Как найти порядок малости функции относительно другой

6.6 Порядки бесконечно малых величин

Малой -го порядка малости относительно бесконечно малой величины при ,если существует конечный предел не равный нулю.

Чаще всего приходится устанавливать порядок малости бесконечно малой при относительно . Задача сводится к тому, чтобы подобрать таким образом, чтобы и были одного порядка малости.

Пример 1. Определить порядок малости функции относительно , т. е. выделить ее “главную часть”.

Ответ: Функция — бесконечно малая порядка относительно , т. е.

Пример 2. Определить порядок малости функции Относительно , т. е. выделить ее «главную часть».

Ответ: Функция бесконечно малая 2-го порядка малости относительно .

Пример 3. Установить относительный порядок малости при функций и .

Ответ: Бесконечно малая функция 2-го порядка малости относительно бесконечно малой функции .

Пример 4. Убедиться в том, что функция И при будут бесконечно малыми одного порядка.

Ответ: Функции И — бесконечно малые одного порядка, т. к. предел их отношения при равен .

Пример 5. Доказать, что при Бесконечно малые функции и будут эквивалентными.

Решение: Составляем предел отношения функций и , убеждаемся в процессе вычисления, что он равен 1, откуда делаем вывод:

Что и требовалось доказать: .

Пример 6. Найти относительный порядок малости при Двух бесконечно малых функций и .

Ответ: – бесконечно малая функция 2-го порядка относительно бесконечно малой функции .

Хуета / Анализ бесконечно малых

Определение 1.1. Пусть функции α(x) и β(x) являются бесконечно малыми при ха.

Если существует , то α(x) и β(x) называются бесконечно малыми одного порядка при ха.

Если существует , то α(x) называется величиной более высокого порядка малости, чем β(x) при ха.

Обозначение: α(x) = o(β(x)) при ха (α(x) есть о малое от β(x)).

Если не существует , то бесконечно малые α(x) и β(x) называются несравнимыми при ха.

Например, sin2x и – бесконечно малые одного порядка при х0, так как . Функция sin2x имеет более высокий порядок малости, чем х при х0 (или sin2x=о(х) при х0), поскольку Бесконечно малые и α(x) и β(x) = х несравнимы при х0, так как а не существует (это можно показать с помощью определения предела функции на языке последовательностей).

Замечание 1.1. Если , то Тогда β(x) = o(α(x)) при ха.

Сравнить две бесконечно малые функции – это значит установить, что они являются бесконечно малыми одного порядка, или что одна из них более высокого порядка, чем другая, или что они несравнимы. Для этого надо найти предел их отношения, т.е. раскрыть неопределённость .

Определение 1.2. Если существует , то α(x) и β(x) называются эквивалентными бесконечно малыми при ха.

При отыскании предела отношения бесконечно малых α(x) и β(x) при

используется теорема о замене эквивалентными в отношении и таблица эквивалентных бесконечно малых функций, так как для α(x) и β(x) полезно найти эквивалентные бесконечно малые простейшего вида С(х – а) k .

Таблица эквивалентных бесконечно малых функций.

Пусть функция при . Тогда

.

Пример 1.1. Сравнить бесконечно малые α(x) = и β(x) = при .

►α(x) =

Þα(x)

(здесь использована формула , где при , ). Имеем: β(x)=

=Þ

, здесь использована формула где при . В результате применения теоремы о замене эквивалентными в отношении получим: ¹0, ∞. Поэтому заключаем, что α(x) и β(x) бесконечно малые одного порядка при .◄

Пример 1.2. Сравнить бесконечно малые и при .

►Имеем

, здесь использованы формулы: , и , где при . Имеем: . Используя теорему о замене эквивалентными в отношении, получим: . Таким образом, α(x) является величиной более высокого порядка малости, чем β(х) при х→ 0, при х→ 0.◄

Пример 1.3. Сравнить бесконечно малые α(x) и β(x)при .

►Имеем α(x)

(здесь использована формула где при ), β(x)=

, (здесь использованы формулы:

и , , где при ). Используя теорему о замене эквивалентными в отношении, получим: . Следовательно, и поэтому заключаем, что β(x) – величина более высокого порядка малости, чем α(x) при , β(x) = o(α(x)) при .◄

Пример 1.4. Сравнить бесконечно малые и при .

►Заметим, что β(x) не эквивалентна аргументу функции sinπx, который не является бесконечно малым при . Чтобы найти эквивалентную бесконечно малую для этой функции, сделаем замену переменной. Пусть y = x–3, x = y + 3, при . Имеем:

.

Так как sin(πy + 3π) = sin(πy + 2π + π) = sin(πy + π) = – sinπy, то

=,

здесь использованы периодичность функции синус, формулы приведения из элементарной тригонометрии, а также соотношение где при . Поскольку , то заключаем, что α(x) и β(x) бесконечно малые одного порядка при .◄

Пример 1.5. Сравнить бесконечно малые α(x) и α(x) и β(x)при .

