Как найти матрицу оператора в базисе

13.3. Матрица линейного оператора

Пусть Х – линейное пространство с базисом е = (е₁ , е₂ , … , е_n ) . Тогда можно представить в виде

x = х₁ е₁ + х₂ е₂ + … + х_n е_n =(1)

Формула (1) представляет собой разложение вектора х по базису е. Пусть L(Х,Х) , тогда =х₁ е₁ + х₂ е₂ + … + х_n е_n ) =

х₁ е₁ ) х₂ е₂ ) + …+ х_n е_n ) = (2)

Элемент, так как. Посколькуе = (е₁ , е₂ , … , е_n ) – базис, то вектор можно разложить по этому базису:

, (3)

где — коэффициенты разложения векторапо базису

е = (е₁ , е₂ , … , е_n ) .

Равенство (2) с помощью представления (3) можно теперь записать в другой форме

и элемент у имеет координаты в базисе е:

y= у₁ е₁ + у₂ е₂ + … + у_n е_n =, тогда

, где i.k =1,2,…, n. (4)

Рассмотрим квадратную матрицу порядка п А=(),i,k=1,2,…, n. Эта матрица называется матрицей линейного оператора в базисее.

Х=R 2 , A =, X=, Y=, A∙X=Y,;

Х=R 3 , А= .

Теорема. Пусть в линейном пространстве Х задан базис е = (е₁ , е₂ , … , е_n ) и пусть А=() – квадратная матрица порядкап. Тогда существует единственный линейный оператор , матрицей которого в базисе

е = (е₁ , е₂ , … , е_n ) является матрица А.

13.4. Переход к новому базису. Матрица перехода и её основные свойства. Связь координат вектора и матриц линейного оператора при переходе к новому базису

Пусть е = (е₁ , е₂ , … , е_n ) – старый базис, ) – в линейном пространстве Х размерности п. Каждый из векторов нового базиса можно выразить через векторы старого базиса:

а также представить в матричной форме

) = (е₁ , е₂ , … , е_n ) ∙

или в матричной форме е ∙ Т , где

— матрица перехода от старого базиса е к новому базису .

Замечание. Координаты разложения векторов нового базиса по старому базису е в матрице перехода располагаются по столбцам.

Пример.

Матрица перехода от базиса е к базису имеет вид Т=.

Если е ∙ Т , то е = ,где обратная к матрице Т матрица является матрицей перехода от нового базиса к старому базису е .

Свойства матрицы перехода

Матрица перехода Т от старого базиса к новому является невырожденной, т.е. det T .

Матрица перехода от нового базиса к старому имеет вид.

Координаты вектора х в разных базисах связаны матрицей перехода.

Пусть Х =– координаты вектора х в старом базисее , т.е.

х = ,а Х / —координаты вектора х в новом базисе , т.е. х = а Т— матрица перехода от базиса е к базису , тогда

Х = Т ∙ Х / и Х / = Т -1 ∙ Х . (5)

Формулы (5) представляют собой связь координат вектора в старом и новом базисах через матрицу перехода.

Пример. Векторы х=(1,3,-2), =(1,1,0),=(1,0,1),= (0,1,1) заданы координатами в старом базисее₁ , е₂ , е₃ . Найти координаты вектора х в новом базисе .

х =

Матрица перехода Т= от базисае

к базису .

Х / = Т -1 ∙ Х = ∙=,т.е. х =

Рассмотрим поведение линейного оператора при замене базиса: при переходе от старого базиса е к новому базису матрица А линейного оператора изменяется, а определитель матрицы оператора сохраняет свою величину. Операторописывается различными матрицами в разных базисах, что демонстрирует различие между матрицей и оператором.

Пусть А – матрица линейного оператора в базисе е , А / — матрица линейного оператора в базисе, тогда

А / = Т -1 ∙ А ∙ Т и А = Т∙ А / ∙ Т -1 , (6)

причем det A=det А / . Формулы (6) устанавливают связь между матрицами линейного оператора в разных базисах.

1) Понятие линейного оператора не тождественно понятию матрицы. Один и тот же оператор может описываться разными матрицами.

2) Подбором нового базиса ( и матрицы перехода Т ) можно привести матрицу линейного оператора к различным формам ( например, треугольной, диагональной).

Пример. В базисе е линейный оператор задан матрицей А=. Найти матрицу операторав новом базисе, связанном со старым базисом матрицей перехода Т= :е.

Решение. А / = Т -1 ∙ А ∙ Т = ==

Матрица линейного оператора. преобразование подобия. собственные значения и собственные векторы линейного оператора. диагонализация матриц

Задание 1. Линейный оператор преобразует векторы , , в векторы , , . Найти матрицу линейного оператора.

Связаны между собой соотношением , откуда .

