диаметр

Хорда — это отрезок, который соединяет две точки окружности.

Диаметр — хорда, которая проходит через центр окружности. Формула длины окружности через диаметр:

π— число пи — математическая константа, примерно равная 3,14

d — диаметр окружности

Как найти длину окружности через радиус

Радиус окружности — отрезок, который соединяет центр окружности с точкой на окружности. Формула длины окружности через радиус:

π — число пи, примерно равное 3,14

r — радиус окружности

Это две основные формулы для вычисления длины окружности. Ниже мы покажем еще несколько формул, которые вы сможете доказать самостоятельно, пользуясь основными формулами и свойствами геометрических фигур.

Как вычислить длину окружности через площадь круга

Если вам известна площадь круга, вы также можете узнать длину окружности:

π — число пи, примерно равное 3,14

S — площадь круга

Как найти длину окружности через диагональ вписанного прямоугольника

Как измерить окружность, если в нее вписан прямоугольник:

π — число пи, примерно равное 3,14

d — диагональ прямоугольника

Как вычислить длину окружности через сторону описанного квадрата

Давайте рассмотрим, как найти длину окружности, если она вписана в квадрат и нам известна сторона квадрата:

π — математическая константа, примерно равная 3,14

Как найти длину окружности через стороны и площадь вписанного треугольника

Можно найти, чему равна длина окружности, если в нее вписан треугольник и известны все три его стороны, а также известна его площадь:

π — математическая константа, она примерно равна 3,14

a — первая сторона треугольника

b — вторая сторона треугольника

c — третья сторона треугольника

S — площадь треугольника

Как найти длину окружности через площадь и полупериметр описанного треугольника

Можно определить, чему равна длина окружности, если круг вписан в треугольник, и известны следующие параметры: площадь треугольника и его полупериметр.

Периметр — это сумма всех сторон треугольника. Полупериметр равен половине этой суммы, то есть чтобы его найти, вам нужно рассчитать периметр и поделить его на два.

π — математическая константа, примерно равная 3,14

S — площадь треугольника

p — полупериметр треугольника

Как вычислить длину окружности через сторону вписанного правильного многоугольника

Разбираемся, как в этом случае измерить окружность. Для этого необходимо посчитать, сколько сторон у многоугольника, а также знать длину стороны многоугольника. Напомним, что у правильного многоугольника все стороны равны, как у квадрата.

Формула вычисления длины окружности:

π — математическая константа, примерно равная 3,14

a — сторона многоугольника

N — количество сторон многоугольника

Задачи для решения

Давайте тренироваться! Двигаемся от простого к сложному:

Задача 1. Найти длину окружности, диаметр которой равен 5 см.

Решение. Итак, нам известен диаметр окружности, значит для вычисления длины заданной окружности берем формулу:

Подставляем туда известные переменные и получается, что длина окружности равна

Задача 2. Чему равна длина окружности, описанной около правильного треугольника со стороною a = 4√3 дм

Решение. Радиус окружности равен Подставим туда наши переменные и получим

Теперь, когда нам известен радиус окружности и есть формула длины окружности через радиус l=2πr, мы можем подставить наши данные и получить решение задачи.

Обучение на курсах по математике поможет закрепить полученные знания на практике.

Глава 25. Окружность

Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от ее центра.

Пусть точка – Центр окружности. Расстояние любой точки окружности до центра обозначим через – Радиус окружности (Рис. 2.11.1). Пусть текущая точка окружности. Из определения окружности следует, что расстояние от точки до центра окружности будет равно радиусу этой окружности. Используя формулу для расстояния между двумя точками, получим каноническое уравнение окружности

Этому уравнению будут удовлетворять координаты точек, лежащих на окружности. Уравнение (2.11.1) называется Нормальным уравнением окружности.

Если центр окружности лежит в начале координат, то есть , то уравнение (2.11.1) принимает вид:

Этот простейший вид уравнения окружности называется Каноническим.

Составить уравнение окружности, проходящей через точку , если центр окружности совпадает с точкой .

Поскольку окружность проходит через точку , координаты этой точки удовлетворяют уравнению , то есть , откуда , тогда уравнение окружности принимает вид .

Найти те касательные к окружности , которые параллельны прямой .

Искомые прямые параллельны данной прямой и перпендикулярны диаметру данной окружности в точках касания. Составим уравнение диаметра: (центр окружности совпадает с началом координат). Учитывая, что диаметр и данная прямая перпендикулярны. Находим угловой коэффициент диаметра. Он равен . Тогда уравнение диаметра имеет вид . Для того, чтобы составить уравнение касательных, необходимо найти координаты точек касания. Решив совместно систему уравнений , находим две точки касания, лежащие на противоположных концах диаметра: , . Угловой коэффициент искомых касательных равен . Тогда с помощью уравнения прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом можно найти уравнения касательных: и .