Как выразить сигнал через огибающую и фазу

1.4.3 Огибающая, фаза и частота узкополосного сигнала

Современное состояние радиотехники характеризуется непрерывным совершенствованием способов передачи информации. Изыскиваются новые виды сигналов и новые способы их обработки.

Рассмотренные в предыдущих параграфах модулированные колебания являются лишь простейшими видами радиосигналов. Часто приходится иметь дело с радиосигналами, получаемыми в результате одновременной мо­дуляции амплитуды и частоты (или фазы) колебания по очень сложному за­кону.

В любом случае предполагается, что заданный сигнал а(t) представляет собой узкополосный процесс. Это означает, что все спектральные составляю­щие сигнала группируются в относительно узкой по сравнению с некоторой центральной частотой ω₀ полосе.

При представлении подобных сигналов в форме

a(t)=A(t)cosψ(t)(1.110)

возникает неоднозначность в выборе функций A(t) и ψ(t), так как при лю­бой функции ψ(t) всегда можно удовлетворить уравнению (1.197) надлежа­щим выбором функции А(t).

Так, простейшее (гармоническое) колебание

a(t) = A₀ cosω₀t (1.111)

можно представить в форме

a(t)=A(t)cos ωt, (1.112)

где ω = ω ₀ +∆ ω.

В выражении (1.112) огибающая A(t) в отличие от А₀ является функцией времени, которую можно определить из условия сохранения заданной функ­ции a(t)

.(1.113)

Из этого примера видно, что при нерациональном выборе ψ(t) (ωt вме­сто (ω₀t) очень усложнилось выражение для A(t), причем эта новая функ­ция

А (t) по существу не является «огибающей» в общепринятом смысле, так как она может пересекать кривую a(t) (вместо касания в точках, где a(t) имеет максимальное значение). Оперирование подобной «огибающей» не имеет смысла, а в некоторых случаях и недопустимо, так как может при­вести к ошибочным практическим выводам (например, при рассмотрении ра­боты амплитудного детектора).

Неопределенности можно избежать при представлении A(t) и ψ(t) с помощью следующих соотношений:

. (1.114), (1.115)

где a₁(t) — новая функция, связанная с исходной соотношениями

(1.116), (1.117)

Эти соотношения называются преобразованиями Гиль­берта, а функция a₁(t) — функцией, сопряженной (по Гильберту) ис­ходной функции a(t).

Для выяснения смысла выражений (1.114), (1.115), а также требования, чтобы a₁(t) являлась функцией, сопряженной по Гильберту исходной функ­ции a(t), рассмотрим сначала некоторые свойства A(t), и справедливые при любой функции а₁(t).

Прежде всего мы видим, что в точках, где функция а₁(t) равна нулю, имеет место равенство A(t) = a(t).

Дифференцируя (1.114), получаем

.

Отсюда видно, что при а₁ = 0, когда A(t) =a (t), имеет место дополни­тельное равенство

.

Следовательно, в точках, в которых а₁(t) = 0, кривые A(t) и а (t) имеют общие касательные.

Этих условий, однако, еще недостаточно для того, чтобы можно было рассматривать A (t) как «простейшую» огибающую быстро осциллирующей функции a (t). Необходимо потребовать, чтобы кривая А(t) касалась кривой а(t) в точках, в которых последняя имеет амплитудное или достаточно близ­кое к нему значение. Иными словами, в точках, где а₁(t) обращается в нуль, функция а(t) должна принимать значения, близкие к амплитудным. Это ус­ловие как раз и обеспечивается, если функция а₁(t) является сопряженной по Гильберту функции а(t). Это свойство преобразований Гильберта на­гляднее всего иллюстрируется на примере гармонического сигнала.

Пусть a(t) = cos ω₀t, .Найдем сопряженную функцию а₁(t). Применяя общее выражение (1.116) и переходя к новой переменной х = τ — t, находим

.

Известно, что(в смысле главного значения) и

Следовательно, функции а(t) = cosω₀t соответствует сопряженная функция а₁(t) = sinω₀t, которая проходит через нуль в моменты, когда исходная функция проходит через максимум. Аналогичным образом нетруд­но убедиться, что функции a(t) = sinω₀t,,соответствует сопряженная функция а₁(t) = — cosω₀t.