►α(x)

, здесь использована формула где при . Используя формулу для тангенса суммы двух углов, преобразуем выражение для β(x): β(x) = Имеем: , ∞, следовательно, α(x) и β(x) – бесконечно малые одного порядка при .◄

§ 2. Определение порядка бесконечно малой функции.

Определение 2.1. Пусть функции α(x) и β(x) являются бесконечно малыми при . Бесконечно малая α(x) называется бесконечно малой k-го порядка по отношению к бесконечно малой β(x) при ха, если существует .

Так, функция α(x) =sin2x имеет 2-ой порядок малости относительно β(x) =х () при х0, ибо .

Определить порядок малости бесконечно малой α(x) относительно бесконечно малой β(x) при ха – значит найти число k такое, чтобы . При этом используется теорема о замене эквивалентными в отношении и таблица эквивалентных бесконечно малых функций (§1), так как для α(x) и β(x) полезно найти эквивалентные бесконечно малые вида С(х – а) k .

Пример 2.1. Определить порядок бесконечно малой α(x). относительно бесконечно малой β(x) = х при .

► (использованы теорема о замене эквивалентными бесконечно малыми в отношении и формулы: , , и при ). Поскольку – при , то порядок малости α(x) относительно β(x) при х0 равен 2.◄

Пример 2.2. Определить порядок бесконечно малой α(x) ) = относительно бесконечно малой β(x) = х при .

► (использованы теорема о замене эквивалентными бесконечно малыми в отношении и формула: при ). Разложив числитель на множители, получим: . Поскольку –3 при , то порядок малости α(x) относительно β(x) при х0 равен 2.◄

Пример 2.3. Определить порядок бесконечно малой α(x) относительно бесконечно малой β(x) = х при .

►. Числитель разложим на множители по формуле разность косинусов, получим: . После применения теоремы о замене эквивалентными бесконечно малыми в отношении и формулы: и при имеем: . Поскольку 8 при , то порядок малости α(x) относительно β(x) при х0 равен 2.◄

Пример 2.4. Определить порядок бесконечно малой α(x). относительно бесконечно малой β(x) = х при .

►. Числитель заменим на эквивалентную, получим: (использована формула при ). Перенесём иррациональность из числителя в знаменатель, умножив оба члена дроби на выражение, сопряжённое к числителю: . Поскольку при , то порядок малости α(x) относительно β(x) при х0 равен 3.◄

Пример 2.5. Определить порядок бесконечно малой α(x) = относительно бесконечно малой β(x) = х – 1 при х1.

►==. Так как 1, то=1 при . Поэтому порядок малости α(x) относительно β(x) при х1 равен 3.◄

Пример 2.6. Определить порядок бесконечно малой α(x) = cos(πsinх) + 1 относительно бесконечно малой β(x) = х – π/2 при .

►Для α(x) найдём эквивалентную бесконечно малую вида С(х – π/2) k . В результате применения формул для половинных и дополнительных углов из элементарной тригонометрии и формул из таблицы эквивалентных бесконечно малых (см. §1) для α(x) имеем соотношение:

α(x) =

.

при . Используя теорему о замене эквивалентными в отношении, получаем:

при при k = 4. Таким образом, порядок малости α(x) относительно β(x) при х равен 4.◄

Пример 2.7. Определить порядок бесконечно малой α(x) относительно бесконечно малой β(x) = х – π при .

►. Используя основное логарифмическое тождество, представим функцию в виде: . Имеем === (использованы теорема о замене эквивалентными бесконечно малыми в отношении и формулы и при . Заметим, что разность не эквивалентна при , так как не стремится к нулю при . Чтобы найти для этой разности эквивалентную бесконечно малую, сделаем замену переменной: y = х – πx = y + π:

. Поскольку при , то порядок малости α(x) относительно β(x) при равен 3.◄

§3. Выделение главной части бесконечно малой функции.

Определение 3.1. Пусть даны функции α(x) и β(x), являющиеся бесконечно малыми при ха. Функция называется главной частью функции α(x) при ха, если α(x) при ха можно представить в виде:

α(x) = β(x) + o(β(x)). (3.1)

Если бесконечно малые α(x) и β(x) эквивалентны при ха, то для них справедливо равенство (3.1) (свойство эквивалентных бесконечно малых). Поэтому данная бесконечно малая функция α(x) при ха может иметь бесчисленное множество главных частей, так как любая бесконечно малая функция β(x), эквивалентная α(x), будет её главной частью. Например, функции х, tg x – главные части функции sin x при х0, так как при х0 справедливы утверждения: sin x

x, sin x

Обычно главную часть функции α(x), бесконечно малой при ха, находят в

наиболее простом виде, например, в виде степенной функции β(x) = С(х – а) k , k > 0, при aR или β(x) = С(1/х) k , k > 0, при a. Найти для α(x) такую главную часть – значит определить константу С и порядок k этой функции относительно разности x – a или дроби 1/х.