Так как , то , а искомая матрица линейного оператора .

Задание 2. Пусть линейный оператор в базисе задан матрицей . Найти матрицу этого линейного оператора в базисе , если матрица является матрицей перехода от базиса к базису .

Решение. Матрицы и линейного оператора , заданного в разных базисах, связаны между собой соотношением . Так как , то

Задание 3. Линейный оператор в базисе задан матрицей . Найти матрицу этого линейного оператора в базисе , если , .

Решение. Связь между матрицами и линейного оператора в разных базисах определяется формулой , где – матрица перехода от базиса к базису .

Составим матрицу : , тогда и, следовательно,

Задание 4. Линейный оператор в базисе задан матрицей . Найти матрицу этого линейного оператора в базисе , если , .

Решение. Матрицы и связаны между собой соотношением , где – матрица перехода от базиса к базису .

Составим матрицу : , тогда и, следовательно,

Задание 5. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , заданного в некотором базисе матрицей .

Решение. Для нахождения собственных значений линейного оператора составим характеристическое уравнение , т. е. . Раскрывая определитель, получим , т. е. , .

По определению называется собственным вектором линейного оператора , соответствующим собственному значению , если .

Найдём собственные векторы и , соответствующие собственным значениям и .

При получим: , что равносильно такой однородной системе уравнений:

Если – базисная переменная, а – свободная, то .

При : , что равносильно однородной системе уравнений

Пусть – базисная переменная, – свободная. Примем , тогда , а следовательно, .

Так как собственные векторы соответствуют различным собственным значениям, то они должны быть линейно независимы. Проверим линейную независимость полученных собственных векторов и .

Составим матрицу . Так как , то собственные векторы и линейно независимы.

Ответ: собственные числа , ; собственные векторы , .

Задание 6. Привести матрицу линейного оператора к диагональному виду.

Решение. Матрица линейного оператора будет диагональной в базисе из собственных векторов, если такой базис существует. Найдём собственные значения и собственные векторы линейного оператора.

Запишем характеристическое уравнение: , т. е. или , откуда получаем , .

Найдём собственные векторы И .

При получим: , что соответствует следующей однородной системе уравнений:

Пусть – базисная переменная, – свободная. Полагая , получим .

При : . Соответствующая однородная система уравнений имеет вид:

Откуда . Пусть – базисная переменная, – свободная, примем тогда , а, следовательно, .

Собственные векторы и отвечают различным собственным значениям, поэтому они линейно независимы, т. е. могут составить базис. Матрица линейного оператора в базисе из собственных векторов и имеет диагональный вид: .

Можно проверить полученный результат. Так как , где матрица в случае перехода к базису из собственных векторов и имеет вид , следовательно,

Задание 7. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , заданного в некотором базисе матрицей . Построить, если это возможно, базис из собственных векторов и найти матрицу этого линейного оператора в базисе из собственных векторов.

Решение. Запишем характеристическое уравнение:

Найдём собственные векторы линейного оператора.

При : , тогда соответствующая однородная система уравнений примет вид:

Что равносильно такой системе:

Пусть и – базисные переменные, – свободная. Полагая , получим .

При : , или, переходя к однородной системе уравнений, получим

Пусть и – базисные переменные, – свободная. Если , то .

При получим: , и однородная система уравнений примет вид:

Пусть и – базисные переменные, – свободная. Тогда если , то . Найденные собственные векторы соответствуют различным собственным значениям, поэтому они линейно независимы, значит, существует базис из собственных векторов. Матрица перехода к такому базису , тогда

Матрица линейного оператора в базисе из собственных векторов имеет вид: .

Можно сделать проверку полученных результатов:

Ответ: , , ; , , ; матрица линейного оператора в базисе из собственных векторов .

Линейные преобразования для «чайников»

На двух ближайших уроках я вкратце расскажу вам ещё об одном разделе высшей алгебры, который касается линейных преобразований… и тут сразу, заметьте, напрашивается добавить «преобразований чего-то». Тема обширная, тема интересная, и моя скромная задача состоит в том, чтобы в доступной форме донести до читателя её основы. В этой связи статья будет посвящена не только абстрактным алгебраическим вопросам, но и наполнена богатым геометрическим содержанием. Кроме того, сегодня мы обобщим такое важное понятие как вектор, имеющий к сему содержанию лишь частное отношение.

Есть ли среди вас начинающие изучать высшую математику? …хотя, чего тут спрашивать, конечно же, есть… – не смогли ведь пройти мимо заголовка! …Ну вот вы мне и попались, голубчики =) Для эффективного изучения материала нужно знать основы алгебры, аналитической геометрии, а также уметь выполнять действия с матрицами. На самом деле всё довольно просто, но если у вас возникнут вопросы (или уже встретился какой-то непонятный термин), то, пожалуйста, воспользуйтесь ссылками.