Подставляя а(t) = cosω₀t и a₁(t) = sinω₀t в выражение (1.114), полу­чаем для огибающей гармонического колебания общепринятое выражение

.

Аналогичный результат получается и для а (t) = sinω₀t, а₁(t) =- cosω₀t.

Как видим, выражение (1.114) определяет огибающую в виде линии, ка­сательной к исходной функции в точках ее максимума и в случае гармониче­ского колебания соединяющей два соседних максимума кратчайшим путем. Таким образом, выражение (1.114) определяет «простейшую» огибающую. Это свойство выражения (1.114) сохраняется и для сложного сигнала, если выполняется условие медленности изменения огибающей, т. е. если речь идет об узкополосном сигнале.

Если исходный сигнал представляет собой сумму спектральных состав­ляющих

то сопряженная функция

Ряд (1.118) называется рядом, сопряженным ряду (1.119).Если сигнала(t) представлен не рядом (1.118), а интегралом Фурье

то функцияа₁(t) может быть представлена в виде интеграла

сопряженного интегралу (1.120).

Нетрудно установить связь между спектрами функций a(t) и а₁(t).Так как при преобразовании гармонического колебания по Гильберту его амплитуда остается неизменной, то очевидно, что по модулю спектральная плотность S₁(ω) сопряженной функции а₁(t) не может отличаться от спек­тральной плотности S (ω) исходной функции а (t). Фазовая же характеристи­ка спектра S₁(ω) отличается от ФЧХ спектра S(ω). Из сопоставления вы­ражений (1.120) и (1.121) непосредственно вытекает, что спектральные состав­ляющие функции а₁(t) отстают по фазе на 90° от соответствующих состав­ляющих функции а(t). Следовательно, при ω> 0 спектральные плотности S₁ (ω) и S (ω) связаны соотношением

. (1.122)

В области отрицательных частот соответственно получается

Вследствие изменения ФЧХ сопряженная функция а₁(t) по своей форме может сильно отличаться от исходной функции a(t).

После того как найдена сопряженная функция а₁(t), можно с помощью выражений (1.2114), (1.115) найти огибающую A(t), полную фазу ψ(t) и мгно­венную частоту узкополосного сигнала

.(1.124)

Выделив в найденной таким образом частоте ω (t) постоянную часть ω₀, можно написать выражение

, (1.125)

в котором θ(t)не содержит слагаемого, линейно зависящего от времени. Тем самым устраняется произвол в выборе «средней частоты» сигнала ω₀ и соответственно функции θ(t).

Физическая огибающая, полная фаза и мгновенная частота узкополосного сигнала

Однако физическая огибающая узкополосного сигнала при изменении частоты останется неизменной, поскольку |е _уЛо) ‘| = 1.

Второе свойство физической огибающей — в любой момент времени для узкополосного сигнала u(t) ±jnt , то согласно формуле (2.129) мгновенная частота этого колебания постоянна во времени и поэтому cd _m = со₀ ± Q.

Можно показать, что в общем случае мгновенная частота узкополосного сигнала изменяется во времени но закону

Связь между спектрами узкополосного сигнала и его комплексной огибающей. Пусть 5(со) — спектральная плотность узкополосного сигнала u(t)_y комплексная огибающая U_u(t) которого, в свою очередь, имеет спектральную плотность Y_u(to). С помощью соотношения (2.125) определим связь между спектральными плотностями физического сигнала и его комплексной огибающей, записав прямое преобразование Фурье:

где U*(t) — комплексно-сопряженная огибающая; У_м*(со) — комплексно-со- пряженная^пектральная плотность комплексной огибающей узкополосного сигнала U_u(t).

Из формулы (2.131) следует, что спектральная плотность узкополосного сигнала 5(со) может быть найдена путем переноса спектра комплексной огибающей У_м(со) из окрестности со = 0 в окрестности опорных частот со = ±со₍₎. При этом амплитуды всех спектральных составляющих сигнала уменьшаются вдвое. Отметим, что для определения спектра сигнала в области отрицательных частот применяется операция комплексного сопряжения.

Формула (2.131) позволяет по известной спектральной плотности узкополосного сигнала найти спектр его комплексной огибающей, которая, в свою очередь, в полной мере определяет его физическую огибающую и мгновенную частоту.