Найти для α(x) главную часть простейшего вида С(х – а) k , k > 0, при ха – это значит найти константу С и число k такие, чтобы .

Пример 3.1. Выделить главную часть вида Сх k из бесконечно малой α(x) = cos2х – cos4х при х 0.

►В результате применения формулы для разности косинусов и формулы из таблицы эквивалентных бесконечно малых (см. §1) для α(x) имеем соотношение: α(x). Таким образом, для α(x) найдена эквивалентная бесконечно малая функция 6х 2 , имеющая указанный вид (С = 6, k = 2), следовательно, 6х 2 .– главная часть α(x) при х 0.◄

Пример 3.2. Выделить главную часть вида Сх k из бесконечно малой α(x) = при х 0.

► Найдём число k и константу С такие, чтобы выполнялось равенство: =1. Перенесём иррациональность из числителя в знаменатель, для этого умножим оба члена дроби на выражение, сопряжённое к числителю: = (использованы теорема о замене эквивалентными бесконечно малыми в отношении и формула: при ). Поскольку при k = 2 и , то

при х 0 и, следовательно, функция – главная часть бесконечно малой α(x) при х 0.◄

Пример 3.3. Выделить главную часть вида С(х – 2) k из бесконечно малой α(x) при х 2.

►В результате применения формулы из таблицы эквивалентных бесконечно малых (см. §1) для α(x) имеем соотношение:

α(x) .

Итак, для α(x) найдена эквивалентная бесконечно малая функция 3(х– 1) 2 , имеющая указанный вид (С = 3, k = 2), следовательно, 3(х–1) 2 – главная часть α(x) при х 2.◄

Пример 3.4. Выделить главную часть вида С(х – 1) k из бесконечно малой α(x) = cos(πe x –1 ) + 1 при х1.

►В результате применения формул для половинных и дополнительных углов из элементарной тригонометрии и формул из таблицы эквивалентных бесконечно малых (см. §1) для α(x) имеем соотношение: α(x) = 2cos 2 = 2sin 2 2sin 2 .

Итак, для α(x) найдена эквивалентная бесконечно малая функция , имеющая указанный вид (С = , k = 2), следовательно, – главная часть α(x) при х 1.◄

Пример 3.5. Выделить главную часть вида С(1/х) k из бесконечно малой α(x) = при х.

►, α(x) = при х (использована формула при х). Имеем при х, отсюда заключаем: при х, следовательно, – главная часть бесконечно малой α(x) при х.◄

Пример 3.6. Выделить главную часть вида С(х – e) k из бесконечно малой α(x) = х x – e x при х.

►Используя основное логарифмическое тождество, представим функцию х x в виде: х x = e x ln x . Имеем α(x) = e x ln x – e x = e x (e x ln x -х –1). В результате применения из таблицы эквивалентных бесконечно малых (см. §1) для α(x) получаем соотношение:

е е (х(lnx – 1)) = е е +1 (lnx – lne) = е е +1

при х. Итак, α(x)

при х, Следовательно, e e (х–е) – главная часть бесконечно малой α(x) при хе.◄

Пример 3.7. Выделить главную часть вида Сх k из бесконечно малой α(x) = arccos(1 – x) при х.

►Чтобы найти для α(x) эквивалентную бесконечно малую функцию указанного вида, применим формулу . Имеем

sin(arccos(1 – x)) при х.

Преобразуем функцию sin(arccos(1 – x)), Используя определение арккосинуса. Пусть arccos(1 – x) = γ, где γ – угол или дуга такая, что cosγ = 1 – x и , тогда sin(arccos(1 – x)) = sinγ = . Итак,

при и функция – главная часть бесконечно малой α(x) при .◄

Пример 3.8. Выделить главную часть вида из бесконечно малой α(x) = π – 4arctg(x 2 – 2x + 2) при х.

►α(x). Для отыскания алгебраической функции, эквивалентной α(x), применим формулу , положив

u = , а также формулу для разности тангенсов двух углов из элементарной тригонометрии:

α(x) .

– 2(x – 1) 2 при и функция – 2(x – 1) 2 – главная часть бесконечно малой α(x) при .◄

Сравнение бесконечно малых функций

Подробная теория про бесконечно малые функции по ссылке.

Функция $\alpha(x) =x^2-1$ является б.м. при $x \rightarrow 1$, так как

Бесконечно малые функции одного порядка

Пусть $\alpha(x)$ и $\beta(x)$ — две б.м. функции при $x \rightarrow a$.

