Как найти пересечение событий если известно объединение

1

Операции над вероятностями

Пусть m — число равновозможных элементарных событий, благоприятствующих событию A, k — число равновозможных элементарных событий, благоприятствующих событию B, несовместимому по отношению к событию А. Пусть n — общее число равновозможных элементарных событий, образующих пространство Е всех элементарных событий.

В силу формулы (4.1)

Согласно определению объединения несовместимых событий означает: «имеет место или А, или В». Но число событий, благоприятствующих такому событию, равно m+k, поэтому согласно формуле (4.1)

(5.1)

На рисунке 20 дана геометрическая интерпретация формулы (5.1), если m, k и n здесь величины площадей нарисованных фигур.

Последнее равенство выражает следующее правило, которое последовательным применением формулы (5.1) может быть распространено на любое конечное число событий:

Вероятность объединения попарно несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий.

С помощью этого правила мы можем справиться со многими задачами.

Примеры с решением:

Пример 1.

В лотерее выпущено 10 ООО билетов и установлено: 10 выигрышей по 200 р., 100 — по 100 р., 500 — по 25 р. и 1000 выигрышей по 5 р. Гражданин купил один билет. Какова вероятность того, что он выиграет не меньше 25 р.?

А — «выигрыш не менее 25 р.»,

— «выигрыш равен 25 р.»,

— «выигрыш равен 100 р.»,

— «выигрыш равен 200 р.».

Поскольку куплен только один билет, то где события попарно несовместимы, поэтому

Р (А) = 0,05 + 0,01 + 0,001 = 0,061.

Пример 2.

На военных учениях летчик получил задание «уничтожить» 3 рядом расположенных склада боеприпасов противника. На борту самолета одна бомба. Вероятность попадания в первый склад примерно равна 0,01, во второй — 0,008, в третий — 0,025.

Любое попадание в результате детонации вызывает взрыв и остальных складов. Какова вероятность того, что склады противника будут уничтожены?

А — «склады уничтожены»,

— «попадание в первый склад»,

— «попадание во второй склад»,

— «попадание в третий склад».

Для уничтожения складов достаточно попадания в один из упомянутых трех складов. Поэтому

Пример 3.

Бросают две монеты. Чему равна вероятность появления хотя бы одного герба? Обозначим события:

А — «появление герба при подбрасывании первой монеты», В — «появление герба при подбрасывании второй монеты». Снова предстоит найти вероятность события . Но в этом случае ибо события А и В совместимы. Поэтому формула (5.1) не применима. Приходится избрать другой путь решения.

Пусть событие — «выпадение герба не состоялось». Ясно, что , ибо при бросании двух монет могут произойти только следующие события:

Событие представляет собой достоверное событие, поэтому

Вероятность объединения совместимых событии

Пусть m — число равновозможных элементарных событий, благоприятствующих событию A, k — число равновозможных элементарных событий, благоприятствующих событию В. Допустим, что среди упомянутых m + k событий содержится таких, которые благоприятствуют и событию А, и событию В. Если n — общее число равновозможных элементарных событий, образующих пространство Е всех элементарных событий, то согласно формуле (4.1)

Запись означает: «произойдет или событие А, или событие Ву или то и другое вместе». Но такому событию благоприятствуют (m + k — ) элементарных событий. Поэтому по формуле (4.1) находим:

Подставляя значение, получим:

(5.2)

Ясно, что эта формула представляет собой обобщение формулы (5.1). На основании равенства (5.2) формулируем правило:

Вероятность объединения двух совместимых событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного осуществления.

Геометрическая интерпретация формулы (5.2) дается на рисунке 21, где m, k, , n представляют величины площадей изображенных фигур.

Примеры с решением:

Пример 1.

Подбрасываем две монеты. Какова вероятность выпадения хотя бы одного герба?

А — «появление герба при подбрасывании первой монеты»,

В — «появление герба при подбрасывании второй монеты».

Нам надо определить вероятность события Так как А и В — совместимые события, то

Ясно, что Отсюда

Пример 2.

А, В, С — совместимые события. Доказать:

Условные вероятности

Из ящика, в котором белых и b черных шаров, наугад вынимают последовательно один за другим два шара. Рассмотрим события:

А — «первый шар белый», В — «второй шар белый». Понятно, что . Какова же вероятность события В?

Если событие А произошло, то среди оставшихся + b — 1 шаров только — 1 белых, поэтому вероятность того, что второй шар белый, . Если же А не произошло, то среди оставшихся шаров белых , поэтому вероятность того, что второй шар белый, . Мы столкнулись с ситуацией, когда вероятность появления события В зависит от того, произошло или не произошло событие А. В таком случае говорим, что событие В зависит от события А, а вероятность появления события В условная.

Найдем способ вычисления таких вероятностей. Условную вероятность появления события В, если событие А произошло, будем обозначать Р (В/А).

Пусть из n равновозможных событий составляющих пространство Е всех элементарных событий,

событию А благоприятствуют m событий,

событию В благоприятствуют k событий,

событию благоприятствуют r событий (понятно, что ).

Если событие А произошло, то это означает, что наступило одно из событий благоприятствующих событию А. При этом условии событию В благоприятствуют r и только r событий благоприятствующих (рис. 22). Таким образом,

(5.3)

На основании этих формул находим:

(5.З’)

На основании (5.3) формулируем правило умножения вероятностей :

Вероятность пересечения двух событий равна произведению вероятности одного из этих событий на условную вероятность другого при условии, что первое произошло.

Замечание. Формулы (5.3) имеют смысл в том случае, если имеют смысл события А/В и В/А. А они имеют смысл тогда, когда события А и В совместимы.

Примеры с решением:

Пример 1.

В ящике белых и Ь черных шаров. Последовательно вынимаем два шара. Какова вероятность того, что оба они белые?

А — «первый шар белый»,

В — «второй шар белый».

Нам надлежит найти Имеем:

Согласно формуле (5.3) находим:

Пример 2.

Из колоды в 32 карты наугад одну за другой вынимают две карты. Найти вероятность того, что:

а) вынуты два валета;

б) вынуты две карты пиковой масти;

в) вынуты валет и дама. Обозначим события:

А — «первая карта — валет», В — «вторая карта — валет», С — «первая карта пиковой масти», D — «вторая карта пиковой масти», Е — «вторая карта — дама».

Нам следует найти По формуле (5.3)

Пример 3.

Независимость случайных событии и правило произведения вероятностей

К понятию независимости случайных событий есть несколько подходов.

Событие В называется независимым от А, если его вероятность не зависит от того, произошло или не произошло событие А, т. е.

В случае независимости события В от события А из формулы (5.3) получим:

(5.4)

Сопоставляя формулы (5.3) и (5.4), убеждаемся, что свойство независимости взаимно. Если событие В не зависит от осуществления А, то и А не зависит от осуществления В. На основании (5.4) формулируем правило: Вероятность пересечения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

На практике, как мы убедимся при рассмотрении примеров, для установления независимости событий обычно пользуются соображениями, основанными на опыте обращения с данными объектами, а не анализом формул.

Доказательство правила (5.4) проводилось на основе соотношений

(5.5)

т. е. у нас получилось так: если имеет место (5.5), то имеет место и (5.4). Но читателя может интересовать и обратное: следует ли (5.5) из (5.4)? Пусть

Тогда на основании формул

т. е. из (5.4) следует (5.5). Таким образом, исходной точкой определения независимости А и В может быть и формула (5.4), т. е. мы можем сказать и так:

События А и В называются независимыми тогда и только тогда, когда имеет место условие

(5.6)

Однако определение независимости событий на основе (5.5) более близкое к интуитивному воображению.

Важно запомнить: независимые события с положительными вероятностями не являются несовместимыми. Пусть

(5.7)

Как известно, пересечение несовместимых событий V — невозможное событие. Следовательно, для несовместимых событий

Но тогда в силу (5.6) по крайней мере одно из вероятностей Р (А) или Р (В) должно быть равно нулю. Это противоречит (5.7), а значит, подтверждает факт, что независимые события могут быть совместимы.

Приведем любопытный пример, когда интуитивное понимание независимости событий тоже приводит к формальному соотношению (5.4).

Пусть точка М наудачу бросается в прямоугольник с размерами X и Y, стороны которого параллельны координатным осям. Какова вероятность того, что М попадет в прямоугольник с размерами х и у, стороны которого тоже параллельны координатным осям (рис. 23)? Пусть события:

А — «М попала в полосу шириной х». Разумеется, Р(А) ,

В— «М попала в полосу шириной у». Разумеется, Р(В)

По формуле (4.3) Р («М попала в маленький прямоугольник») но Р(«М попала в маленький прямоугольник») Следовательно,

что и требовалось доказать.

Независимость в совокупности

Несколько событий называются независимыми, если любое из них не зависит от любой совокупности остальных. Для независимости событий в их совокупности недостаточно, чтобы они были попарно независимы. Приведем такой пример.

Пусть в ящике 4 шара: черный, красный, белый и один пестрый — окрашенный в полоску всеми этими тремя цветами. Обозначим события: после изъятия одного шара видим

В — «красный цвет»,

Это значит, что А, В, С попарно независимы. Тем не менее Значит, в совокупности А, В и С не являются независимыми.

Для независимых в совокупности имеет место

(5.8)

Примеры с решением:

Пример 1.

Бросают две игральные кости. Какова вероятность появления на первой кости нечетного числа очков и на второй пяти очков?

А — «появление нечетного числа очков при бросании первой кости»,

В — «появление пяти очков при бросании второй кости». Нам нужно найти Так как события А и В совместимы и независимы, то поэтому

Пример 2.