Узкополосный сигнал представляет собой радиоимпульс экспоненциальной формы, аналитически записываемый как u(t) = U_me “’since/. Определим комплексную огибающую U_u(t), спектральную плотность заданного сигнала 5(со) и спектральную плотность У/со) его комплексной огибающей.

Пусть опорная частота со₀. Поскольку sin со/ = cos(co/ — л/2), то начальная фаза u(t) = -л/2. Используя соотношение (2.126) и формулу Эйлера, получим следующее выражение для комплексной огибающей сигнала:

С помощью прямого преобразования Фурье находим спектральную плотность комплексной огибающей:

Аналитические сигналы: огибающая, мгновенная фаза и мгновенная частота сигнала

Пусть имеется гармоническое колебание

где Sm, ω0, φ — соответственно амплитуда, частота и начальная фаза сигнала; ψ(t) — текущая фаза сигнала.

Этот же сигнал можно представить в виде

где — сопряженный сигнал, полученный из исходного сигнала поворотом его фазы на −π/2.

На комплексной плоскости такой сигнал S изображается в виде вектора, как показано на рис. 2.14.

Негармонические сигналы подобно сигналу (2.24) можно представить в виде процесса с изменяющейся амплитудой (огибающей) Sm(t) и полной фазой ψ(t), т.е. S(t) = Sm(t) cosψ(t). Однако такое представление в общем случае является неоднозначным.

Действительно, пусть задан сигнал S(t). Выбрав для него произвольную функцию S1(t) и считая (Формула), а (Формула), получим (Формула).

Выбрав затем другую функцию S2(t), можно получить другой набор «амплитуд» и фаз: (Формула) и т.д..

Рис. 2.14. Геометрическое представление комплексного сигнала

Для того чтобы представление было однозначным, как в случае гармонического сигнала, сопряженный сигнал должен быть получен из исходного сигнала посредством поворота всех его гармонических составляющих на −π/2.

Рассмотрим теперь сигнал без постоянной составляющей, представленный в виде ряда
Определим для него сопряженный сигнал из исходного сигнала посредством поворота всех его составляющих на −π/2:

Тогда комплексный сигнал будет иметь вид
(25)

а его реальная часть
Отметим, что сопряженный сигнал (Формула) можно получить из исходного, не прибегая к спектральным представлениям, а используя интегральное преобразование Гильберта:

Исходный сигнал S(t) получим из сопряженного сигнала с помощью обратного преобразования Гильберта:
Функция, называемая ядром преобразования Гильберта, имеет разрыв при t = τ, поэтому интегралы следует понимать в смысле их главного значения, например:

Часто применяется символическая запись преобразований Гильберта:

Нетрудно увидеть, что прямое преобразование Гильберта эквивалентно прохождению сигнала S(t) через фильтр с импульсной характеристикой (Формула), а обратное преобразование Гильберта эквивалентно прохождению сопряженного сигнала (Формула) через фильтр, импульсная характеристика которого (Формула).

Действительно, можно записать
(Формула).

Подставив в это выражение импульсную характеристику вида (Формула), получим формулу (2.26).

Дадим теперь определение рассмотренного сигнала.

Комплексный сигнал, полученный на основе преобразования Гильберта, называется «аналитическим» и записывается в виде выражения (2.25), где исходный сигнал есть реальная часть аналитического сигнала. Заметим, что выражение (2.25), в котором S(t) и (Формула) связаны между собой преобразованиями Гильберта, во-первых, позволяет получить однозначное представление вида (2.24), а во-вторых, обусловливает ряд важных свойств сигнала (Формула), из-за которых он получил название «аналитический».

Приведем (без доказательства) лишь важнейшие свойства аналитического сигнала, используемые в теории связи.

1. Преобразования Гильберта являются линейными. Так, для прямого преобразования Гильберта это свойство можно записать в виде
   причем при любых постоянных a1 и a2. Справедливость этого свойства следует непосредственно из выражений (2.26) и (2.27).
2. Преобразования Гильберта от постоянной величины тождественно равны нулю, т.е. Это свойство следует из того факта, что ядро преобразования Гильберта есть нечетная функция аргумента τ относительно точки t = τ, следовательно, интеграл от нечетной функции (Формула) в пределах (−∞, ∞) равен нулю.
3. Если при каком-нибудь t = τ исходный сигнал достигает экстремума (максимума или минимума), то в окрестности этой точки сопряженный сигнал проходит через нуль. Сказанное иллюстрирует рис. 2.15, где совмещены графики S(τ) (рис. 2.15, а) и ядра преобразования (Формула) (рис. 2.15, б) в точке t, где функция имеет максимум. Результат преобразования Гильберта (Формула) показан на рис. 2.15, в.