Функции $\alpha(x)$ и $\beta(x)$ называются б.м. одного порядка малости при $x \rightarrow a$, если $\lim _ \frac<\alpha(x)><\beta(x)>=c \neq 0$

Рассмотрим функции $\alpha(x)=x^<2>-1$ и $\beta(x)=x-1$, которые являются б.м. при $x \rightarrow 1$:

Найдем предел отношения этих функций при $x \rightarrow 1$:

Так как предел равен конечному, отличному от нуля числу, то рассматриваемые функции $\alpha(x)$ и $\beta(x)$ являются б.м. одного порядка малости при $x \rightarrow 1$.

Бесконечно малые функции более низкого и высокого порядков

Если $\lim _ \frac<\alpha(x)><\beta(x)>=0$, то $\alpha(x)$ является б.м. более высокого порядка при $x \rightarrow a$, чем $\beta(x)$, а $\beta(x)$ — б.м. более низкого порядка по сравнению с $\alpha(x)$: $\alpha(x)=o(\beta(x))$ при $x \rightarrow a$.

Функция $\alpha(x)=\left(x^<2>-1\right)^<2>$ , $\left(\lim _ \alpha(x)=\lim _\left(x^<2>-1\right)^<2>=0\right)$ является б.м. более высокого порядка, чем функция $\beta(x)=x-1$, $\left(\lim _ \beta(x)=\lim _(x-1)=0\right)$ в точке $x=0$, так как

Если $\lim _ \frac<\alpha(x)><\beta(x)>=\infty$, то $\alpha(x)$ — б.м. низшего порядка малости при $x \rightarrow a$ по сравнению с $\beta(x)$.

Рассмотрим функцию $\alpha(x)=x+1$, которая является б.м. в точке $x=-1$: $\lim _ \alpha(x)=\lim _(x+1)=-1+1=0$, и б.м. в этой же точке функцию $\beta(x)=(x+1)^2$: $\lim _ \beta(x)=\lim _(x+1)^<2>=(-1+1)^<2>=0$. Найдем предел частного этих функций:

А поэтому, функция $\alpha(x)$ является б.м. низшего порядка малости при $x \rightarrow -1$, чем функция $\beta(x)$.

Если $\lim _ \frac<\alpha(x)><[\beta(x)]^>=C$, $0 < |C| \lt \infty$, то $\alpha(x)$ называется б.м. порядка $k$ по сравнению с $\beta(x)$ при $x \rightarrow a$.

Функция $\alpha(x)=x+1$ называется б.м. порядка 2 по сравнению с функцией $\beta(x)=\sqrt$ в точке $x=-1$, так как

$1 \neq 0$, что и требовалось доказать.

Эквивалентные (равносильные) бесконечно малые функции

Если $\lim _ \frac<\alpha(x)><\beta(x)>=1$, то б.м. функции $\alpha(x)$ и $\beta(x)$ называются эквивалентными или равносильными б.м. одного порядка при $x \rightarrow a$: $\alpha(x) \sim \beta(x)$ при $x \rightarrow a$.

Функции $\alpha(x)=x^4-3x+2$ и $\beta(x)=x^5-4x+3$ являются эквивалентными б.м. в точке $x=1$, так как, во-первых:

Бесконечно малые функции.
Замечательные эквивалентности в пределах

Продолжаем учебный цикл «пределы для чайников», который открылся статьями Пределы. Примеры решений и Замечательные пределы. Если вы впервые на сайте, рекомендую также ознакомиться с уроком Методы решения пределов, который значительно улучшит вашу студенческую карму. В третьем мануале мы рассмотрели бесконечно большие функции, их сравнение, и сейчас настало время вооружиться лупой, чтобы после Страны великанов заглянуть в Страну лилипутов. Я провёл новогодние каникулы в культурной столице и вернулся в очень хорошем настроении, поэтому чтение обещает быть особо интересным.

В данной статье будут подробно разобраны бесконечно малые функции, с которыми вы на самом деле уже неоднократно сталкивались, и их сравнение. С невидимыми событиями вблизи нуля тесно связаны многие замечательные пределы, замечательные эквивалентности, и практическая часть урока, в основном, посвящена как раз вычислению пределов с использованием замечательных эквивалентностей.

Бесконечно малые функции. Сравнение бесконечно малых

Что тут сказать… Если существует предел , то функция называется бесконечно малой в точке .

Существенным моментом утверждения является тот факт, что функция может быть бесконечно малой лишь в конкретной точке.

Начертим знакомую линию :

Данная функция бесконечно малА в единственной точке:
Следует отметить что, в точках «плюс бесконечность» и «минус бесконечность» эта же функция будет уже бесконечно большой: . Или в более компактной записи:

Во всех других точках, предел функции будет равен конечному числу, отличному от нуля.