А, В и С — совместимые и независимые в совокупности события. Доказать, что

Допустим, что Тогда

Пример 3.

Зашедший в магазин мужчина что-нибудь покупает с вероятностыо 0,1, зашедшая женщина — с вероятностью 0,6. У прилавка один мужчина и две женщины. Какова вероятность того, что по крайней мере одно лицо что-нибудь купит?

А — «покупку сделает мужчина»,

— «покупку сделает первая женщина»,

— «покупку сделает вторая женщина».

Если событие С — «по крайней мере одно лицо что-нибудь купит», то По формуле, построенной в примере 2 параграфа 2,

Допуская, что покупатели между собой незнакомы, можем принимать, что — события независимы. Тогда в силу (5.6)

Р (С) = 0,1 + 0,6 + 0,6 — 0,1*0,6 — 0,1*0,6 — 0,6*0,6 + 0,1*0,6*0,6 =0,856.

Пример 4.

Если события А и В независимы, то события А и также независимы.

Действительно, поскольку А и В независимы, то Р(В/А) = Р(В) и

Аналогично убеждаемся, что в случае независимости событий А и В независимыми будут события В и

Предлагаем вам самостоятельно установить, что в этом случае независимыми будут также события

Формула полной вероятности

Пусть требуется найти вероятность события А, которое происходит вместе с одним из независимых событий (рис. 24).

Если А произошло вместе с одним из событий значит, произошло одно из несовместимых событий

Таким образом, событие А представляет или событие или а это означает, что

Поскольку события взаимно несовместимы, то и события

обладают тем же свойством. Поэтому

(5.9)

Равенство (5.9) носит название формулы полной вероятности. С помощью этой формулы легко находим так называемую формулу Бейеса:

(5.10)

Особенно широко она применяется при решении задач, связанных с вероятностной оценкой гипотез. Докажем справедливость формулы Бейеса. По формуле (5.3′)

Из последнего равенства находим:

Подставляя значение Р (А) из формулы полной вероятности (5.9), получаем формулу Бейеса.

Примеры с решением:

Пример 1.

Охотник сделал три выстрела по кабану. Вероятность попадания первым выстрелом примерно равна 0,4, вторым — 0,5, третьим — 0,7. Одним попаданием кабана можно убить с вероятностью, примерно равной 0,2, двумя попаданиями — с вероятностью 0,6, а тремя наверняка. Найти вероятность того, что кабан будет убит.

Рассмотрим несовместимые события

— «промах»,

— «одно попадание»,

— «два попадания»,

— «три попадания».

— «попадание с первого выстрела»,

— «попадание со второго выстрела»,

— «попадание с третьего выстрела»,

Согласно формуле полной вероятности

Вспомнив, что события, противополоясные событиям обозначаются соответственно имеем:

Поскольку независимы в совокупности и независимы, то

Из условия задачи известно, что отсюда находим Поэтому

Из условия следует:

Подставляя эти результаты в формулу полной вероятности, получим:

Пример 2.

Строительная бригада получает железобетонные перекрытия от трех домостроительных комбинатов (ДСК): от I ДСК — 30%, от II ДСК — 55% и от III ДСК — 15% перекрытий. Известно, что брак продукции I ДСК составляет 5%, II ДСК — 6%, а III ДСК — 10%. Полученные перекрытия хранятся в общем складе. Наугад для контроля проверенное перекрытие оказалось браком. Какова вероятность того, что бракованное перекрытие изготовлено на I ДСК?

А — «наугад проверенное перекрытие — брак»,

— «наугад проверенное перекрытие изготовлено на I ДСК»,

— «наугад проверенное перекрытие изготовлено на II ДСК»,

— «наугад проверенное перекрытие изготовлено на III ДСК».

Нам следует найти по формуле (5.10):

Но по условию задачи

Пример 3.

Из 10 учеников, которые пришли на экзамен по математике, трое подготовились отлично, четверо — хорошо, двое — удовлетворительно, а один совсем не готовился — понадеялся на то, что все помнит. В билетах 20 вопросов. Отлично подготовившиеся ученики могут ответить на все 20 вопросов, хорошо — на 16 вопросов, удовлетворительно — на 10, и непод-готовившийся — на 5 вопросов. Каждый ученик получает наугад 3 вопроса из 20. Приглашенный первым ученик ответил на все 3 вопроса. Какова вероятность того, что он отличник?

— «приглашен ученик, подготовившийся отлично»,

— «приглашен ученик, подготовившийся хорошо»,

— «приглашен ученик, подготовившийся удовлетворительно»,

— «приглашенный ученик к экзаменам не готов»,

А — «приглашенный ученик ответил на 3 вопроса».

Согласно условию задачи

Следует найти

По формуле Бейеса (5.10)

Как видно, искомая вероятность сравнительно невелика. Поэтому учителю придется предложить ученику еще несколько дополнительных вопросов.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по теории вероятности:

Вычисление вероятности

Какова вероятность выиграть в лотерею? Исследователи подсчитали: один на восемь миллионов. «Или выиграю, или проиграю», — решаю я, покупая лотерейный билет. Так понятие вероятности преследует нас в обычной жизни. И не только в лотерее. Давайте разберемся подробнее.

Вероятность

Выходя утром из дома, мы задумываемся: брать ли с собой зонт? Проверяем прогноз погоды — вероятность выпадения осадков 2%. Зонтик нам сегодня вряд ли понадобится. В пути нас настигает ливень…

Прогноз погоды — самый яркий пример вероятности. Он не всегда бывает точный, не всегда сбывается. Мы не можем с уверенностью сказать, что будет завтра. Зато можем по совокупности факторов определить, на какую погоду стоит ориентироваться.

Теория вероятности — один из разделов математики, в котором изучаются модели случайных экспериментов.

Случайными экспериментами называются такие, результаты которых неизвестны заранее. Подбрасывая монетку, мы не знаем, что выпадет — орел или решка. Только поймав монетку, мы узнаем результат.

Ученый по имени Эрвин Шредингер провел мысленный эксперимент. Он поместил кота в закрытый ящик, в котором был расположен механизм, содержащий атомное ядро и ёмкость с ядовитым газом.

По эксперименту с вероятностью 0,5 ядро распадется, емкость с газом откроется и кот умрет. Но при этом с вероятностью 0,5 ядро не распадается и кот останется жив.

Рассмотрим чуть подробнее пример с монеткой. Есть всего два варианта, какое событие может произойти:

• выпадет орел;
• выпадет решка.

Эти два события образуют множество элементарных событий.

Множество элементарных событий — множество всех возможных результатов случайного эксперимента.

В случае выше их всего два. А если мы будем подбрасывать игральную кость, то их будет уже 6. Множество элементарных событий будет менять в зависимости от ситуации.

Допустим, мы поспорили с друзьями, что выпадет орел. Для нас это событие будет благоприятным, поскольку мы выиграем спор. Второе событие будет неблагоприятным, потому что спор будет проигран.

Как найти вероятность, что мы выиграем спор? Нужно разделить число благоприятных событий на общее число событий. Таким образом, мы получили классическое определение вероятности.

Вероятность — отношение количества благоприятных событий к количеству всех возможных событий.

Пусть m — количество благоприятных исходов, а n — количество всех событий. Получаем следующую формулу.

Вероятность можно обозначить, как P(x), где х — некоторое событие.

Заметим, что количество благоприятных исходов должно быть либо меньше, либо равно количеству всех исходов. Если благоприятных событий больше, чем всех, значит, мы нашли не все множество элементарных событий.

Когда вероятность равна 1, то такое событие точно наступит. Иначе говоря, мы можем быть уверены на 100% — оно произойдет.

Можно, если хитро сформулировать условия. Например: «Орел — я выиграл, решка — ты проиграл». Вероятность выигрыша в этом случае будет равна \(P = \frac<2> <2>= 1\), то есть мы точно выиграем спор.

Однако вероятность не так проста, и даже здесь подготовила ловушку.

Вероятность всегда будет меньше или равна 1. Но ее можно выразить и через проценты. Для этого достаточно умножить полученный результат на 100%.

Пример 1. На ресепшене одного из отелей стоит ваза с конфетами. В вазе 56 яблочных конфет, 49 апельсиновых и 35 малиновых. Гость отеля наугад тянет конфету. Какова вероятность, что ему попадется апельсиновая конфета?

Решение. Найдем, сколько всего конфет в вазе: 56 + 49 + 35 = 140. Вероятность вытащить апельсиновую конфету будет равна
\(\frac<49> <140>= 0,35\)

Выразим в процентах:
0,35 * 100% = 35%

Задача решена. Обычно в ответе пишут значение вероятности через дробное число, а не проценты. Поэтому получаем следующий ответ.

Ответ: 0,35

Чтобы выразить вероятность через проценты в одно действие, достаточно воспользоваться следующей формулой.

Но что, если нам нужно найти вероятность для более сложных экспериментов? Первым делом нужно определить, какие события перед нами.

Равновозможные и противоположные события

Когда мы бросаем игральную кость, вероятность выпадения любого из чисел равна 16. То есть вероятности выпадения чисел равны между собой. Такие события называются равновозможными.

Равновозможные события — такие события, что по условиям опыта ни одно из них не является более возможным, чем другие.

Вероятности появления событий равны.

Для игрального кубика существует всего шесть событий, которые могут произойти: выпадет число 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Все эти события образуют полную группу событий.

Полная группа событий — такая группа событий, если в результате опыта обязательно появится хотя бы одно из них.

В результате подбрасывания монеты выпадет либо орел, либо решка. То есть полная группа событий состоит из двух событий.