Нетрудно увидеть, что функция (Формула) является нечетной функцией аргумента τ, а значит, интеграл от нее в симметричных пределах (−∞, ∞) будет равен нулю.

4. Преобразование Гильберта от гармонических сигналов имеет вид
где.

Очевидно, что для положительных частот
H[cosωt] = sinωt;
H[sinωt] = −cosωt.

Доказательство каждого из указанных свойств следует из анализа сведений, приведенных в данном подразделе.

5. Сдвиг фаз всех составляющих действительного сигнала на угол φ соответствует умножению аналитического сигнала на (Формула), т.е. аналитический сигнал после поворота фаз, откуда легко вычислить и действительный сигнал:

Рис. 2.15. Пояснение свойств преобразований Гильберта:
а — исходный сигнал; б — ядро преобразования; в — сопряженный сигнал

Использование понятия аналитического сигнала для определения формы действительного сигнала после поворота фаз всех его спектральных составляющих на один и тот же угол φ существенно облегчает задачу нахождения действительного сигнала. В противном случае для этого было бы необходимо с помощью преобразования Фурье найти комплексную спектральную плотность, произвести смещение фаз и затем проделать обратное преобразование Фурье.

6. Сдвиг частот всех составляющих сигнала на некоторую величину f0 при f > 0 или f < 0 (преобразование частоты сигнала, причем само изменение частоты f0 может быть как положительным, так и отрицательным) соответствует умножению аналитического сигнала (Формула) на множитель (Формула), т.е.
откуда легко найти и действительный сигнал:

Без использования понятия аналитического сигнала решить эту задачу также было бы весьма сложно.

7. В спектре аналитического сигнала содержатся только положительные частоты. Спектр, полученный посредством преобразования Фурье, имеет вид

Аналогично в спектре комплексно-сопряженного аналитического сигнала

содержатся только отрицательные частоты:

Данные соотношения вытекают из формулы Эйлера.

8. Произведение аналитического сигнала (Формула) и сопряженного с ним аналитического сигнала (Формула) равно квадрату огибающей исходного действительного сигнала S(t):
Таким образом, модуль аналитического сигнала (Формула) равен огибающей сигнала, т.е. (Формула).

Огибающая, мгновенная фаза и мгновенная частота сигнала

Комплексный сигнал, как известно, можно представить в экспоненциальной форме:
откуда следует, что

Решая два последних уравнения относительно Sm(t) и ψ(t), найдем

Величина Sm(t) в этих выражениях называется мгновенной амплитудой, или огибающей, сигнала, а величина ψ(t) — мгновенной фазой сигнала. Производная от мгновенной фазы во времени (если она существует), называется мгновенной круговой частотой сигнала:

Из формулы (2.31) следует, что Sm(t) ≥ S(t), причем равенство имеет место при тех значениях t, для которых S(t) > 0. Легко убедиться, что в этих точках производная огибающей совпадает с производной сигнала, т.е. Sm(t) = S(t) (откуда и название — огибающая сигнала).

Узкополосные сигналы

В радиотехнике и ТЭС широко применяются так называемые узкополосные сигналы, которые являются полосовыми со спектром, показанным на рис. 2.16, но ширина их спектра значительно меньше средней частоты, т.е. (Формула), где (Формула), а (Формула)— соответственно средняя, максимальная и минимальная частоты спектра сигнала.

Рис. 2.16. Спектр полосового сигнала

Для узкополосных сигналов (и помех) представления (2.28) и (2.29) особенно удобны, так как в этом случае огибающая и мгновенная частота оказываются медленно изменяющимися функциями по сравнению с cosψ(t) и, следовательно, по сравнению с самим сигналом S(t). При этом формулу (2.29) удобно записать следующим образом:
причем

Возможно и преобразование соотношения (2.28) вида

Здесь
представляет собой функцию времени, называемую комплексной огибающей сигнала S(t). Модуль этой функции является обычной огибающей, а аргумент — мгновенной начальной фазой θ(t).