Таким образом, не существует такого понятия как «просто бесконечно малая функция» или «просто бесконечно большая функция». Функция может быть бесконечно малой или бесконечно большой только в конкретной точке.

! Примечание: для краткости я часто буду говорить «бесконечно малая функция», подразумевая, что она бесконечно малА в рассматриваемой точке.

Таких точек может быть несколько и даже бесконечно много. Изобразим какую-нибудь непуганую параболу:

Представленная квадратичная функция является бесконечно малой в двух точках – в «единице» и в «двойке»:

Как и в предыдущем примере, на бесконечности данная функция является бесконечно большой:

Смысл двойных знаков:
Запись обозначает, что при , а при .
Запись обозначает, что при , а при .
Запись обозначает, что и при , и при .
Запись обозначает, что и при , и при .
Прокомментированный принцип «расшифровки» двойных знаков справедлив не только для бесконечностей, но и для любых конечных точек, функций и ряда других математических объектов.

А теперь синус . Это пример, когда функция бесконечно малА в бесконечном количестве точек:

Действительно, синусоида «прошивает» ось абсцисс через каждое «пи»:

Заметьте, что сверху/снизу функция ограничена, и не существует такой точки, в которой бы она была бесконечно большой, синусу остаётся разве что облизываться на бесконечность.

Отвечу ещё на пару простых вопросов:

Может ли функция быть бесконечно малой на бесконечности?

Конечно. Таких экземпляров воз и маленькая тележка.
Элементарный пример: . Геометрический смысл данного предела, к слову, проиллюстрирован в статье Графики и свойства функций.

Может ли функция НЕ БЫТЬ бесконечно малой?
(в любой точке области определения)

Да. Очевидный пример – квадратичная функция, график которой (парабола) не пересекает ось . Обратное утверждение, кстати, в общем случае неверно – гипербола из предыдущего вопроса, хоть и не пересекает ось абсцисс, но бесконечно малА на бесконечности.

Сравнение бесконечно малых функций

В статье Методы решения пределов были подробно рассмотрены гиганты, которые мерялись между собой порядком роста, и ситуацию контролировала самая большая особь. Общество карликов устроено точно так же, только соревнуются они в другой весовой категории – порядке малости. Среди лилипутов тоже существуют свои великаны, кто самый крупный – тот и девушку танцует. Проясним ситуацию. Рассмотрим следующую бесконечно малую функцию:

Да, совершенно понятно, что предел равен нулю, но обратим внимание на довольно любопытную вещь: в пределе находится сумма функций , и некоторые из них будут стремиться к нулю быстрее, а некоторые – медленнее. Об этом я уже немного рассказывал в Примере № 7 урока Методы решения пределов.

Построим последовательность , которая стремится к нулю, и вычислим несколько значений трёхчлена :

Очевидно, что с уменьшением значений «икс», функция убегает к нулю быстрее всех остальных (её значения обведены красным цветом). Говорят, что функция более высокого порядка малости, чем функции , а также более высокого порядка малости, чем . Но быстро бегать в Стране лилипутов – не есть доблесть, «тон задаёт» самый нерасторопный карлик , который, как и полагается боссу, идёт к нулю медленнее всех. Именно от него зависит, насколько быстро сумма приблизится к нулю:

Образно говоря, бесконечно малая функция «поглощает» всё остальное, что особенно хорошо видно по итоговому результату третьей строки. Иногда говорят, что более низкого порядка малости, чем и их сумма.

В рассмотренном пределе, всё это, конечно, не имеет особого значения, ведь в результате всё равно получается ноль. Однако «лилипуты-тяжеловесы» начинают играть принципиально важную роль в пределах с дробями. Начнём с примеров, которые, пусть редко, но встречаются в реальных практических работах:

Здесь неопределённость , и из вводного урока о пределах функций вспоминаем общий принцип раскрытия данной неопределённости: нужно разложить числитель и знаменатель на множители, а потом что-нибудь сократить:

На первом шаге в числителе выносим за скобки , а в знаменателе «икс». На втором шаге сокращаем числитель и знаменатель на «икс», устраняя тем самым неопределённость. Указываем, что оставшиеся «иксы» стремятся к нулю, и получаем ответ.

В пределе получилась баранка, следовательно, функция числителя более высокого порядка малости, чем функция знаменателя. Или короче: числитель более высокого порядка малости, чем знаменатель. Что это значит? Числитель стремится к нулю быстрее, чем знаменатель, именно поэтому в итоге и получился ноль.

