Как выразить вектор через векторы

Часть I. Аналитическая геометрия

Напомним, что сумма двух векторов может быть найдена: а) по правилу треугольника; б) по правилу параллелограмма (см. рис. 1).

Если векторы иколлинеарны (записывается это так:), то “работает” только первое правило. Кроме того, для любых точекплоскости или пространства имеет местоправило трёх точек: (см. рис. 2).

Понятно, что равенства такого вида можно писать, даже не делая чертежа: и т.д. Если нам надо разложить какой-либо вектор (например,) в сумму, то можно попробовать разные варианты:и т.д.

Решим в качестве иллюстрации несколько задач.

Задача 1. Дан правильный шестиугольник Точка– середина стороныВыразить векторчерез векторы

Решение (см.рис.3). Известно, что правильный шестиугольник разбивается диагоналями на 6 правильных треугольников.

Поэтому Используя правило трёх точек, получим:

Задача 2. В параллелепипеде точка– центр граниВыразить векторчерез векторы

Решение (см. рис. 4).

Имеем:

В некоторых случаях для того, чтобы выразить какой-либо вектор через другие, приходится решать отдельно задачу из элементарной геометрии или систему уравнений. Рассмотрим несколько примеров.

Задача 3. В окружности с центром проведены радиусыиРадиусделит уголпополам. Зная, чтоинайти вектор

Решение (см. рис. 5).

Пусть – середина отрезкаТогдаТак как векторыимеют одинаковую длину, а векторобразует с ними одинаковые углы, топри некоторомОчевидно,Следовательно,Отсюда получаем:Таким образом,

Задача 4. В параллелограмме и– середины сторонисоответственно. Выразить векторчерез векторы

Решение (см. рис 6).

Введём векторы иВекторыиможно выразить черезии аналогичноНа эти равенства можно смотреть как на систему уравнений

Решим эту систему. Имеем: откуда получаем:т.е.ОтсюдаТаким образом,

Задача 5. В треугольнике – биссектриса углаВыразить векторчерез векторыи длины этих векторов.

Решение (см. рис. 7). По свойству биссектрисы имеем:

Следовательно, Отсюда получаем:

Задача 6. Пусть – точка пересечения медиан треугольникаВычислить сумму

Решение (см. рис. 8).

Пусть – середины сторонсоответственно. Продлим отрезокза точкуна величину, равнуюМы получим отрезокТак как диагонали четырёхугольникаточкой пересеченияделятся пополам, то этот четырёхугольник является параллелограммом. Следовательно, по правилу параллелограммаДалее, по свойству медианпоэтомуа значит,Теперь можно вычислить требуемую сумму:

Покажем, как с помощью векторов можно доказывать утверждения. Напомним, что пространственным четырёхугольником называется четырёхугольник, вершины которого могут не лежать в одной плоскости.

Задача 7. Доказать, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон пространственного четырёхугольника, а также отрезок, соединяющий середины его диагоналей, пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Решение (см. рис. 9).

Пусть – середины сторонсоответственно. Обозначим черезисередины диагоналейисоответственно. Требуется доказать, что середины отрезковисовпадают. Пусть– середина отрезкаа– произвольная точка пространства. Тогда получаем:

Рассуждая аналогично, получим, что если – середина отрезкатоТаким образом,откуда следует, что точкиисовпадают. Обозначим черезсередину отрезкаИмеем:

Теперь ясно, что

Векторы для чайников. Действия с векторами.
Координаты вектора. Простейшие задачи с векторами

Наконец-то у меня добрались руки до обширной и долгожданной темы аналитической геометрии. Сначала немного о данном разделе высшей математики…. Наверняка вам сейчас вспомнился курс школьной геометрии с многочисленными теоремами, их доказательствами, чертежами и т.д. Что скрывать, нелюбимый и часто малопонятный предмет для значительной доли учеников. Аналитическая геометрия, как ни странно, может показаться более интересной и доступной. Что означает прилагательное «аналитическая»? На ум сразу приходят два штампованных математических оборота: «графический метод решения» и «аналитический метод решения». Графический метод, понятно, связан с построением графиков, чертежей. Аналитический же метод предполагает решение задач преимущественно посредством алгебраических действий. В этой связи алгоритм решений практически всех задач аналитической геометрии прост и прозрачен, зачастую достаточно аккуратно применить нужные формулы – и ответ готов! Нет, конечно, совсем без чертежей тут не обойдется, к тому же для лучшего понимания материала я постараюсь приводить их сверх необходимости.

Открываемый курс уроков по геометрии не претендует на теоретическую полноту, он ориентирован на решение практических задач. Я включу в свои лекции только то, что с моей точки зрения, является важным в практическом плане. Если вам необходима более полная справка по какому-либо подразделу, рекомендую следующую вполне доступную литературу:

1) Вещь, с которой, без шуток, знакомо несколько поколений: Школьный учебник по геометрии, авторы – Л.С. Атанасян и Компания. Сия вешалка школьной раздевалки уже выдержала 20 (!) переизданий, что, конечно, не является пределом.