Мы подбросили монету и выпал орел. Следовательно, не выпала решка.

А если не выпадет орел? Обязательно выпадет решка. Эти события будут называться противоположными.

Противоположные события — такие события, если при не наступлении одного обязательно наступает второе.

Обозначим событие “выпала решка” как A. Противоположное ему событие “выпал орел” обозначим как \(\overline\).

Заметим, что вероятность события A равняется 12, как и вероятность события \(\overline\). Чему равна их сумма?

Так мы вывели связь между противоположными событиями. Поскольку они всегда образуют полную группу событий, то сумма их вероятностей будет равна 1.

Какие еще примеры противоположных событий можно назвать? Ясная и дождливая погода. Если наступает одно из этих событий, то второе уже не может наступить.

Объединение и пересечение событий

Допустим, у нас есть два события: сегодня пойдет снег и сегодня пойдет дождь. Что будет, если мы их объединим?

Объединение событий — событие, состоящее из всех элементарных исходов, благоприятствующих хотя бы одному из событий.

В этом случае мы получим событие, которое будет выполняться при любом из исходов: и если пойдет снег, и если не пойдет снег.

Объединение событий обозначается знаком \(\cup\). Объединение событий А и В можно записать как \(A \cup B\).

Рассмотрим немного другой пример. В первое событие входит, что Илья получит пятерку по физике, а второе событие — Антон получит пятерку по физике. А как можно назвать событие, если оба мальчика получат пятерку по физике?

Пересечение событий — событие, состоящее из всех элементарных исходов, благоприятствующих обоим событиям.

Пересечение событий обозначается знаком \(\cap\). Пересечение событий А и В можно записать как \(A \cap B\).

Несовместные и совместные события

Рассмотрим два события: “чайник исправно работает” и “чайник сломался”. Могут ли эти события существовать одновременно? Нет, поскольку появление одного из них исключает появление другого.

Такие события называются несовместными. Название само говорит, что события не могут существовать одновременно.

Несовместные события — такие события, появление одного из которых исключает появление другого.

Решим небольшую задачу. На экзамене есть несколько билетов. С вероятностью 0,5 попадется билет по планиметрии. С вероятностью 0,3 попадется билет по экономике. При этом не существует билетов, которые включают обе эти темы. С какой вероятностью на контрольной попадется билет по одной из этих тем?

Представим билеты в виде схемы. Заметим, что нам нужно объединить два из трех кругов, то есть сложить их вероятности.

Следовательно, вероятность будет равна 0,5 + 0,3 = 0,8.

Сформулируем определение суммы вероятностей двух несовместных событий.

Если события А и В несовместны, то вероятность их объединения равна сумме их вероятностей:

\(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\)

Если существуют несовместные события, то существуют и совместные.

Совместные события — события, наступление одного из которых не исключает наступления другого.

В магазине работают два консультанта. Один из них занят общением с клиентом. Означает ли это, что второй консультант тоже занят? Нет, поскольку они работают независимо друг от друга. Если занят первый консультант, второй может быть как занят, так и нет.

Подбросим игральный кубик и рассмотрим два вида событий. Пусть событие А — это “выпадет число 2”, событие В — “выпадет четное число”.

Найдем вероятность события А: \(\frac<1><6>\).

Для события В всего три благоприятных исхода из шести: выпадет число 2, 4 или 6. Тогда вероятность наступления события В равна \(\frac<3> <6>= \frac<1><2>\)

Исключают ли события А и В друг друга? Нет, поскольку если произойдет событие А, произойдет и событие В. Когда произойдет событие В, есть вероятность, что произойдет и событие А.

Найдем объединение совместных событий на примере кругов. Если мы наложим их друг на друга, то в середине получится как бы два слоя. Проверить это можно, если наложить друг на друга два листа бумаги.

А нужно получить вот такую картину:

Поэтому для объединения двух кругов нам нужно будет исключить одну из серединок.

Если события А и В совместны, то вероятность их объединения равна сумме их вероятностей без вероятности их пересечения:

\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) — P(A \cap B)\)

В каких случаях нужно пользоваться формулой со сложением? Достаточно, чтобы задачу можно было сформулировать с помощью “или”. Например, нужно, чтобы выпали темы по планиметрии или по экономике.

Независимые и зависимые события

Прогуляемся в магазин за булочками. В упаковке две булочки, а сама упаковка непрозрачная, то есть увидеть булочки до вскрытия упаковки мы не можем.

Известно, что на заводе, где изготавливаются булочки, 5 из 100 булочек подгорают. Значит, 95 из 100 булочек не подгорают. По классическому определению вероятности находим, что вероятность каждой булочки не подгореть равна \(\frac<95> <100>= 0,95\).

Какова вероятность, что в упаковке попадутся только не подгорелые булочки? Как найти вероятность сразу для двух булочек?

Ответим на вопрос: зависят ли булочки друг от друга?

Если подгорит одна из булочек в упаковке, не обязательно подгорит другая. Следовательно, булочки не зависят друг от друга. Такие события называются независимыми.

Независимые события — такие события, появление одного из которых не зависит от появления другого события.

Определим вероятность независимых событий.

Пусть вероятность, что подгорела первая булочка, будет равна Р(А) = 0,95, а вероятность для второй булочки будет равна Р(В) = 0,95.

А чтобы найти вероятность независимых событий, нужно воспользоваться следующей формулой:

\(P(A \cap B) = P(A) * P(B)\)

Тогда вероятность, что булочки в одной упаковке не подгорят, равняется P = 0,95 * 0,95 = 0,9025.

В каком случае нужно пользоваться этой формулой? Нужно подставить союз “и”.

Мы хотим, чтобы в упаковке первая булочка была не подгорелой и вторая булочка была не подгорелой.

Приведем еще один пример. В здании два автомата с кофе на разных этажах. Даже если сломается один из них, работа второго не будет зависеть от первого.

Но если автоматы стоят рядом и включены в одну розетку, то при поломке одного из них есть вероятность выхода из строя розетки, а значит, и второй автомат тоже сломается. Такие события будут зависимыми: появление одного из них зависит от появления другого.

Предположим, что в мешке лежит семь кубиков: два из них оранжевые, а пять — фиолетовые. Из мешка дважды вытаскивают кубики. Какова вероятность, достать во второй раз именно фиолетовый кубик?

Нужная последовательность может быть в двух случаях:

• сначала вытащат фиолетовый кубик и потом снова фиолетовый;
• сначала вытащат оранжевый кубик, а потом фиолетовый.

Разберем первый случай. Вероятность в первый раз вытащить фиолетовый кубик равна \(\frac<5><7>\). После этого в мешке останется шесть кубиков, четыре из которых будут фиолетовые.

Вероятность вытащить во второй раз фиолетовый кубик равна \(\frac<5> <7>* \frac<4> <6>= \frac<20> <42>= \frac<10><21>\).

Теперь рассмотрим второй случай. Вероятность в первый раз достать оранжевый кубик равна \(\frac<2><7>\). В мешке останется шесть кубиков, пять из которых будут фиолетовыми.

Вероятность вытащить во второй раз фиолетовый кубик будет уже равна \(\frac<2> <7>* \frac<5> <6>= \frac<10> <42>= \frac<5><21>\).

В этом примере очень наглядно видно, что вероятность напрямую зависит от того, какой кубик попался первым. Следовательно, эти события зависимы.

Как отличить зависимые и независимые события? Если после наступления первого события меняется количество благоприятных и всех исходов, то такие события — зависимые. Если количество благоприятных и всех исходов не меняется, то события независимые.

Условная вероятность — вероятность некоторого события В при условии наступления некоторого события А.

Условная вероятность обозначается P(B|A). В нашем примере условной вероятностью будет вычисление, что во второй раз попадется именно фиолетовый кубик.

Найдем вероятность двух зависимых событий. Формула похожа на ту, что используется для независимых событий. Но в этот раз нам нужно применить условную вероятность.

Вероятность появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, при условии, что первое событие уже наступило:

\(P(A \cap B) = P(A) * P(B | A)\)

Формула Бернулли

Рассмотрим случаи, когда испытание повторяется многократно. Для этого еще раз обратимся к игральному кубику. Подбросим кубик 8 раз. Какова вероятность, что цифра 5 выпала ровно три раза?

Пусть p — вероятность, что выпадет цифра 5. Тогда \(p = \frac<1><6>\).

Теперь возьмем q — противоположное р событие — вероятность, что цифра 5 не выпадет. \(q = \frac<5><6>\).

Обозначим количество всех бросков за n, а количество выпадения цифры 5 за k.

Чтобы решить задачу, нужно воспользоваться формулой Бернулли.

Множитель \(C_n^k\) — это число сочетаний. Подробнее узнать про сочетания можно в статье «Основы комбинаторики».

Решим задачу, подставив значения в формулу:

Фактчек

• Вероятность — отношение количества благоприятных событий к количеству всех возможных событий.
• События могут быть противоположными. Противоположные события — такие события, если при не наступлении одного обязательно наступает второе.
• События можно разделить на совместные и несовместные. Несовместные события — такие события, появление одного из которых исключает появление другого. Если события А и В несовместны, то вероятность их объединения равна сумме их вероятностей: P(A \(\cup) B) = P(A) + P(B). Совместные события — события, наступление одного из которых не исключает наступления другого. Если события А и В совместны, то вероятность их объединения равна сумме их вероятностей без вероятности их пересечения: P(A \cup B) = P(A) + P(B) — P(A \cap B).
• События также можно разделить на независимые и зависимые. Независимые события — такие события, появление одного из которых не зависит от появления другого события. Вероятность независимых событий можно найти по формуле P(A \cap B) = P(A) * P(B). Зависимые события — это события, появление одного из которых зависит от появления другого. Вероятность появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, при условии, что первое событие уже наступило. P(A \cap B) = P(A) * P(B | A).
• Условная вероятность — вероятность некоторого события В при условии наступления некоторого события А.