Как и в случае с бесконечно большими функциями, ответ можно узнать заранее. Приём аналогичен, но отличается тем, что в числителе и в знаменателе нужно МЫСЛЕННО отбросить все слагаемые со СТАРШИМИ степенями, поскольку, как отмечалось выше, определяющее значение имеют медленные карлики:

Ноль на ноль…. Давайте сразу узнаем ответ: МЫСЛЕННО отбросим все старшие слагаемые (быстрых карликов) числителя и знаменателя:

Алгоритм решения, точно такой же, как и в предыдущем примере:

В данном примере знаменатель более высокого порядка малости, чем числитель. При уменьшении значений «икс», самый медленный карлик числителя (и всего предела) становится настоящим монстром по отношению к своему более быстрому оппоненту . Например, если , то – уже в 40 раз больше…. не монстр ещё, конечно, при данном значении «икс», но такой уже субъект с большим пивным животом.

И совсем простой демонстрационный предел:

Узнаем ответ, МЫСЛЕННО отбросив все старшие слагаемые числителя и знаменателя:

В результате получено конечное число. Хозяин числителя ровно в два раза толще начальника знаменателя. Это ситуация, когда числитель и знаменатель одного порядка малости.

На самом деле сравнение бесконечно малых функций давно фигурировало на предыдущих уроках:
(Пример № 4 урока Пределы. Примеры решений);
(Пример № 17 урока Методы решения пределов) и т.д.

Напоминаю заодно, что «икс» может стремиться не только к нулю, но и к произвольному числу, а также к бесконечности.

Что принципиально важно во всех рассмотренных примерах?

Во-первых, предел должен вообще существовать в данной точке. Например, предела не существует. Если , то функция числителя не определена в точке «плюс бесконечность» (под корнем получается бесконечно большое отрицательное число). Подобные, казалось бы, вычурные примеры встречаются на практике: , как ни неожиданно, здесь тоже сравнение бесконечно малых функций и неопределённость «ноль на ноль». Действительно, если , то . …Решение? Избавляемся от четырёхэтажности дроби, получаем неопределённость и раскрываем её стандартным методом.

Возможно, начинающих изучать пределы сверлит вопрос: «Как так? Вот есть неопределённость 0:0, но на ноль же делить нельзя!». Совершенно верно, нельзя. Рассмотрим тот же предел . Функция не определена в точке «ноль». Но этого, вообще говоря, и не требуется, важно чтобы функция существовала В ЛЮБОЙ бесконечно близкой к нулю точке (или более строго – в любой бесконечно малой окрестности нуля).

ВАЖНЕЙШАЯ ОСОБЕННОСТЬ ПРЕДЕЛА, КАК ПОНЯТИЯ

состоит в том, что «икс» бесконечно близко приближается к некоторой точке , но «заходить туда» он «не обязан»! То есть для существования предела функции в точке не имеет значения, определена ли там сама функция или нет. Более подробно об этом можно прочитать в статье Пределы по Коши, ну а пока что вернёмся к теме сегодняшнего урока:

Во-вторых, функции числителя и знаменателя должны быть бесконечно малЫ в данной точке. Так, например, предел совсем из другой команды, здесь функция числителя не стремится к нулю: .

Систематизируем информацию о сравнении бесконечно малых функций:

Пусть – бесконечно малые функции в точке (т.е. при ) и существует предел их отношений . Тогда:

1) Если , то функция более высокого порядка малости, чем .
Простейший пример: , то есть кубическая функция более высокого порядка малости, чем квадратичная.

2) Если , то функция более высокого порядка малости, чем .
Простейший пример: , то есть квадратичная функция более высокого порядка малости, чем линейная.

3) Если , где – ненулевая константа, то функции имеют одинаковый порядок малости.
Простейший пример: , иными словами, карлик бежит к нулю строго в два раза медленнее, чем , и «дистанция» между ними сохраняется постоянной.

Наиболее интересен частный случай, когда . Такие функции называют бесконечно малыми эквивалентными функциями.

Перед тем как привести элементарный пример, поговорим о самом термине. Эквивалентность. Данное слово уже встречалось на уроке Методы решения пределов, в других статьях и встретится ещё неоднократно. Что такое эквивалентность? Существует математическое определение эквивалентности, логическое, физическое и т.д., но попытаемся понять саму сущность.

Эквивалентность – это равнозначность (или равноценность) в каком-нибудь отношении. Самое время размять мышцы и немного отдохнуть от высшей математики. Сейчас на улице хороший январский морозец, поэтому очень важно хорошо утеплиться. Пожалуйста, пройдите в прихожую и откройте шкаф с одеждой. Представьте, что там висят два одинаковых тулупа, которые отличаются только цветом. Один оранжевый, другой фиолетовый. С точки зрения своих согревающих качеств, данные тулупы являются эквивалентными. И в первом, и во втором тулупе вам будет одинаково тепло, то есть выбор равноценен, что оранжевый надеть, что фиолетовый – без выигрыша: «один к одному равно одному». Но вот с точки зрения безопасности на дороге тулупы уже не эквивалентны – оранжевый цвет лучше заметен водителям транспорта, …да и патруль не остановит, потому что с обладателем такой одежды и так всё понятно. В этом отношении можно считать, что тулупы «одного порядка малости», условно говоря, «оранжевый тулуп» в два раза «безопаснее» «фиолетового тулупа» («который хуже, но тоже заметен в темноте»). А если выйти на мороз в одном пиджаке и носках, то разница будет уже колоссальной, таким образом, пиджак и тулуп – «разного порядка малости».