Обобщение понятия вектора. Векторное пространство

Ожидание казни хуже самой казни и поэтому лучше сразу почувствовать леденящий холодок настоящей алгебры =) Начнём с обещанного разбора полётов, а именно с понятия вектора. Давайте вспомним, что мы о нём знаем. Палочка со стрелочкой, знакомая ещё из школы. В высшей математике эта палочка «поднялась» до свободного вектора плоскости и пространства. Хорошо…. Далее слово «вектор» встретилось нам в ходе изучения матриц. Так, например, матрицу «один на два» мы называем вектором-строкой, а матрицу «три на один» – вектором-столбцом. Это векторы? Да, это векторы! Причём эти векторы сами по себе не имеют никакого отношения к геометрии. В своих статьях по алгебре я неоднократно оговаривался, что «данный вектор нужно понимать в алгебраическом смысле» и на уроке о ранге матрицы привёл краткую теоретическую справку по этому поводу: вектор – это упорядоченный набор чисел (обычно действительных)… и далее по тексту. А вот это уже более близко к истине: здесь, скажем, двумерный вектор понимается именно как упорядоченная пара чисел, которую, в частности можно интерпретировать, как координаты геометрического вектора. Или как решение системы линейных уравнений (см., например, статью об однородных системах). Или ещё как-нибудь.

Но и это частность! На самом деле в определённом контексте векторами являются матрицы, многочлены, функции и т.д. …и даже наши «обычные» действительные числа! А почему нет? Пожалуйста: множество векторов (никаких геометрических ассоциаций!), имеющих в наборе одно действительное число .

Так что же такое вектор? Что объединяет все эти случаи?

Предположим, что для всех элементов некоторого множества определены операции их сложения и умножения на скаляр , причём результаты этих операций (полученные элементы) тоже принадлежат данному множеству. Если при этом выполнены следующие восемь аксиом (см. по ссылке), то рассматриваемые элементы называются векторами (никаких ассоциаций!!), а всё их множество – векторным или линейным пространством

Обратите внимание на обозначения: абстрактный вектор чаще всего записывают жирной буквой – чтобы не возникало путаницы с различными «конкретными» векторами. Для векторного пространства стандартно используется буква .

Итак, какие бы «частные семейства» векторов мы ни взяли (геометрические, матричные, строковые и т.д.) – для каждой из этих алгебраических структур справедливо следующее:

– все элементы рассматриваемого множества можно складывать и умножать на скаляр (далее работаем с действительными числами), причём результаты этих операций тоже принадлежат данному множеству.

– для операций сложения и умножения выполнены аксиомы векторного пространства.

И здесь следует отметить, что термины «сложение» и «умножение» тоже носят общий символический смысл – в зависимости от природы того или иного векторного пространства эти операции определяются по-разному.

В курсе линейной алгебры проводится скрупулезная проверка различных множеств на предмет того, образуют ли они линейное пространство. И если удастся определить сложение и умножение на скаляр медведей на велосипеде и доказать для данных операций выполнение указанных 8 аксиом, то векторами будут и эти объекты =)

А теперь к основной теме урока:

Что такое линейное преобразование?

Если в линейном пространстве каждому вектору по некоторому правилу поставлен в соответствие вектор этого же пространства, то говорят, что в данном пространстве задана векторная функция векторного аргумента: (во избежание разночтений с другими математическими записями скобки нередко опускают: ).

Данная функция называется линейным преобразованием, если для неё выполнены пресловутые свойства линейности, с которыми вы ещё не раз столкнётесь в ходе изучения высшей математики:

,
, где – произвольные векторы данного пространства, а – действительное число.

Линейное преобразование также называют линейным оператором.

Следующий пример оброс не только бородой, но и волосами на спине: рассмотрим линейное пространство векторов-строк вида , в котором определены операция сложения и умножения вектора на число .

Никакой геометрии. – то, что я сформулировал в статье о ранге матрицы, называется
-мерным арифметическим векторным пространством, и сейчас мы имеем дело с частным арифметическим пространством размерности 2.

Докажем, что функция векторного аргумента является линейным преобразованием. Доказательство состоит в проверке свойств линейности:

Здесь мы воспользовались дистрибутивностью умножения на скаляр относительно сложения векторов (одна из аксиом векторного пространства)

А здесь – аксиомой ассоциативности умножения на скаляр, коммутативностью (перестановочностью) самих действительных чисел (аксиома поля) и снова той же аксиомой ассоциативности.

Читателям, которым предстоит изучать теорию высшей алгебры, следует привыкнуть к таким доказательствам. Беспощадно формально, но, как сказали бы древние римляне, Dura algebra sed algebra =)

Таким образом, – это линейное преобразование.