Проверь себя

Задание 1.
Какие события являются несовместными?

1. Подбрасывание монетки.
2. Брак батареек в одной упаковке.
3. “Миша идет” и “Миша стоит”.
4. Случайное вытаскивание конфет из вазы.

Задание 2.
Алена делает ошибку при решении задач по математике с вероятностью 0,17. С какой вероятностью она не сделает ошибку при решении задачи?

1. 0,17
2. 1
3. 0,83
4. 1,17

Задание 3.
Артем решал задачи на вероятность. Ниже приведены его ответы. В какой из задач он точно совершил ошибку?

1. 1
2. 0,216
3. 0,45
4. 1,5

Задание 4.
В упаковке три шариковые ручки. С вероятностью 0,1 такая ручка не будет писать. Найдите вероятность, что все три ручки в упаковке пишут.

1. 0,3
2. 0,001
3. 2,7
4. 0,729

Задание 5.
Перед Дашей лежит несколько карточек. Она случайно переворачивает одну из них. С вероятностью 0,5 на карточке окажется рисунок природы. С вероятностью 0,27 на карточке окажется мотивационная цитата. Карточек и с рисунком, и с цитатой нет. Найдите вероятность, что Дана перевернет карточку или с рисунком, или с цитатой.

1. 0,77
2. 0,135
3. 0,23
4. -0,23

Ответы: 1. — 3 2. — 3 3. — 4 4. — 4 5. — 1

Как найти пересечение событий если известно объединение

1)

1)

Эти вероятностные пространства служат моделью задач такого типа:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Условную вероятность называют также апостериорной вероятностью события А – вероятность наступления А после наступления В.

Мы предполагаем, что имеет место либо гипотеза , либо … либо. Вероятности этих гипотез известны и равны:

(6)

(7)

Предположим, произошла авиакатастрофа и эксперты заняты исследованием ее причин. Заранее известны 4 причины, по которым произошла катастрофа: либо причина, либо , либо , либо . По имеющейся статистике эти причины имеют следующие вероятности:

При посадке погодные условия могут быть такими: низкой облачности нет (), низкая облачность есть (). В первом случае вероятность благополучной посадки равна P1. Во втором случае – Р2. Ясно, что P1>P2.

Приборы, обеспечивающие слепую посадку, имеют вероятность безотказной работы Р. Если есть низкая облачность и приборы слепой посадки отказали, вероятность удачного приземления равна Р3, причем Р3<Р2. Известно, что для данного аэродрома доля дней в году с низкой облачностью равна .

Нужно найти вероятность .

=

=

=

Кроме того, поскольку события и образуют полную группу попарно несовместимых событий, то .
Интересующая нас вероятность – это .

=

=

=

=

В терминах этих событий интересующая нас вероятность – это . По условию:

Поскольку события , , образуют полную группу попарно несовместимых событий, используя формулу Байеса мы имеем:

Пусть некоторая случайная величина, например, ущерб от пожара или величина страховых выплат.
Случайная величина полностью характеризуется своей функцией распределения.

Определение. Функция называется функцией распределения случайной величины ξ.

Определение. Если существует такая функция , что для произвольных a<b выполнено

,

Определение. Пусть . Для непрерывной функции распределения F теоретической α-квантилью называется решение уравнения .

при любом

— символ математического ожидания.

Читается так: вероятность того, что модуль больше меньше или равняется математическому ожиданию величины модуль , деленному на .

.

В актуарной математике приятно работать не с функцией распределения, а с дополнительной функцией распределения . Применительно к продолжительной жизни – это вероятность того, что человек доживет до возраста x лет.

1. убывает при ;
2. ;
3. ;
4. непрерывна.

В таблицах продолжительности жизни обычно считают, что существует некоторый предельный возраст (limiting age) (как правило, лет) и соответственно при x >.

Допустим, что мы наблюдаем за группой из новорожденных (как правило, ), которых мы наблюдаем и можем фиксировать моменты их смерти.

Обозначим число живых представителей этой группы в возрасте через . Тогда:

.

Итак, функция выживания равна средней доле доживших до возраста из некоторой фиксированной группы новорожденных.

В актуарной математике часто работают не с функцией выживания , а с только что введенной величиной (зафиксировав начальный размер группы ).

Функция выживания может быть восстановлена по плотности:

,
2. Дисперсия времени жизни

,
где
,

3. Медиана времени жизни , которая определяется как корень уравнения
.

Простейшее приближение было введено в 1729 году де Муавром (de Moivre), который предложил считать, что время жизни равномерно распределено на интервале , где — предельный возраст.

В модели де Муавра при 0<x<

Сравнение графиков этих функций с реальными графиками функции выживания , функции смертей , интенсивности смертности , показывает, что закон де Муавра является не очень хорошим приближением.

Например, первая формула означает, что кривая смертей является горизонтальной линией, в то время как эмпирические данные указывают на пик в районе 80 лет.

В модели, которую предложил в 1825 году Гомпертц (Gompertz), интенсивность смертности приближается показательной функцией вида , где >0 и B>0 – некоторые параметры. Соответствующая функция выживания имеет вид

,

.

Мэйкхам (Makeham) в 1860 году обобщил предыдущую модель, приблизив интенсивность смертности функцией вида .

Постоянное слагаемое позволяет учесть риски для жизни, связанные с несчастными случаями (которые мало зависят от возраста), в то время как член учитывает влияние возраста на смертность.

В этой модели
,
.

Второй закон Мэйкхама, введенный в 1889 году, приближает интенсивность смертности функцией вида . В этой модели
,
.

Вейбулл (Weibull) в 1939 году предложил приближать интенсивность смертности более простой степенной функцией вида . В этой модели
, .

Вероятность

• выпадет орел;
• выпадет решка.

Равновозможные и противоположные события

Объединение и пересечение событий

Несовместные и совместные события

\(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\)

\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) — P(A \cap B)\)

Независимые и зависимые события

\(P(A \cap B) = P(A) * P(B)\)

• сначала вытащат фиолетовый кубик и потом снова фиолетовый;
• сначала вытащат оранжевый кубик, а потом фиолетовый.

\(P(A \cap B) = P(A) * P(B | A)\)

Формула Бернулли

Фактчек

• Вероятность — отношение количества благоприятных событий к количеству всех возможных событий.
• События могут быть противоположными. Противоположные события — такие события, если при не наступлении одного обязательно наступает второе.
• События можно разделить на совместные и несовместные. Несовместные события — такие события, появление одного из которых исключает появление другого. Если события А и В несовместны, то вероятность их объединения равна сумме их вероятностей: P(A \(\cup) B) = P(A) + P(B). Совместные события — события, наступление одного из которых не исключает наступления другого. Если события А и В совместны, то вероятность их объединения равна сумме их вероятностей без вероятности их пересечения: P(A \cup B) = P(A) + P(B) — P(A \cap B).
• События также можно разделить на независимые и зависимые. Независимые события — такие события, появление одного из которых не зависит от появления другого события. Вероятность независимых событий можно найти по формуле P(A \cap B) = P(A) * P(B). Зависимые события — это события, появление одного из которых зависит от появления другого. Вероятность появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, при условии, что первое событие уже наступило. P(A \cap B) = P(A) * P(B | A).
• Условная вероятность — вероятность некоторого события В при условии наступления некоторого события А.

Проверь себя

1. Подбрасывание монетки.
2. Брак батареек в одной упаковке.
3. “Миша идет” и “Миша стоит”.
4. Случайное вытаскивание конфет из вазы.

1. 0,17
2. 1
3. 0,83
4. 1,17

1. 1
2. 0,216
3. 0,45
4. 1,5

1. 0,3
2. 0,001
3. 2,7
4. 0,729

1. 0,77
2. 0,135
3. 0,23
4. -0,23

Ответы: 1. — 3 2. — 3 3. — 4 4. — 4 5. — 1

Взяв практически любую статью по теории вероятностей, мы увидим, что либо она начинается словами: «Пусть — вероятностное пространство», либо в одной из первых же фраз написано: «где — вероятностное пространство». Иногда добавляется: — пространство элементарных исходов, — -алгебра (сигма-алгебра) событий, — вероятностная мера (или вероятность)». Естественно, у неискушенного читателя пропадает всякое желание читать эту статью дальше. Однако понятие вероятностного пространства является весьма естественным математическим обобщением хорошо известных физических понятий: исход опыта, случайное событие, вероятность события. В настоящей главе мы попытаемся, насколько это возможно, дать читателю, знакомому только с основами высшей математики, разъяснение этого основополагающего для теории вероятностей понятия.

Пространство элементарных исходов

Аналогично, если проанализировать любое испытание со случайным исходом, можно заметить, что его результат представляет собой один из множества допустимых исходов. Поскольку в математике принято абстрагироваться от несущественных деталей, то всегда можно рассматривать все возможные в данном опыте исходы как некоторое множество которое и носит название пространства элементарных исходов или пространства элементарных событий. Сами элементарные исходы будем обозначать строчной буквой снабжая ее при необходимости индексами.

При подбрасывании монеты пространство элементарных исходов состоит всего из 2 исходов: — выпадение «герба» и — выпадение «цифры».

При бросании игральной кости возможны 6 элементарных исходов: — выпадение одного очка, — выпадение 2 очков….. — выпадение 6 очков.