2) Геометрия в 2 томах. Авторы Л.С. Атанасян, Базылев В.Т. Это литература для высшей школы, вам потребуется первый том. Из моего поля зрения могут выпадать редко встречающиеся задачи, и учебное пособие окажет неоценимую помощь.

Из инструментальных средств предлагаю собственную разработку – программный комплекс по аналитической геометрии, который значительно упростит жизнь и сэкономит массу времени.

Предполагается, что читатель знаком с базовыми геометрическими понятиями и фигурами: точка, прямая, плоскость, треугольник, параллелограмм, параллелепипед, куб и т.д. Желательно помнить некоторые теоремы, хотя бы теорему Пифагора, привет второгодникам)

А сейчас мы последовательно рассмотрим: понятие вектора, действия с векторами, координаты вектора. Далее рекомендую прочитать важнейшую статью Скалярное произведение векторов, а также Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов и Векторное и смешанное произведение векторов. Не лишней будет и локальная задача – Деление отрезка в данном отношении. На основе вышеуказанной информации можно освоить уравнение прямой на плоскости с простейшими примерами решений, что позволит научиться решать задачи по геометрии. Также полезны следующие статьи: Уравнение плоскости в пространстве, Уравнения прямой в пространстве, Основные задачи на прямую и плоскость, другие разделы аналитической геометрии. Естественно, попутно будут рассматриваться типовые задания.

Более того, по материалам сайта создана книга!

. да, это свершилось! – освойте азы теории и научитесь решать в кратчайшие сроки! Спасибо за поддержку проекта.

Понятие вектора. Свободный вектор

Сначала повторим школьное определение вектора. Вектором называется направленный отрезок, для которого указано его начало и конец:

В данном случае началом отрезка является точка , концом отрезка – точка . Сам вектор обозначен через . Направление имеет существенное значение, если переставить стрелку в другой конец отрезка, то получится вектор , и это уже совершенно другой вектор. Понятие вектора удобно отождествлять с движением физического тела: согласитесь, зайти в двери института или выйти из дверей института – это совершенно разные вещи.

Отдельные точки плоскости, пространства удобно считать так называемым нулевым вектором . У такого вектора конец и начало совпадают.

. Примечание: Здесь и далее можете считать, что векторы лежат в одной плоскости или можете считать, что они расположены в пространстве – суть излагаемого материала справедлива и для плоскости и для пространства.

Обозначения: Многие сразу обратили внимание на палочку без стрелочки в обозначении и сказали, там же вверху еще стрелку ставят! Верно, можно записать со стрелкой: , но допустима и запись , которую я буду использовать в дальнейшем. Почему? Видимо, такая привычка сложилась из практических соображений, слишком разнокалиберными и мохнатыми получались мои стрелки в школе и ВУЗе. В учебной литературе иногда вообще не заморачиваются клинописью, а выделяют буквы жирным шрифтом: , подразумевая тем самым, что это вектор.

То была стилистика, а сейчас о способах записи векторов:

1) Векторы можно записать двумя большими латинскими буквами:
и так далее. При этом первая буква обязательно обозначает точку-начало вектора, а вторая буква – точку-конец вектора.

2) Векторы также записывают маленькими латинскими буквами:
В частности, наш вектор можно для краткости переобозначить маленькой латинской буквой .

Длиной или модулем ненулевого вектора называется длина отрезка . Длина нулевого вектора равна нулю. Логично.

Длина вектора обозначается знаком модуля: ,

Как находить длину вектора мы узнаем (или повторим, для кого как) чуть позже.

То были элементарные сведения о векторе, знакомые всем школьникам. В аналитической же геометрии рассматривается так называемый свободный вектор.

Если совсем просто – вектор можно отложить от любой точки:

Такие векторы мы привыкли называть равными (определение равных векторов будет дано ниже), но чисто с математической точки зрения это ОДИН И ТОТ ЖЕ ВЕКТОР или свободный вектор. Почему свободный? Потому что в ходе решения задач вы можете «пристроить» тот или иной «школьный» вектор в ЛЮБУЮ, нужную вам точку плоскости или пространства. Это очень крутое свойство! Представьте направленный отрезок произвольной длины и направления – его можно «клонировать» бесконечное количество раз и в любой точке пространства, по сути, он существует ВЕЗДЕ. Есть такая студенческая присказка: Каждому лектору в ж**у по вектору. Ведь не просто остроумная рифма, всё почти корректно – направленный отрезок можно пристроить и туда. Но не спешите радоваться, чаще страдают сами студенты =)

Итак, свободный вектор – это множество одинаковых направленных отрезков. Школьное определение вектора, данное в начале параграфа: «Вектором называется направленный отрезок…», подразумевает конкретный направленный отрезок, взятый из данного множества, который привязан к определённой точке плоскости или пространства.

Следует отметить, что с точки зрения физики понятие свободного вектора в общем случае некорректно, и точка приложения имеет значение. Действительно, прямой удар одинаковой силы по носу или по лбу хватит развивать мой дурацкий пример влёчет разные последствия. Впрочем, несвободные векторы встречаются и в курсе вышмата (не ходите туда :)).