Разумеется, далеко не всякий оператор является линейным, и в других источниках информации можно найти массу примеров, как на удачную, так и неудачную проверку различных преобразований на линейность. И со строгостью доказательств на практике обычно всё попроще, …хотя, тут от преподавателя зависит – и по-хорошему, в математике ещё нужно обосновать, почему «ноль не равен единице».

Ну а сейчас мы спускаемся на землю грешную и переходим к геометрическому смыслу линейных преобразований. Пусть – это множество геометрических векторов плоскости. Для простоты рассмотрим привычный ортонормированный базис и прямоугольную систему координат .

Если задан какой-либо базис, то линейное преобразование удобнее представить в матричном виде. Как записать оператор в виде матрицы? На этот счёт существует общее правило: чтобы записать матрицу линейного преобразования в -мерном базисе нужно последовательно и строго по порядку применять данный оператор к базисным векторам, а результаты заносить в столбцы матрицы (слева направо).

Наш случай элементарен: сначала применим линейное преобразование к первому базисному вектору: и запишем результат в 1-й столбец: . Затем «обрабатываем» 2-й орт: и заносим полученные координаты во 2-й столбец:

– матрица линейного преобразования в базисе .

Протестируем построенную матрицу с помощью вектора . Для этого «уложим» его координаты в вектор-столбец и выполним следующее матричное умножение:
– в результате «на выходе» получены координаты вектора , что и требовалось проверить.

Поскольку любая точка плоскости однозначно определяется её радиус-вектором ( – начало координат), то матрица преобразования, по существу, применима и к координатам точек. И далее для простоты я буду говорить, что, например, точка :
– перешла в точку .

Наверное, все уже поняли, что делает этот оператор. Мысленно представьте произвольный треугольник на плоскости. После применения рассматриваемого линейного преобразования данный треугольник увеличится в два раза. Такие треугольники (имеющие равные соответствующие углы), как многие помнят из школы, называются подобными. Да и сам оператор носит такое же название:

Линейное преобразование называется преобразованием подобия или гомотетией, причём:

– если , то речь идёт об однородном растяжении (увеличении) объектов плоскости в раз;
– если – то о сжатии (уменьшении) в раз;
– если , то преобразование тождественно (ничего не меняет).
И если меньше нуля, то дополнительно к растяжению/сжатию/неизменности векторы меняют направление, а точки отображаются симметрично относительно начала координат.

При имеет место так называемое нулевое преобразование.

Следует отметить, что на прикладном и «любительском» уровне линейные преобразования чаще всего как раз и ассоциируются именно с геометрическими преобразованиями. Рассмотрим ещё несколько популярных примеров по теме, и, чтобы разнообразить серые геометрические будни, мысленно нарисуем на координатной плоскости кошачью морду. Можно и не мысленно =)

…Представили? Нарисовали? Отлично!

Преобразование растягивает объекты плоскости по направлению вектора (горизонтали) в 2 раза, после чего кот Леопольд радует нас своей широкой-широкой улыбкой!

…хотя у многих, наверное, не кот… да и не факт, что с улыбкой… – как говорится, у каждого в голове своя морда =)

И в самом деле, преобразуем точку :
– «иксовая» координата увеличилась в 2 раза, а «игрековая» – не изменилась.

Преобразование сожмёт кота по горизонтали в 3 раза. Желающие могут по ходу объяснений приготовить мясорубку тестировать для рассматриваемых матриц различные векторы и точки. Читателям с маломальскими навыками матричного умножения не составит особого труда делать это устно.

Преобразование вытянет все ненулевые объекты плоскости по направлению вектора (по вертикали) в полтора раза. Это будет очень удивлённый кот.

Дополнительные знаки «минус» приведут к зеркальному отображению объектов (относительно оси ординат либо начала координат).

– образно говоря, «челюсть налево, лоб направо». Это преобразование называется перекосом или сдвигом плоскости в направлении вектора (в данном случае).

– данное преобразование поворачивает векторы системы против часовой стрелки на угол .

И, наконец, венчает все эти метаморфозы ещё один лохматый пример:
преобразование переводит единичный квадрат с вершинами в параллелограмм с вершинами .

А тут уж дело случая – может получиться, как комната смеха, так и комната страха – зависит от того или иного преобразования.

Из вышесказанного нетрудно понять, что в базисе любой квадратной матрице «два на два» соответствует некоторое линейное преобразование, и наоборот любому линейному преобразованию соответствует своя матрица «два на два». И данный факт справедлив вообще для любого аффинного базиса , причём одно и то же линейное преобразование в разных базисах будет иметь в общем случае разные матрицы (что следует из самого принципа формирования этих матриц).