При подбрасывании двух монет пространство элементарных исходов содержит уже 4 исхода. Перечислим их: — пара «герб»-«герб», — «герб»-«цифра», — «цифра»-«герб», — «цифра»-«цифра». При подбрасывании трех монет возможны 8 элементарных исходов типа «герб»-«цифра»-«герб» и т.д.

При определении времени жизни элементарной частицы пространство элементарных исходов представляет собой полупрямую

События, действия над ними

При бросании игральной кости (см. пример 2) событиями являются: выпадение четного числа очков (это событие происходит тогда и только тогда, когда появляется один из элементарных исходов выпадение нечетного числа очков (элементарные исходы выпадение не менее двух очков (элементарные исходы и т. д.

При подбрасывании двух монет примерами событий будут: падение обеих монет на одну и ту же сторону (появлению этого события благоприятствуют элементарные исходы из примера 3); падение монет на разные стороны (элементарные исходы выпадение, по крайней мере, одного «герба» (элементарные исходы и т. п.

При определении времени безотказной работы электрической лампочки можно привести следующие примеры событий: безотказная работа лампочки до момента Т; отказ лампочки до момента Т; отказ лампочки между моментами и т. д. Здесь так же, как и в примере 4, пространство элементарных исходов представляет собой полупрямую Тогда первому событию соответствует множество точек на полупрямой второму — на интервале третьему — на интервале

Вспоминая, что в результате опыта может произойти один и только один элементарный исход из пространства элементарных исходов мы приходим к теоретико-множественному определению события как произвольного набора элементарных исходов или, иными словами, произвольного подмножества множества элементарных исходов События будем обозначать прописными латинскими буквами, снабженными при необходимости индексами: и т.д.

Само пространство элементарных исходов представляет собой событие, состоящее из всех возможных исходов, т. е. происходящее всегда (при любом элементарном исходе ), и носит название достоверного события. Таким образом, пространство элементарных исходов выступает в двух качествах: в качестве собственно множества всех элементарных исходов и в качестве достоверного события.

При бросании игральной кости событие «выпадение не менее одного очка» является достоверным событие «выпадение более 6 очков» — невозможным

Для трех и более событий понятие несовместности можно определить разными способами. Мы будем, в основном, пользоваться следующим понятием несовместности n событий, которое также называется попарной несовместностью событий: события называются (попарно) несовместными, или (попарно) непересекающимися, если для любых при

Симметрической разностью двух событий А и В (обозначается знаком или называется событие С, представляющее собой объединение событий

Кроме вышеперечисленных действий над событиями нам в дальнейшем понадобится понятие включения. Событие А принадлежит (содержится в, включается в) событию В (записывается если появление события А обязательно влечет за собой наступление события В (рис.8) или, иными словами, каждый элементарный исход принадлежащий А, обязательно принадлежит и В. Ясно, что включение эквивалентно выполнению равенства

Используют и обратное понятие: событие В содержит (включает) событие если

Алгебра событий

Итак, мы назвали событием произвольное подмножество пространства элементарных исходов Такое определение прекрасно работает, когда конечно или даже счетно (т.е. его можно пересчитать с помощью чисел натурального ряда). Однако если более чем счетно,

то, вообще говоря, мы уже не сможем построить логически непротиворечивую теорию, называя событием произвольное подмножество Причина этого заключается в существовании так называемых неизмеримых множеств, что в свою очередь кроется в топологической структуре классических рассматриваемых пространств (прямой, плоскости, трехмерного пространства и т.д.). Поэтому приходится отказаться от, казалось бы, естественного желания назвать событием любое подмножество пространства элементарных исходов и выделить среди всех подмножеств некоторый класс подмножеств Именно только подмножества из выделенного класса и будут называться событиями. Интуитивно ясно, что описанные в предыдущем пункте теоретико-множественные операции над событиями не должны приводить к подмножествам, не являющимся событиями.

С точки зрения повседневной практики подмножества пространства элементарных исходов не являющиеся событиями, представляют собой чистую математическую абстракцию и в реальной жизни никогда не встречаются. Даже само доказательство их существования представляет весьма сложную задачу. Поэтому читателю, не желающему вдаваться в математические тонкости, мы рекомендуем пропустить параграф, посвященный -алгебре событий, и в дальнейшем под событием понимать произвольное подмножество элементарных исходов а под -алгеброй — систему всех этих подмножеств. Любознательному читателю мы предоставляем возможность познакомиться со строгим определением последнего понятия, излагаемым ниже.

Алгеброй событий назовем непустую систему подмножеств удовлетворяющую следующим аксиомам:

Если подмножество А принадлежит (является событием), то дополнение также принадлежит (является событием).

Если подмножества А и В принадлежат (являются событиями), то и объединение принадлежит (является событием).

Как мы знаем, любую из рассмотренных нами операций над подмножествами можно получить с помощью только двух операций: дополнения и объединения. Поэтому пересечение и разность двух событий также будут событиями. Поскольку то все пространство элементарных исходов и пустое подмножество обязательно являются событиями в любой алгебре событий. Очевидно также, что объединение и пересечение любого конечного числа событий снова будет событием. Иными словами, алгебру событий можно определить как систему подмножеств пространства элементарных исходов замкнутую относительно конечного числа теоретико-множественных операций.

-алгеброй событий назовем систему подмножеств из удовлетворяющую аксиоме А1 и аксиоме

2′. Если подмножества принадлежат (являются событиями), то и их (счетное) объединение также принадлежит (является событием).

Основываясь на формулах де Моргана, нетрудно показать, что пересечение счетного числа событий снова будет событием. Таким образом, -алгебру событий можно определить как систему подмножеств пространства элементарных исходов замкнутую относительно счетного числа теоретико-множественных операций.

.Любая -алгебра событий является одновременно и алгеброй событий. Обратное, вообще говоря, не верно, т.е. существуют алгебры событий, не являющиеся -алгебрами. Однако если пространство элементарных исходов конечно, то любая алгебра событий будет также и -алгеброй событий, т.е. в этом случае понятия алгебры событий и -алгебры событий эквивалентны.

-алгебра событий является второй компонентой вероятностного пространства

Для любого пространства элементарных исходов содержащего хотя бы один исход, семейство подмножеств, состоящее всего из двух подмножеств является -алгеброй. Ясно, однако, что на такой ст-алгебре, состоящей всего из достоверного и невозможного событий, сколь-нибудь содержательную теорию построить невозможно, и мы ее в дальнейшем рассматривать не будем.

Пример 18. Пусть пространство элементарных исходов содержит по крайней мере два исхода. Возьмем в некоторое подмножество А, отличное от Тогда система из четырех подмножеств будет являться -алгеброй Поскольку в дальнейшем мы будем рассматривать только события, а других событий, кроме перечисленных четырех, -алгебра не содержит, то естественно отождествить ее с -алгеброй, определенной на пространстве элементарных исходов состоящем всего из двух элементарных исходов: и содержащей подмножества Здесь мы имеем дело с тем принципом упрощения пространства элементарных исходов, о котором говорилось в параграфе 1.

В качестве иллюстрации рассмотрим время работы электрической лампочки. Первоначально пространство элементарных исходов представляет собой полупрямую Однако если наблюдателю доступна только информация, произошел отказ за фиксированное время Т (событие A) или нет (событие то он фактически имеет дело с двумя элементарными исходами: и соответствующая -алгебра состоит из четырех событий, описанных выше. В этом случае наблюдение за работой электрической лампочки с точки зрения числа возможных элементарных исходов ничем не отличается от наблюдения за подбрасыванием монеты.

Пусть пространство элементарных исходов содержит конечное или счетное число исходов. Такое пространство называется дискретным. В качестве -алгебры возьмем систему всех подмножеств. Именно эту -алгебру мы всегда будем рассматривать в дальнейшем в случае дискретного пространства элементарных исходов. Нетрудно видеть, что любое событие А можно отождествить с последовательностью из 0 и 1, причем 0 на месте означает, что элементарный исход не принадлежит событию А. В частности, невозможному событию соответствует последовательность 0,0…..а достоверному Ясно, что если число исходов n конечно, то -алгебра содержит событий (на каждом из n мест последовательности может стоять одно из двух чисел: 0 или 1).

В случае дискретного -алгебру можно определить исходя и из других предпосылок. Для этого достаточно объявить событиями все элементарные исходы Поскольку в случае дискретного любое его подмножество будет содержать не более счетного числа элементарных исходов, то в соответствии с аксиомой оно обязательно будет событием. Таким образом, -алгебру можно трактовать как -алгебру, порожденную всеми элементарными исходами.

В частности, в случае конечного -алгебра порождается конечным числом элементарных исходов и поэтому совпадает с алгеброй порожденной всеми элементарными исходами Однако в случае счетного алгебра порожденная всеми элементарными исходами , уже не будет совпадать с -алгеброй поскольку она будет содержать только подмножества, состоящие из конечного числа элементарных исходов (как объединения событий в соответствии с аксиомой А2) или подмножества, состоящие из всех элементарных исходов за исключением их конечного числа (как дополнения к подмножествам первого типа в соответствии с аксиомой А1).

Пусть пространство элементарных исходов представляет собой прямую И здесь система всех подмножеств будет представлять собой -алгебру. Однако оказывается, что такая «максимальная» -алгебра в наиболее интересных случаях представляет собой негодный объект для дальнейших исследований. Дело в том, что введение понятия -алгебры является вспомогательным процессом, необходимым для дальнейшего определения собственно вероятности, и, если бы только было возможно, никто не стал бы «городить огород» ради, разве что, красивого названия.