…зашибись, нужно запостить в Википедии со ссылкой на данный урок =) =) =)

Напрашивающийся пример бесконечно малых эквивалентных функций вам хорошо знаком – это функции первого замечательного предела .

Дадим геометрическое истолкование 1-го замечательного предела. Выполним чертёж:

Ну вот, крепкая мужская дружба графиков виднА даже невооруженным взглядом. А бесконечно близко вблизи нуля их и мама родная не отличит. Таким образом, если , то функции бесконечно малЫ и эквивалентны. А если разница ничтожно мала? Тогда в пределе синус вверху можно заменить «иксом»: , или «икс» внизу синусом: . По сути, получилось геометрическое доказательство первого замечательного предела =)

Аналогично, кстати, можно проиллюстрировать любой замечательный предел, который равен единице.

! Внимание! Эквивалентность объектов не подразумевает совпадение объектов! Оранжевый и фиолетовый тулупы эквивалентно теплЫ, но это разные тулупы. Функции практически неотличИмы вблизи нуля, но это две разные функции.

Обозначение: эквивалентность обозначается значком «тильда».
Например: – «синус икса эквивалентен иксу», если .

Из вышесказанного следует очень важный вывод: если две бесконечно малые функции эквивалентны, то одну можно заменить другой. Данный приём широко применяется на практике, и прямо сейчас мы увидим, каким образом:

Замечательные эквивалентности в пределах

Для решения практических примеров потребуется таблица замечательных эквивалентностей. Не многочленом единым жив студент, поэтому поле дальнейшей деятельности будет очень широким. Сначала с помощью теории бесконечно малых эквивалентных функций перещёлкаем примеры первой части урока Замечательные пределы. Примеры решений, в которой были найдены следующие пределы:

1) Решим предел . Заменим бесконечно малую функцию числителя на эквивалентную бесконечно малую функцию :

Почему можно провести такую замену? Потому что бесконечно близко вблизи нуля график функции практически совпадает с графиком функции .

В этом примере мы использовали табличную эквивалентность , где . Удобно, что в качестве параметра «альфа» может выступать не только «икс», но и сложная функция, которая стремится к нулю.

2) Найдём предел . В знаменателе используем эту же эквивалентность , в данном случае :

Обратите внимание, что синус изначально находился под квадратом, поэтому на первом шаге тоже необходимо целиком поместить под квадрат.

Не забываем и про теорию: в первых двух примерах получены конечные числа, значит, числители и знаменатели одного порядка малости.

3) Найдём предел . Заменим бесконечно малую функцию числителя эквивалентной функцией , где :

Здесь числитель более высокого порядка малости, чем знаменатель. Лилипут (и эквивалентный ему лилипут ) достигает нуля быстрее, чем .

4) Найдём предел . Заменим бесконечно малую функцию числителя эквивалентной функцией , где :

А здесь, наоборот, знаменатель более высокого порядка малости, чем числитель, карлик убегает к нулю быстрее карлика (и эквивалентного ему карлика ).

Следует ли использовать замечательные эквивалентности на практике? Следует, но далеко не всегда. Так, решение не очень сложных пределов (наподобие только что рассмотренных) нежелательно решать через замечательные эквивалентности. Вас могут упрекнуть в халтуре и заставить прорешать их стандартным образом с помощью тригонометрических формул и первого замечательного предела. Однако с помощью рассматриваемого инструмента очень выгодно осуществлять проверку решения или даже сразу узнавать правильный ответ. Характерен Пример № 14 урока Методы решения пределов:

На чистовике целесообразно оформить немаленькое полное решение с заменой переменной. Но готовый ответ лежит на поверхности – мысленно используем эквивалентность : .

И ещё раз геометрический смысл: почему в числителе функцию допустимо заменить функцией ? Бесконечно близко вблизи нуля их графики можно отличить разве что под мощным микроскопом.

Помимо проверки решения, замечательные эквивалентности используются ещё в двух случаях:

– когда пример достаточно сложен или вообще неразрешим обычным способом;
– когда замечательные эквивалентности требуется применить по условию.