По аналогичной схеме можно рассмотреть векторы нашего трёхмерного пространства, с тем отличием, что преобразований будет больше, преобразования будут веселее. И, разумеется, линейные преобразования «работают» в векторных пространствах бОльшей размерности, однако там они уже далеки от геометрии.

В некотором аффинном базисе задано линейное преобразование . Найти образ точки . Используя обратное преобразование, выполнить проверку.

Решение: потихоньку нагружаю вас терминологией: образ – это то, что должно получиться в результате преобразования. В данном случае, очевидно, должна получиться некоторая точка . Исходная точка , соответственно, является прообразом.

! Надеюсь, все понимают, что штрихи в данном контексте не имеют никакого отношения к производным.

Образы векторов и точек мы уже неоднократно находили выше:

Таким образом, линейное преобразование перевело точку в точку .

Теперь найдём матрицу обратного преобразования, которое превращает образы векторов и точек обратно в их прообразы. Для этого запишем простейшее матричное уравнение (где – координатный столбец прообразов, а – образов) и для его разрешения относительно умножим обе части на обратную матрицу слева:

«Развернём» уравнение в привычном порядке:

Обратную матрицу можно найти через алгебраические дополнения либо методом Гаусса-Жордана, но здесь я рекомендую первый способ, поскольку он позволит быстро выяснить, а существует ли матрица вообще.

Заряжаем стандартный алгоритм. Сначала вычислим определитель:
, значит, матрица линейного преобразования обратима. С содержательной точки зрения это означает, что обратное линейное преобразование существует и задаётся оно в точности матрицей .

Здесь и далее я не буду подробно расписывать процесс нахождения обратной матрицы. Итак, в результате стандартных действий находим и выясняем, во что превратится найденная точка :

– получены координаты исходной точки , что и требовалось проверить.

Ответ:

Следует отметить, что обратное преобразование осуществимо далеко не всегда. Так бывает, например, при проектировании векторов на координатные оси или при тривиальном нулевом преобразовании. В таких случаях определитель матрицы прямого оператора равен нулю и обратной матрицы не существует.

Творческая задача для самостоятельного решения:

В результате применения оператора в некотором базисе получены образы . Найти прообразы данных векторов.

Краткое решение и ответ в конце урока. Обратите внимание, что формулировка данной задачи вовсе не утверждает, что речь идёт именно о геометрических векторах. Как оно, собственно, и бывает в большинстве типовых заданий, которые для полного комфорта оформляются малопонятной клинописью:

Даны два линейных преобразования:

Спокойно, спокойно, сейчас во всём разберёмся…

Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее через .

Решение: и как раз первое, что здесь можно сказать – это отсутствие информации о характере векторов . Известно только, что они заданы в некотором базисе, ибо матрица линейного преобразования НЕ МОЖЕТ существовать без базиса (т.к. она порождается базисными векторами). Сам базис нам тоже не известен, но для решения задачи информация о нём и не нужна.

Тем не менее, для пущего понимания предположим, что все дела происходят в обычной декартовой системе координат . И, чтобы не прослыть живодёром, я рассмотрю 3D-модель кота Леопольда =)

Запишем матрицу левого преобразования: . Данное преобразование переводит векторы в образы . Систему, кстати, удобнее переписать в виде уже знакомого матричного уравнения:
или, если короче: .

Данный оператор определённым образом преобразует все векторы (а значит и точки) пространства. Геометрически это означает, что кот Леопольд, оказывается, например, сплющенным (не знаю, не проверял).

Теперь ВНИМАТЕЛЬНО записываем матрицу второго преобразования: (здесь существует немалый риск поставить ноль не там где нужно). Данное преобразование переводит векторы в образы , в результате чего «сплющенный кот», скажем, растягивается вдоль какой-нибудь плоскости.

Аналогично – запишем преобразование в матричном виде:
или:

По условию, нужно найти результирующее (композиционное) преобразование, которое нам сразу даст «сплющенного и растянутого Леопольда». Подставим в уравнение :

Всё оказалось до безобразия просто – главное, матрицы перемножить в правильном порядке. Вычислим матрицу композиционного преобразования:

Если вы позабыли само матричное умножение, обратитесь к статье Свойства матричных операций, где я подробнейшим образом разобрал этот случай.

Осуществим матричное умножение в правой части:

Две матрицы равны, если равны их соответствующие элементы. Таким образом, итоговое преобразование, выражающее координаты векторов-образов через координаты векторов-прообразов, запишется в виде следующей системы:

Выполним проверку. Для этого подставим уравнения , левой системы (см. условие) в правую часть каждого уравнения 2-й системы:

Что и требовалось проверить.