О невозможности использования «максимальной» -алгебры мы еще скажем несколько слов, когда будем рассматривать геометрическую вероятность. Сейчас попробуем построить другую -алгебру, опираясь на более умеренные запросы. Итак, что бы мы хотели от -алгебры на прямой? Разумеется, основное требование к ней заключается в том, чтобы ей принадлежали всевозможные интервалы Минимальная -алгебра, удовлетворяющая этому требованию, носит название борелевской —алгебры и является тем объектом, на котором без всяких логических противоречий можно построить математически строгую теорию.

Предположим сначала, что пространство элементарных исходов конечно. Пусть каждому событию А ( т.е. подмножеству А пространства элементарных исходов принадлежащему -алгебре поставлено в соответствие число Р(A). Числовая функция Р(A) (заданная на -алгебре ) называется вероятностью, если она удовлетворяет следующим аксиомам:

(аксиома сложения), если и

Поскольку то по аксиоме сложения или, с учетом аксиомы нормированности,

Пусть Тогда по аксиоме сложения и из аксиомы неотрицательности получаем

Наконец, поскольку то из аксиомы сложения находим: Следовательно,

Действительно, с одной стороны, пусть на пространстве элементарных исходов задана некоторая вероятность Обозначим через вероятности элементарных исходов Тогда по аксиоме сложения РЗ вероятность любого события А определяется формулой где суммирование ведется по всем индексам соответствующим входящим в событие А элементарным исходам. В силу аксиом не отрицательности Р1 и нормированности Р2 числа являются неотрицательными и удовлетворяют свойству

С другой стороны, пусть — любой набор неотрицательных чисел, таких, что Поставим в соответствие каждому элементарному исходу число а любому событию А — число где суммирование ведется по всем индексам соответствующим входящим в событие А элементарным исходам. Очевидно, достоверному событию мы должны сопоставить число Нетрудно видеть, что определенная таким образом функция Р(А) удовлетворяет аксиомам Р1-РЗ, т.е. является вероятностью.

Итак, существует взаимно однозначное соответствие между всеми вероятностями Р(А) на наборами неотрицательных чисел, удовлетворяющими условию

В частности, мы можем всем элементарным исходам приписать одну и ту же вероятность В этом случае реализуется так называемый принцип классической вероятности, о котором мы подробно поговорим в следующей главе.

Пусть состоит из счетного числа элементарных исходов И в этом случае любую вероятностную меру Р(А) можно получить, задав вероятности элементарных исходов, причем последовательность должна удовлетворять только условиям неотрицательности и нормированности По-прежнему вероятность любого события А определяется как сумма вероятностей всех входящих в А элементарных исходов однако если событие А содержит бесконечное число элементарных исходов, то и сумма будет бесконечной.

Пусть пространство элементарных исходов представляет собой прямую с борелевской -алгеброй на нем (см. пример 20). Теперь уже в наиболее интересных случаях мы не можем приписать каждому элементарному исходу иной вероятности, кроме и, следовательно, определить вероятность любого события на основе вероятностей входящих в него элементарных исходов. Тем не менее и сейчас вероятность можно задать конструктивно.

Для того чтобы показать это, предположим сначала, что она каким-то образом уже задана для всех событий (элементов борелевской -алгебры), и рассмотрим функцию равную вероятности события состоящего из всех точек полупрямой Как вероятность функция F(x) обязана обладать определенными свойствами, которые мы сейчас опишем.

Во-вторых, так как для любых событие содержится в событии Иными словами, F(x) — неубывающая функция аргумента х.

В-третьих, поскольку событие невозможно, а событие достоверно, то

Наконец, так как событие представляет собой объединение счетного числа событий то из расширенной аксиомы сложения и монотонности F(x) можно вывести (см. параграф 2 гл. 5), что F(x) — непрерывная слева функция.

Зная функцию F(a-), можно определить вероятности любых других событий. В частности, вероятность события определяется формулой

Справедливо и обратное. Любая неубывающая непрерывная слева функция F(x), удовлетворяющая условиям задает некоторую вероятность на прямой Действительно, достаточно сопоставить каждому событию число а событию — число Можно показать, что определенная таким образом для всех событий числовая функция Р(А) будет удовлетворять трем аксиомам вероятности. Для любых других событий, составляющих борелевскую -алгебру на прямой, вероятность определяется единственным образом с помощью так называемой теоремы о продолжении меры.

Вероятностное пространство с примерами решения и образцами выполнения

Взяв практически любую статью по теории вероятностей, мы увидим, что либо она начинается словами: «Пусть — вероятностное пространство», либо в одной из первых же фраз написано: «где — вероятностное пространство». Иногда добавляется: — пространство элементарных исходов, — -алгебра (сигма-алгебра) событий, — вероятностная мера (или вероятность)». Естественно, у неискушенного читателя пропадает всякое желание читать эту статью дальше. Однако понятие вероятностного пространства является весьма естественным математическим обобщением хорошо известных физических понятий: исход опыта, случайное событие, вероятность события. В настоящей главе мы попытаемся, насколько это возможно, дать читателю, знакомому только с основами высшей математики, разъяснение этого основополагающего для теории вероятностей понятия.

Пространство элементарных исходов

Рассмотрим простейший вариант случайного испытания — подбрасывание монеты. Если отвлечься от чисто гипотетических возможностей — падения монеты на ребро или вообще исчезновения монеты, то возможны только два исхода: выпадение «герба» и выпадение «цифры». Эти два исхода в рамках данного опыта уже нельзя разбить на более мелкие составляющие, т.е. они являются в некотором роде «элементарными». При бросании игральной кости такими неделимыми исходами являются: выпадение одного очка, выпадение двух очков, …, выпадение шести очков. Значит, мы имеем уже 6 элементарных исходов. Более сложный пример получим, если рассмотрим падение идеальной (т. е. не имеющей размера) частицы на плоскость. Тогда результат испытания представляет собой попадание частицы в определенную точку плоскости и его можно отождествить с двумерным вектором в некоторой системе координат на плоскости.

Аналогично, если проанализировать любое испытание со случайным исходом, можно заметить, что его результат представляет собой один из множества допустимых исходов. Поскольку в математике принято абстрагироваться от несущественных деталей, то всегда можно рассматривать все возможные в данном опыте исходы как некоторое множество которое и носит название пространства элементарных исходов или пространства элементарных событий. Сами элементарные исходы будем обозначать строчной буквой снабжая ее при необходимости индексами.

Пример:

При подбрасывании монеты пространство элементарных исходов состоит всего из 2 исходов: — выпадение «герба» и — выпадение «цифры».

Пример:

При бросании игральной кости возможны 6 элементарных исходов: — выпадение одного очка, — выпадение 2 очков….. — выпадение 6 очков.

Пример:

При подбрасывании двух монет пространство элементарных исходов содержит уже 4 исхода. Перечислим их: — пара «герб»-«герб», — «герб»-«цифра», — «цифра»-«герб», — «цифра»-«цифра». При подбрасывании трех монет возможны 8 элементарных исходов типа «герб»-«цифра»-«герб» и т.д.

Пример:

При определении времени жизни элементарной частицы пространство элементарных исходов представляет собой полупрямую

Следует отметить, что в практических исследованиях существует определенный произвол в описании пространства элементарных исходов Так, однократное подбрасывание монеты (пример 1) можно рассматривать как часть более сложного опыта, заключающегося в подбрасывании двух или более монет (пример 3). При определении времени жизни частицы (пример 4) можно также рассматривать типы получившихся после распада частиц и т. д. Очевидно, при решении практических задач разумно выбирать всегда наиболее простой вариант пространства элементарных исходов, необходимый для решения стоящей перед исследователем задачи.

События, действия над ними

Понятие «событие» лингвистически отличается от понятия «элементарное событие» только отсутствием прилагательного «элементарное». Естественно поэтому определить событие так же, как исход испытания, но только не обязательно неделимый.

Пример:

При бросании игральной кости (см. пример 2) событиями являются: выпадение четного числа очков (это событие происходит тогда и только тогда, когда появляется один из элементарных исходов выпадение нечетного числа очков (элементарные исходы выпадение не менее двух очков (элементарные исходы и т. д.

Пример:

При подбрасывании двух монет примерами событий будут: падение обеих монет на одну и ту же сторону (появлению этого события благоприятствуют элементарные исходы из примера 3); падение монет на разные стороны (элементарные исходы выпадение, по крайней мере, одного «герба» (элементарные исходы и т. п.

Пример:

При определении времени безотказной работы электрической лампочки можно привести следующие примеры событий: безотказная работа лампочки до момента Т; отказ лампочки до момента Т; отказ лампочки между моментами и т. д. Здесь так же, как и в примере 4, пространство элементарных исходов представляет собой полупрямую Тогда первому событию соответствует множество точек на полупрямой второму — на интервале третьему — на интервале

Вспоминая, что в результате опыта может произойти один и только один элементарный исход из пространства элементарных исходов мы приходим к теоретико-множественному определению события как произвольного набора элементарных исходов или, иными словами, произвольного подмножества множества элементарных исходов События будем обозначать прописными латинскими буквами, снабженными при необходимости индексами: и т.д.

Заметим, что приведенное выше определение события не всегда позволяет построить логически безупречную аксиоматику теории вероятностей. Поэтому в следующем параграфе мы уточним понятие «событие». Сейчас же наша цель состоит в описании теоретико-множественных операций над событиями, и нам удобно отказаться от несущественных пока деталей.

Часто бывает полезным наглядное представление событий в виде так называемой диаграммы Эйлера-Венна. Будем изображать все пространство элементарных исходов прямоугольником (рис.1). Тогда каждый элементарный исход соответствует точке внутри прямоугольника, а каждое событие А отождествимо с некоторой областью.