Рассмотрим более содержательные задания:

На повестке дня неопределённость «ноль на ноль» и ситуация погранична: решение можно провести стандартно, но преобразований будет много. С моей точки зрения, здесь вполне уместно использовать замечательные эквивалентности:

Заменим бесконечно малые функции эквивалентными функциями. При :

Единственный технический нюанс: изначально тангенс находился в квадрате, поэтому после замены аргумент тоже необходимо возвести в квадрат.

Данный предел разрешим через тригонометрические формулы и замечательные пределы, но решение опять же будет не сильно приятным. Это пример для самостоятельного решения, будьте особенно внимательными в ходе преобразования числителя. Если возникнет путаница со степенями, представьте его в виде произведения:

А вот это уже тяжёлый случай, когда провести решение стандартным образом весьма непросто. Используем замечательные эквивалентности:

Заменим бесконечно малые эквивалентными. При :

Получена бесконечность, значит, знаменатель более высокого порядка малости, чем числитель.

Резво практика пошла без верхней одежды =)

Это пример для самостоятельного решения. Подумайте, как разобраться с логарифмом 😉

Не редкость, когда замечательные эквивалентности используются в комбинации с другими методами решения пределов:

Найти предел функции, используя эквивалентные бесконечно малые величины и другие преобразования

Заметьте, что здесь требуется применить замечательные эквивалентности по условию.

На первом шаге используем замечательные эквивалентности. При :

С синусом всё понятно: . Что делать с логарифмом? Представим логарифм в виде и применим эквивалентность . Как вы понимаете, в данном случае и

На втором шаге применим приём, рассмотренный ещё на уроке Пределы функций. Примеры решений. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение:

Найти предел функции, используя эквивалентные бесконечно малые величины и другие преобразования

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.

Иногда замечательные эквивалентности приходится использовать последовательно – два и даже бОльшее количество раз, когда бесконечно малые эквивалентные функции вложены друг в друга по принципу «матрёшек»:

Найти предел функции с помощью эквивалентных бесконечно малых функций

Перед решением необходимо выполнить предварительные преобразования.

В числителе вынесем за скобки «минус»: чтобы в дальнейшем воспользоваться эквивалентностью .

В знаменателе проведём искусственное преобразование , чтобы далее применить эквивалентность . Кстати, запомните это трюк с логарифмом, он используется и в других задачах математического анализа.

Начнём оформлять решение:

В числителе используем замечательную эквивалентность . В данном случае . Важнейшим моментом является тот факт, что при «икс», стремящемся к нулю, .

В знаменателе тоже бесконечно малая величина, именно поэтому можно применить эквивалентность , где при .

После замены проведена пара технических действий – вынесение «минуса» в знаменателе и сокращение минусов. Неопределённость 0:0 никуда не делась, и есть надобность воспользоваться бесконечно малыми эквивалентными функциями ещё раз. Если , то :

Задачка потолще для самостоятельного решения:

Найти предел функции с помощью эквивалентных бесконечно малых функций

Нетрудно догадаться, что «матрёшку» следует разбирать в привычном порядке, начиная от «внешней», и заканчивая самой маленькой «внутренней». Полное решение и ответ в конце урока.

Как я уже отмечал, «икс» не обязан стремиться к нулю, он может стремиться к произвольному числу, в том числе и к бесконечности – лишь бы функции были бесконечно малыми, и существовал предел их отношений . Но практика показывает, что почти во всех заданиях , именно поэтому я и не привёл других примеров.

Тем не менее, рассмотрим более редкий тип пределов, который встречается, в частности, при исследовании числовых рядов на сходимость:

Найти предел функции

В данном примере «икс» стремится к бесконечности, и . Иными словами, функция бесконечно малА в точке . Чтобы раскрыть неопределённость целесообразно использовать теорию эквивалентных бесконечно малых величин.

Поскольку , то применима замечательная эквивалентность :

Что и говорить, вкусный способ решения.

Найти предел функции

Это счастливый заключительный пример для самостоятельного решения. После эквивалентной замены неопределенность трансформируется в неопределённость , которая раскрывается по обычной схеме. Если возникли затруднения на завершающем этапе, пожалуйста, вернитесь к первой части урока Методы решения пределов.

Что тут сказать…

Решения и ответы:

Пример 5

Заменим бесконечно малые функции эквивалентными функциями. При :

Пример 7

Представим логарифм в виде и заменим бесконечно малые эквивалентными. При :

Здесь числитель более высокого порядка малости, чем знаменатель.

Пример 9

Используем замечательные эквивалентности. При :

Пример 11

1) Так как , то применима эквивалентность :

2) Так как , то применима эквивалентность :

3) Так как , то применима эквивалентность :

Заменим бесконечно малую функцию эквивалентной:

Пример 13

Заменим бесконечно малую функцию эквивалентной функцией. Если , то .

Разделим числитель и знаменатель на :

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Contented.ru – онлайн школа дизайна

SkillFactory – получи востребованную IT профессию!