Этот способ, кстати, можно было бы рискнуть взять и за основой, если бы итоговое преобразование не требовалось найти средствами матричного исчисления

Ответ:

Как пользоваться этой системой? Очень просто – берём например, вектор и тупо подставляем его координаты:
– таким образом, он превратился в вектор .

Более академичный способ – использование матричного уравнения .

Энтузиасты могут смоделировать деформацию кота Леопольда с помощью специализированного программного обеспечения и отправить мне картинку, которую я обязательно опубликую. Мне и самому интересно, что же там с ним на самом деле произошло =)

В том случае, если нужно «вернуть кота к первоначальному виду», следует найти обратную матрицу результирующего преобразования и воспользоваться уравнением .

«Плоский» случай для самостоятельного решения:

Даны два линейных преобразования в некотором базисе:

Найти образ вектора двумя способами:

1) путём последовательного применения преобразований и ;
2) с помощью композиционного оператора, выражающего координаты через .

Был велик соблазн вас запутать, но всё же я воздержался. Однако на практике нужно иметь в виду следующее:

– системы запросто могут быть переставлены местами;

– условие задачи может требовать выразить через и тогда потребуется дополнительно находить обратную матрицу результирующего преобразования;

В этой связи очень важно РАЗОБРАТЬСЯ в сути задания, и если что-то осталось недопонятым, обязательно перечитайте объяснения ещё раз – не лишним будет даже порисовать.

А сейчас переходим к вопросу, который назревал в течение всего урока:

Матрица линейного преобразования в различных базисах

В начале статьи мы выяснили происхождение матрицы линейного преобразования на примере оператора и ортонормированного базиса . Напоминаю: для того, чтобы записать матрицу линейного оператора в каком-либо базисе, нужно строго по порядку подействовать этим оператором на базисные векторы и полученные координаты занести в столбцы матрицы (слева направо). В результате «обработки» векторов нами была составлена матрица данного линейного преобразования в данном базисе.

Но ведь на «школьном» базисе свет клином не сошёлся! Ничто нам не мешает перейти к произвольному базису , где это же линейное преобразование, очевидно, выразится другой матрицей. Но сам-то оператор не изменится – он будет по-прежнему увеличивать векторы плоскости в 2 раза. Таким образом, справедливо следующее утверждение, которое по существу уже было озвучено ранее:

Одно и то же линейное преобразование в разных базисах в общем случае имеет РАЗНЫЕ матрицы.

И следующие две задачи как раз посвящены этому вопросу:

В базисе задано линейное преобразование . Найти матрицу данного преобразования в базисе , если

Решение: в условии задачи опять ничего не сказано о характере векторов, но для наглядности предположим, что данные базисы являются аффинным базисами плоскости. Как заметили внимательные читатели, предложенное линейное преобразование вытягивает все ненулевые объекты плоскости в направлении координатного вектора в 2 раза, и наша задача состоит в том, чтобы записать матрицу этого же преобразования в новом базисе . Для решения этого вопроса существует специальная формула:

, где – матрица перехода от базиса к базису .

Составляется она просто: берём вектор и «укладываем» коэффициенты его разложения (внимание!) в 1-й столбец матрицы: . Затем рассматриваем вектор и заносим коэффициенты его разложения во 2-й столбец:

Внимание! Базисные векторы, в данном случае векторы , следует «перебирать» строго по порядку!

Остальное дело техники. Находим обратную матрицу:

И, наконец, матрицу рассматриваемого линейного преобразования в новом базисе:

Пользуясь ассоциативностью матричного умножения, можно было сначала найти , а затем , но, в общем-то, это уже несущественные детали.

Ответ:

Ещё раз повторим смысл задания: само линейное преобразование не поменялось – оно по-прежнему растягивает ненулевые объекты плоскости вдоль «старого» вектора в 2 раза и не деформирует их в направлении вектора , но в новом базисе матрица данного преобразования уже другая. И вы видите её в ответе.

Очевидно, что найденная матрица задаёт обратное преобразование, т.е. выражает старые базисные векторы через новые. Аккуратно «транспонируем» столбцы матрицы в коэффициенты соответствующей системы: . Таким образом, при желании всегда можно вернуться к старому базису: . Обратная формула следует из простых логических соображений, но её можно вывести и формально – разрешив матричное уравнение относительно .

Иногда матрицы и называют подобными.

Какой базис удобнее? Конечно же, исходный, который задаётся матрицей – он сразу позволяет выяснить характер линейного преобразования. И что это за такой интересный базис, и как получить эту матрицу другим способом, вы узнаете на уроке о собственных векторах.

Трехмерный случай для самостоятельного решения:

Найти матрицу линейного преобразования в базисе , где , , , если она задана в базисе .