Само пространство элементарных исходов представляет собой событие, состоящее из всех возможных исходов, т. е. происходящее всегда (при любом элементарном исходе ), и носит название достоверного события. Таким образом, пространство элементарных исходов выступает в двух качествах: в качестве собственно множества всех элементарных исходов и в качестве достоверного события.

Для дальнейшего нам удобно ввести еще одно событие называемое невозможным. Невозможное событие не происходит никогда, т.е. не содержит ни одного элементарного исхода.

Пример:

При бросании игральной кости событие «выпадение не менее одного очка» является достоверным событие «выпадение более 6 очков» — невозможным

Над событиями как над подмножествами фиксированного множества можно производить действия, которые мы сейчас опишем.

Пересечением (произведением) двух событий А и В называется событие С, происходящее тогда и только тогда, когда наступают одновременно оба события А и В, или, иными словами, состоящее из тех элементарных исходов, которые принадлежат и А, и В (рис. 2).

Пересечение событий А и В записывается следующим образом:

Аналогично определяется пересечение трех и более событий.

Пример:

Событие А — при подбрасывании двух монет падение их одной стороной, событие В — выпадение хотя бы одного «герба». Пересечением событий А и В является событие С, состоящее в выпадении двух «гербов».

Пример:

Событие А — выпадение четного числа очков при бросании игральной кости, событие В — выпадение не менее 3 очков. Пересечение А ий — событие С, состоящее в выпадении 4 или 6 очков. □

События А и В называются непересекающимися или несовместными, если их пересечение является невозможным событием, т.е. (рис.3).

Для трех и более событий понятие несовместности можно определить разными способами. Мы будем, в основном, пользоваться следующим понятием несовместности n событий, которое также называется попарной несовместностью событий: события называются (попарно) несовместными, или (попарно) непересекающимися, если для любых при

Пример:

Событие А — выпадение четного числа очков при бросании игральной кости, событие В — выпадение нечетного числа очков. События А и В несовместны.

Нетрудно видеть, что справедливы следующие простейшие формулы для пересечения двух событий, одно из которых достоверно или невозможно:

Объединением (суммой) двух событий А и В называется событие С, происходящее тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий А или В, т. е. состоящее из тех элементарных исходов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В (рис.4).

Для объединения событий А и В применяется запись

Пример:

Событие А — выпадение 1 или 3 очков при бросании игральной кости, событие В — выпадение 3 или 5 очков. Объединением событий А и В является событие С, состоящее в выпадении нечетного числа очков.

Для объединения двух событий, одно из которых достоверно или невозможно, имеют место следующие формулы:

В том случае, когда события А и В несовместны, наряду со знаком для их объединения употребляют знак «+». Обычно знак «+» применяют тогда, когда заведомо известно, что А и В несовместны, и это особо хотят подчеркнуть. В частности, поскольку невозможное событие несовместно с любым событием А, то

Аналогично определяется объединение трех и более событий. При этом знак «+» используется в случае попарной несовместности входящих в объединение событий.

Разностью двух событий А и В называется событие С, происходящее тогда и только тогда, когда происходит событие А, но не происходит событие В, т. е. состоящее из тех элементарных исходов, которые принадлежат ,4, но не принадлежат В (рис.5).

Разность событий А и В записывается в виде

Пример:

Событие А — выпадение хотя бы одного «герба» при подбрасывании двух монет, событие В — падение обеих монет одной стороной. Разность С событий А к В представляет собой событие, заключающееся в выпадении ровно одного «герба».

Справедливы следующие формулы для разности двух событий, одно из которых достоверно или невозможно:

Кроме того, если А и В несовместны

Симметрической разностью двух событий А и В (обозначается знаком или называется событие С, представляющее собой объединение событий

Поскольку события несовместны (рис. 6), симметрическую разность можно записать также в виде

Нетрудно заметить, что симметрическая разность есть объединение событий а и в без их общей части:

Пример:

Событие А — выпадение не менее 2 очков при бросании игральной кости, событие в — выпадение не более 4 очков. Симметрической разностью событий а и в является событие С, заключающееся в выпадении 1, 5 или 6 очков.

Если А и В несовместны, то

Дополнением события А (обычно обозначается называется событие, происходящее тогда и только тогда, когда не происходит событие А (рис. 7), или, иными словами,

Пример:

Событие А — выпадение четного числа очков при бросании игральной кости. Дополнительное событие — выпадение нечетного числа очков.

Если некоторое событие записано в виде нескольких действий над различными событиями, то сначала вычисляются дополнения, затем выполняются умножения и, наконец, сложения и вычитания событий. Так, формула

Пользуясь диаграммой Эйлера-Венна, нетрудно показать справедливость следующих формул (формулы де Моргана):

Формулы де Моргана элементарно переносятся на произвольное число событий. В частности, для n событий они имеют вид:

Следует отметить, что все действия над событиями можно получить с помощью только двух действий — объединения и дополнения (или пересечения и дополнения). Основанием для этого утверждения служат формулы де Моргана, а также соотношение

Кроме вышеперечисленных действий над событиями нам в дальнейшем понадобится понятие включения. Событие А принадлежит (содержится в, включается в) событию В (записывается если появление события А обязательно влечет за собой наступление события В (рис.8) или, иными словами, каждый элементарный исход принадлежащий А, обязательно принадлежит и В. Ясно, что включение эквивалентно выполнению равенства

Используют и обратное понятие: событие В содержит (включает) событие если

Пример:

Событие А — выпадение четного числа очков при бросании игральной кости, событие В — выпадение не менее 2 очков. Событие А принадлежит событию В, поскольку если выпало четное число очков (2, 4 или 6), то обязательно выпало не менее 2 очков.

Следующие включения очевидны:

Кроме того, если то

Алгебра событий

-алгебра событий

Итак, мы назвали событием произвольное подмножество пространства элементарных исходов Такое определение прекрасно работает, когда конечно или даже счетно (т.е. его можно пересчитать с помощью чисел натурального ряда). Однако если более чем счетно,

то, вообще говоря, мы уже не сможем построить логически непротиворечивую теорию, называя событием произвольное подмножество Причина этого заключается в существовании так называемых неизмеримых множеств, что в свою очередь кроется в топологической структуре классических рассматриваемых пространств (прямой, плоскости, трехмерного пространства и т.д.). Поэтому приходится отказаться от, казалось бы, естественного желания назвать событием любое подмножество пространства элементарных исходов и выделить среди всех подмножеств некоторый класс подмножеств Именно только подмножества из выделенного класса и будут называться событиями. Интуитивно ясно, что описанные в предыдущем пункте теоретико-множественные операции над событиями не должны приводить к подмножествам, не являющимся событиями.

С точки зрения повседневной практики подмножества пространства элементарных исходов не являющиеся событиями, представляют собой чистую математическую абстракцию и в реальной жизни никогда не встречаются. Даже само доказательство их существования представляет весьма сложную задачу. Поэтому читателю, не желающему вдаваться в математические тонкости, мы рекомендуем пропустить параграф, посвященный -алгебре событий, и в дальнейшем под событием понимать произвольное подмножество элементарных исходов а под -алгеброй — систему всех этих подмножеств. Любознательному читателю мы предоставляем возможность познакомиться со строгим определением последнего понятия, излагаемым ниже.

Алгеброй событий назовем непустую систему подмножеств удовлетворяющую следующим аксиомам:

Если подмножество А принадлежит (является событием), то дополнение также принадлежит (является событием).

Если подмножества А и В принадлежат (являются событиями), то и объединение принадлежит (является событием).

Как мы знаем, любую из рассмотренных нами операций над подмножествами можно получить с помощью только двух операций: дополнения и объединения. Поэтому пересечение и разность двух событий также будут событиями. Поскольку то все пространство элементарных исходов и пустое подмножество обязательно являются событиями в любой алгебре событий. Очевидно также, что объединение и пересечение любого конечного числа событий снова будет событием. Иными словами, алгебру событий можно определить как систему подмножеств пространства элементарных исходов замкнутую относительно конечного числа теоретико-множественных операций.

Однако понятие алгебры событий также оказывается недостаточным для аксиоматического построения теории вероятностей в том случае, когда пространство элементарных исходов не является конечным. Интересы общей теории меры требуют, чтобы аксиома А2 была заменена на более сильную, и мы приходим к новому определению:

-алгеброй событий назовем систему подмножеств из удовлетворяющую аксиоме А1 и аксиоме

2′. Если подмножества принадлежат (являются событиями), то и их (счетное) объединение также принадлежит (является событием).

Основываясь на формулах де Моргана, нетрудно показать, что пересечение счетного числа событий снова будет событием. Таким образом, -алгебру событий можно определить как систему подмножеств пространства элементарных исходов замкнутую относительно счетного числа теоретико-множественных операций.

.Любая -алгебра событий является одновременно и алгеброй событий. Обратное, вообще говоря, не верно, т.е. существуют алгебры событий, не являющиеся -алгебрами. Однако если пространство элементарных исходов конечно, то любая алгебра событий будет также и -алгеброй событий, т.е. в этом случае понятия алгебры событий и -алгебры событий эквивалентны.

-алгебра событий является второй компонентой вероятностного пространства

Пример:

Для любого пространства элементарных исходов содержащего хотя бы один исход, семейство подмножеств, состоящее всего из двух подмножеств является -алгеброй. Ясно, однако, что на такой ст-алгебре, состоящей всего из достоверного и невозможного событий, сколь-нибудь содержательную теорию построить невозможно, и мы ее в дальнейшем рассматривать не будем.