Комплексную огибающую можно также представить в виде

Здесь действительные функции времени (Формула) и (Формула) являются квадратурными составляющими комплексной огибающей или низкочастотными квадратурными составляющими. С их помощью сигнал можно представить в виде суммы:
что следует из выражений (2.34) и (2.37).

Учитывая «медленность» изменения функций (Формула) и (Формула) по сравнению с (Формула) и (Формула) из выражений (2.38) можно получить сопряженный сигнал:

Подставив выражения (2.38) и (2.39) в формулу (2.31), нетрудно убедиться, что Sm(t) — огибающая сигнала.

Схема, изображенная на рис. 2.17, иллюстрирует процесс формирования низкочастотных квадратурных составляющих сигнала.

Обратим особое внимание на следующее: нельзя путать понятия спектральных составляющих и мгновенной частоты, так как в первом случае частоты, входящие в спектр, не зависят от времени, а во втором — мгновенная частота есть функция времени, которая определяет скорость изменения фазы. Спектр сигнала можно измерить с помощью прибора — спектроанализатора, который выполняет приближенное преобразование Фурье. Мгновенная частота измеряется частотным детектором, работа которого будет рассмотрена далее, но по существу он реализует выражение (2.33).

Рис. 2.17. Схема формирования квадратурных составляющих узкополосного сигнала

Комплексное и квазигармоническое представление узкополосных сигналов

где — действительная часть;

мнимая часть; Ф(0 — огибающая; 0(?) — мгновенная фаза сигнала.

Графическое представление сигнала приведено на рис. 2.9. Поскольку фаза зависит от времени, вектор 1У(?) вращается. Условно считают, что вращение вектора направлено против часовой стрелки.

Рис. 2.9. Графическое представление комплексного сигнала

Сигнал 1У(0 называется аналитическим, если функции и (?) и и(?) образуют пару преобразований Гильберта:

Функция и (?) является сопряженной по отношению к функции и(?). Если функция и(?) удовлетворяет условию абсолютной интегрируемости, то она может быть выражена через ее спектральную плотность:

Записанный интеграл можно представить в виде двух интегралов. Первый из них соответствует отрицательным, а второй — положительным частотам:

По функции (2.29) найдем комплексно-сопряженную функцию Щ(Ь). Складывая ее с функцией (2.29), получим

Следовательно,

Сравнивая формулы (2.30) и (2.31), найдем следующие выражения для комплексных функций:

Следовательно, если функции г/(?) и г/*(?) образуют пару преобразований Гильберта, то аналитический сигнал определяется формулой (2.33). Учитывая, что для любого аналитического сигнала спектральная плотность в области отрицательных частот равна 0, формулу (2.33) можно записать иначе:

Из последнего выражения находим, что спектральная плотность аналитического сигнала

Подставим в (2.34) выражение (2.29):

Учитывая условия (2.34), запишем выражение (2.35) в виде

Решая уравнения (2.36), (2.37), находим

Производная от фазы сигнала определяет мгновенную частоту

По мгновенной частоте находится мгновенная фаза сигнала’.

Часто фазу сигнала представляют в виде

где со₀ — независимая от времени частота, которая называется несущей’, |/(0> Фо — соответственно переменная составляющая и постоянная составляющая мгновенной фазы; ф(Г) = |/(?) + ср₀.

Подставляя (2.40) в (2.29), получим

Действительная часть последнего выражения:

где — квадратурные составляющие.

Математическим выражением (2.42) пользуются при изучении частотно-избирательных цепей с ограниченной шириной полосы пропускания. Если эта ширина невелика по сравнению с несущей частотой, то выходной сигнал называется узкополосным. Узкополосный сигнал является квазигармоническим, т.е. почти гармоническим колебанием, у которого огибающая и фаза являются медленно меняющимися функциями времени.

Пример 2.10. Для функции и(?) = со8(о₀(?) найти сопряженную по Гильберту функцию и (?).

Решение. Применим прямое преобразование Гильберта: Обозначим Тогда

При вычислении использованы следующие табличные интегралы:

Из приведенного примера видно, что сопряженный по Гильберту сигнал находится путем сдвига фазы на п/2 у исходного сигнала.