Пожалуйста, не путайте это задание с Примером № 3 – по первой оглядке здесь тоже какие-то похожие равенства, тоже штрихи, но смысл совершено другой. Если там шла речь о двух линейных преобразованиях и взаимосвязи координат векторов, то здесь – об одном и том же преобразовании и взаимосвязи векторов двух базисов.

Краткое решение и ответ совсем рядом.

И в завершении урока вернёмся к двумерному случаю и матрицам «два на два». Казалось бы, с геометрической точки зрения эти матрицы задают линейные преобразования плоскости и разговор закончен. Но на самом деле это не так – у матриц есть и другой геометрический смысл, с которым можно ознакомиться на уроке Переход к новому базису. Сначала я хотел включить пару соответствующих примеров в эту статью, но чуть позже решил, что материал будет уместнее опубликовать в разделе аналитической геометрии.

Ну и конечно, не забываем, что рассматриваемый материал касается не только геометрических векторов плоскости и пространства, но и вообще любых векторов.

Спасибо за внимание, жду вас на следующем, не менее увлекательном уроке о собственных числах и собственных векторах линейного преобразования.

Решения и ответы:

Пример 2: Решение: найдём матрицу обратного преобразования:
(см. урок. Как найти обратную матрицу)
Найдём прообразы:

Ответ:

Пример 4: Решение: запишем матрицы преобразований:

1) Последовательно применим к вектору преобразования и :

2) Найдём результирующее преобразование:

Таким образом:

Ответ: (нулевой вектор)

Пример 6: Решение: Решение: Используем формулу . Запишем матрицу перехода к новому базису:

Найдём матрицу обратного перехода:

Вычислим:

Ответ:

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Contented.ru – онлайн школа дизайна

SkillFactory – получи востребованную IT профессию!

Линейные операторы (преобразования)

Определение линейных операторов (преобразований)

Линейным преобразованием (линейным оператором) линейного пространства пространства в базисе пространства , найденных относительно базиса .

Матрица биективного линейного оператора (преобразования) обратима, т.е. невырождена. Поэтому биективное (обратимое) преобразование называют также невырожденным.

Примеры линейных операторов (преобразований)

1. Обозначим — нулевое преобразование n-мерного пространства , дефект , ранг .

2. Обозначим . Это преобразование является инъективным, сюръективным, биективным, обратимым. Матрица тождественного преобразования (в любом базисе) единичная n-го порядка, ядро преобразования , образ преобразования — центральную симметрию n-мерного пространства . Это преобразование линейное, инъективное, сюръективное, биективное, обратимое. Матрица преобразования противоположна единичной (в любом базисе): ; ядро преобразования , образ преобразования , дефект — гомотетию n-мерного пространства . Это преобразование линейное. При оно инъективное, сюръективное, биективное, обратимое. Матрица преобразования пропорциональна единичной (в любом базисе): , ядро преобразования , образ преобразования , дефект (см. пункт 1); при (см. пункт 2); при (см. пункт 3).

5. Рассмотрим линейное пространство радиус-векторов (с общим началом в точке — поворот вокруг точки в положительном направлении (против часовой стрелки)). Это преобразование линейное, инъективное, сюръективное, биективное, обратимое. Найдем матрицу поворота в стандартном ортонормированием базисе . Раскладывая образы базисных векторов по базису, получаем

Составляем матрицу (9.1) преобразования (оператора), записывая найденные координаты образов по столбцам:

Ядро оператора (преобразования) , образ преобразования , дефект (см. пункт 2); при (см. пункт 3).

6. Обозначим — оператор дифференцирования, который каждому многочлену степени не выше и ставит в соответствие его производную, рассматриваемую как многочлен степени не выше . Это преобразование линейное, неинъективное, несюръективное, небиективное, необратимое. Квадратная матрица ((n+l)-го порядка) преобразования в стандартном базисе имеет вид

Ядро преобразования — пространство многочленов нулевой степени, образ — пространство многочленов степени не выше , дефект .

Рассмотрим преобразование линейного пространства тригонометрических многочленов (частоты ) с действительными коэффициентами: , т.е. — множество функций вида , где . Заметим, что это множество является двумерным вещественным линейным пространством. Стандартный базис пространства образуют функции , поскольку они линейно независимы (тождественное равенство нулю возможно только в тривиальном случае ). При дифференцировании функции получаем функцию того же вида. Следовательно, преобразование определено. Это преобразование линейное, инъективное, сюръективное, биективное, обратимое. Найдем матрицу преобразования в стандартном базисе . Раскладывая образы базисных векторов, получаем

Составляем матрицу (9.1) преобразования, записывая найденные координаты образов по столбцам: . Ядро преобразования — нулевое подпространство, образ , дефект .

Аналогичными свойствами обладает преобразование , где — множество функций вида и является двумерным комплексным линейным пространством.