Пример 18. Пусть пространство элементарных исходов содержит по крайней мере два исхода. Возьмем в некоторое подмножество А, отличное от Тогда система из четырех подмножеств будет являться -алгеброй Поскольку в дальнейшем мы будем рассматривать только события, а других событий, кроме перечисленных четырех, -алгебра не содержит, то естественно отождествить ее с -алгеброй, определенной на пространстве элементарных исходов состоящем всего из двух элементарных исходов: и содержащей подмножества Здесь мы имеем дело с тем принципом упрощения пространства элементарных исходов, о котором говорилось в параграфе 1.

В качестве иллюстрации рассмотрим время работы электрической лампочки. Первоначально пространство элементарных исходов представляет собой полупрямую Однако если наблюдателю доступна только информация, произошел отказ за фиксированное время Т (событие A) или нет (событие то он фактически имеет дело с двумя элементарными исходами: и соответствующая -алгебра состоит из четырех событий, описанных выше. В этом случае наблюдение за работой электрической лампочки с точки зрения числа возможных элементарных исходов ничем не отличается от наблюдения за подбрасыванием монеты.

Пример:

Пусть пространство элементарных исходов содержит конечное или счетное число исходов. Такое пространство называется дискретным. В качестве -алгебры возьмем систему всех подмножеств. Именно эту -алгебру мы всегда будем рассматривать в дальнейшем в случае дискретного пространства элементарных исходов. Нетрудно видеть, что любое событие А можно отождествить с последовательностью из 0 и 1, причем 0 на месте означает, что элементарный исход не принадлежит событию А. В частности, невозможному событию соответствует последовательность 0,0…..а достоверному Ясно, что если число исходов n конечно, то -алгебра содержит событий (на каждом из n мест последовательности может стоять одно из двух чисел: 0 или 1).

В случае дискретного -алгебру можно определить исходя и из других предпосылок. Для этого достаточно объявить событиями все элементарные исходы Поскольку в случае дискретного любое его подмножество будет содержать не более счетного числа элементарных исходов, то в соответствии с аксиомой оно обязательно будет событием. Таким образом, -алгебру можно трактовать как -алгебру, порожденную всеми элементарными исходами.

В частности, в случае конечного -алгебра порождается конечным числом элементарных исходов и поэтому совпадает с алгеброй порожденной всеми элементарными исходами Однако в случае счетного алгебра порожденная всеми элементарными исходами , уже не будет совпадать с -алгеброй поскольку она будет содержать только подмножества, состоящие из конечного числа элементарных исходов (как объединения событий в соответствии с аксиомой А2) или подмножества, состоящие из всех элементарных исходов за исключением их конечного числа (как дополнения к подмножествам первого типа в соответствии с аксиомой А1).

Пример:

Пусть пространство элементарных исходов представляет собой прямую И здесь система всех подмножеств будет представлять собой -алгебру. Однако оказывается, что такая «максимальная» -алгебра в наиболее интересных случаях представляет собой негодный объект для дальнейших исследований. Дело в том, что введение понятия -алгебры является вспомогательным процессом, необходимым для дальнейшего определения собственно вероятности, и, если бы только было возможно, никто не стал бы «городить огород» ради, разве что, красивого названия.

О невозможности использования «максимальной» -алгебры мы еще скажем несколько слов, когда будем рассматривать геометрическую вероятность. Сейчас попробуем построить другую -алгебру, опираясь на более умеренные запросы. Итак, что бы мы хотели от -алгебры на прямой? Разумеется, основное требование к ней заключается в том, чтобы ей принадлежали всевозможные интервалы Минимальная -алгебра, удовлетворяющая этому требованию, носит название борелевской —алгебры и является тем объектом, на котором без всяких логических противоречий можно построить математически строгую теорию.

Все сказанное относительно прямой в полной мере относится и к пространствам элементарных исходов, представляющим собой плоскость, трехмерное пространство и пространства более высоких размерностей, а также их невырожденные части (отрезки, многоугольники, круги, шары и т.д.). В теории вероятностей такие пространства элементарных исходов называются непрерывными. □

Определение вероятности

Приступим теперь к аксиоматическому определению последней составляющей вероятностного пространства — вероятности или, как иногда говорят, вероятностной меры Р.

Предположим сначала, что пространство элементарных исходов конечно. Пусть каждому событию А ( т.е. подмножеству А пространства элементарных исходов принадлежащему -алгебре поставлено в соответствие число Р(A). Числовая функция Р(A) (заданная на -алгебре ) называется вероятностью, если она удовлетворяет следующим аксиомам:

(аксиома неотрицательности );

(аксиома нормированности);

(аксиома сложения), если и

Как говорилось во введении, аксиомы вероятности представляют собой не что иное, как математическое отражение основных свойств частоты.

Из аксиом Р1-РЗ можно вывести ряд очевидных свойств вероятности.

Поскольку то по аксиоме сложения или, с учетом аксиомы нормированности,

(вероятность дополнительного события).

Далее, поскольку то из аксиомы сложения имеем

(вероятность невозможного события).

Пусть Тогда по аксиоме сложения и из аксиомы неотрицательности получаем

(«большему» событию соответствует большая вероятность).

В частности, так как всегда то, с учетом аксиомы неотрицательности,

(вероятность заключена между 0 и 1).

Наконец, поскольку то из аксиомы сложения находим: Следовательно,

(вероятность объединения двух событий).

Последнее свойство допускает очевидное, но весьма полезное обобщение на случай произвольного числа слагаемых

Свойство 6 доказывается индукцией по n. Так, для трех событий А, В и С

Из свойств 6 и 2 имеем для любого числа n (попарно) непересекающихся событий

В случае, когда содержит конечное число n элементарных исходов, вероятность можно определить конструктивно.

Действительно, с одной стороны, пусть на пространстве элементарных исходов задана некоторая вероятность Обозначим через вероятности элементарных исходов Тогда по аксиоме сложения РЗ вероятность любого события А определяется формулой где суммирование ведется по всем индексам соответствующим входящим в событие А элементарным исходам. В силу аксиом не отрицательности Р1 и нормированности Р2 числа являются неотрицательными и удовлетворяют свойству

С другой стороны, пусть — любой набор неотрицательных чисел, таких, что Поставим в соответствие каждому элементарному исходу число а любому событию А — число где суммирование ведется по всем индексам соответствующим входящим в событие А элементарным исходам. Очевидно, достоверному событию мы должны сопоставить число Нетрудно видеть, что определенная таким образом функция Р(А) удовлетворяет аксиомам Р1-РЗ, т.е. является вероятностью.

Итак, существует взаимно однозначное соответствие между всеми вероятностями Р(А) на наборами неотрицательных чисел, удовлетворяющими условию

В частности, мы можем всем элементарным исходам приписать одну и ту же вероятность В этом случае реализуется так называемый принцип классической вероятности, о котором мы подробно поговорим в следующей главе.

В случае произвольного (не обязательно конечного) пространства элементарных исходов аксиому РЗ необходимо заменить более сильной расширенной аксиомой сложения

справедливой для счетного числа попарно несовместных событий.

Именно аксиомы и определяют аксиоматическое понятие вероятности.

Очевидно, что свойства вероятности 1-7 сохраняются и в этом случае.

Пример:

Пусть состоит из счетного числа элементарных исходов И в этом случае любую вероятностную меру Р(А) можно получить, задав вероятности элементарных исходов, причем последовательность должна удовлетворять только условиям неотрицательности и нормированности По-прежнему вероятность любого события А определяется как сумма вероятностей всех входящих в А элементарных исходов однако если событие А содержит бесконечное число элементарных исходов, то и сумма будет бесконечной.

Пример:

Пусть пространство элементарных исходов представляет собой прямую с борелевской -алгеброй на нем (см. пример 20). Теперь уже в наиболее интересных случаях мы не можем приписать каждому элементарному исходу иной вероятности, кроме и, следовательно, определить вероятность любого события на основе вероятностей входящих в него элементарных исходов. Тем не менее и сейчас вероятность можно задать конструктивно.

Для того чтобы показать это, предположим сначала, что она каким-то образом уже задана для всех событий (элементов борелевской -алгебры), и рассмотрим функцию равную вероятности события состоящего из всех точек полупрямой Как вероятность функция F(x) обязана обладать определенными свойствами, которые мы сейчас опишем.

Во-первых, значения функции F(x) как вероятности должны лежать между 0 и 1.

Во-вторых, так как для любых событие содержится в событии Иными словами, F(x) — неубывающая функция аргумента х.

В-третьих, поскольку событие невозможно, а событие достоверно, то

Наконец, так как событие представляет собой объединение счетного числа событий то из расширенной аксиомы сложения и монотонности F(x) можно вывести (см. параграф 2 гл. 5), что F(x) — непрерывная слева функция.

Зная функцию F(a-), можно определить вероятности любых других событий. В частности, вероятность события определяется формулой

Таким образом, любая вероятность на прямой полностью определяется своей функцией F(x), которая удовлетворяет перечисленным выше свойствам.

Справедливо и обратное. Любая неубывающая непрерывная слева функция F(x), удовлетворяющая условиям задает некоторую вероятность на прямой Действительно, достаточно сопоставить каждому событию число а событию — число Можно показать, что определенная таким образом для всех событий числовая функция Р(А) будет удовлетворять трем аксиомам вероятности. Для любых других событий, составляющих борелевскую -алгебру на прямой, вероятность определяется единственным образом с помощью так называемой теоремы о продолжении меры.

Вероятное пространство

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по теории вероятностей:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института