7. Пусть линейное пространство разлагается в прямую сумму подпространств . Обозначим — оператор проектирования на подпространство параллельно подпространству , который каждому вектору , где , ставит в соответствие его составляющую (проекцию) , т.е. (рис.9.2). Это преобразование линейное. При оно неинъективное, несюръективное, небиективное, необратимое. Ядро преобразования , образ преобразования , дефект , Ранг ,. При ; при .

8. Пусть линейное пространство разлагается в прямую сумму подпространств . Обозначим — оператор отражения в подпространстве параллельно подпространству (или преобразование симметрии относительно подпространства параллельно подпространству ), который каждому вектору , где , ставит в соответствие вектор , т.е. (рис. 9.3). Это преобразование линейное, инъективное, сюръективное, биективное, обратимое. Ядро преобразования , образ преобразования , дефект . При .

Матрицы линейного оператора (преобразования) в разных базисах

Найдем связь матриц одного и того же линейного оператора (преобразования) в разных базисах.

Пусть в базисе преобразование имеет матрицу , а в базисе — матрицу . Если — матрица перехода от базиса к базису , то

Докажем формулу (9.4). Пусть векторы и имеют координатные столбцы и соответственно. Если , то по формуле (9.2) имеем

Подставляя в первое равенство связи координат векторов в разных базисах получаем или, учитывая обратимость матрицы . Сравнивая последнее равенство с , убеждаемся в справедливости (9.4).

1. Матрицы линейного преобразования в разных базисах оказываются подобными. И наоборот, любые две подобные матрицы являются матрицами некоторого линейного преобразования, найденными относительно разных базисов.

2. Для матриц преобразований справедливы свойства, рассмотренные ранее. В частности, при фиксированном базисе матрица суммы преобразований равна сумме их матриц, матрица произведения преобразования на число равна произведению матрицы преобразования на это же число, матрица композиции преобразований равна произведению матриц преобразований, матрица обратного преобразования является обратной для матрицы обратимого преобразования.

Алгебра линейных операторов (преобразований)

Рассмотрим множество — линейных преобразований (операторов) n-мерного линейного пространства и называются равными, если .

На множестве определены две линейные операции: сложение преобразований и умножение преобразования на число, поскольку в результате этих операций получается линейное преобразование.

Нетрудно показать, что эти операции удовлетворяют условиям:

3. существует нулевое преобразование такое, что ;

4. для каждого преобразования такое, что ;

5. и любого числа и любых чисел ;

7. и любых чисел ;

В условиях 5-7 говорится о числах из того же числового поля, над которым определено линейное пространство с линейными операциями является линейным пространством. Если пространство вещественное (комплексное).

Найдем размерность пространства . При фиксированном базисе имеется взаимно однозначное соответствие между линейными преобразованиями и их матрицами, причем это соответствие сохраняет линейные операции. Следовательно, пространство изоморфно пространству — квадратных матриц n-го порядка. Размерность пространства равна . По теореме 8.3:

Кроме линейных операций в множестве определена операция умножения элементов. Произведением преобразований назовем их композицию, т.е. . В результате композиции линейных преобразований получается линейное преобразование. Операция умножения удовлетворяет следующим условиям:

4. существует тождественное преобразование .

Первое условие выражает ассоциативность операции умножения, условия 2 и 3 — законы дистрибутивности, условие 4 — существование нейтрального элемента. Множество с операциями сложения и умножения элементов является кольцом с единицей (вообще говоря, некоммутативное, так как в общем случае ).

Операции умножения операторов (преобразований) и произведения операторов на число (из заданного числового поля) удовлетворяют условию:

Линейное пространство, которое является кольцом, удовлетворяющим условию 5, называется алгеброй. Поэтому множество называют алгеброй линейных операторов (преобразований) .

Многочлены от линейного оператора (преобразования)

В алгебре можно определить целую неотрицательную степень оператора , полагая по определению

Пусть — многочлен переменной Многочленом от линейного преобразования .

Многочлен называется аннулирующим для линейного преобразования — нулевое преобразование. Заметим, что у каждого линейного преобразования n-мерного линейного пространства . Действительно, система из элементов линейного пространства линейно зависима (так как ). Поэтому существуют такие числа , не все равные нулю одновременно, что . Следовательно, многочлен — аннулирующий для преобразования
Замечания 9.3

1. При фиксированном базисе каждому преобразованию (оператору) можно сопоставить его матрицу. Свойства линейных операций 1-8, записанные для матриц преобразований, повторяют свойства линейных операций с матрицами, а свойствам 1-5 произведения операторов отвечают свойства операции умножения матриц.

2. При фиксированном базисе многочлен от линейного преобразования , где

3. Функции от матриц определяются при помощи многочленов от матриц. Поэтому можно определить функции от линейных преобразований.