Далее, если не оговаривается иное, речь пойдёт только о свободных векторах.

Действия с векторами. Коллинеарность векторов

В школьном курсе геометрии рассматривается ряд действий и правил с векторами: сложение по правилу треугольника, сложение по правилу параллелограмма, правило разности векторов, умножения вектора на число, скалярное произведение векторов и др. Для затравки повторим два правила, которые особенно актуальны для решения задач аналитической геометрии.

Правило сложения векторов по правилу треугольников

Рассмотрим два произвольных ненулевых вектора и :

Требуется найти сумму данных векторов. В силу того, что все векторы считаются свободными, отложим вектор от конца вектора :

Суммой векторов и является вектор . Для лучшего понимания правила в него целесообразно вложить физический смысл: пусть некоторое тело совершило путь по вектору , а затем по вектору . Тогда сумма векторов представляет собой вектор результирующего перемещения с началом в точке отправления и концом в точке прибытия. Аналогичное правило формулируется для суммы любого количества векторов. Как говорится, тело может пройти свой путь сильно поддатым по зигзагу, а может и на автопилоте – по результирующему вектору суммы.

Кстати, если вектор отложить от начала вектора , то получится эквивалентное правило параллелограмма сложения векторов.

Умножение вектора на число

Сначала о коллинеарности векторов. Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Грубо говоря, речь идёт о параллельных векторах. Но применительно к ним всегда используют прилагательное «коллинеарные».

Представьте два коллинеарных вектора. Если стрелки данных векторов направлены в одинаковом направлении, то такие векторы называются сонаправленными. Если стрелки смотрят в разные стороны, то векторы будут противоположно направлены.

Обозначения: коллинеарность векторов записывают привычным значком параллельности: , при этом возможна детализация: (векторы сонаправлены) или (векторы направлены противоположно).

Произведением ненулевого вектора на число является такой вектор , длина которого равна , причём векторы и сонаправлены при и противоположно направлены при .

Правило умножения вектора на число легче понять с помощью рисунка:

Разбираемся более детально:

1) Направление. Если множитель отрицательный, то вектор меняет направление на противоположное.

2) Длина. Если множитель заключен в пределах или , то длина вектора уменьшается. Так, длина вектора в два раза меньше длины вектора . Если множитель по модулю больше единицы, то длина вектора увеличивается в раз.

3) Обратите внимание, что все векторы коллинеарны, при этом один вектор выражен через другой, например, . Обратное тоже справедливо: если один вектор можно выразить через другой, то такие векторы обязательно коллинеарны. Таким образом: если мы умножаем вектор на число, то получится коллинеарный (по отношению к исходному) вектор.

4) Векторы сонаправлены. Векторы и также сонаправлены. Любой вектор первой группы противоположно направлен по отношению к любому вектору второй группы.

Какие векторы являются равными?

Два вектора равны, если они сонаправлены и имеют одинаковую длину. Заметьте, что сонаправленность подразумевает коллинеарность векторов. Определение будет неточным (избыточным), если сказать: «Два вектора равны, если они коллинеарны, сонаправлены и имеют одинаковую длину».

С точки зрения понятия свободного вектора, равные векторы – это один и тот же вектор, о чём уже шла речь в предыдущем параграфе.

Координаты вектора на плоскости и в пространстве

Первым пунктом рассмотрим векторы на плоскости. Изобразим декартову прямоугольную систему координат и от начала координат отложим единичные векторы и :

Векторы и ортогональны. Ортогональны = Перпендикулярны. Рекомендую потихоньку привыкать к терминам: вместо параллельности и перпендикулярности используем соответственно слова коллинеарность и ортогональность.

Обозначение: ортогональность векторов записывают привычным значком перпендикулярности, например: .

Рассматриваемые векторы называют координатными векторами или ортами. Данные векторы образуют базис на плоскости. Что такое базис, думаю, интуитивно многим понятно, более подробную информацию можно найти в статье Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов. Простыми словами, базис и начало координат задают всю систему – это своеобразный фундамент, на котором кипит полная и насыщенная геометрическая жизнь.

Иногда построенный базис называют ортонормированным базисом плоскости: «орто» – потому что координатные векторы ортогональны, прилагательное «нормированный» означает единичный, т.е. длины векторов базиса равны единице.

Обозначение: базис обычно записывают в круглых скобках, внутри которых в строгой последовательности перечисляются базисные векторы, например: . Координатные векторы нельзя переставлять местами.

Любой вектор плоскости единственным образом выражается в виде:
, где – числа, которые называются координатами вектора в данном базисе. А само выражение называется разложением вектора по базису .

! ВСЕМ настоятельно рекомендую прочитать ВСЁ!

Начнем с первой буквы алфавита: . По чертежу хорошо видно, что при разложении вектора по базису используются только что рассмотренные:
1) правило умножения вектора на число: и ;
2) сложение векторов по правилу треугольника: .

А теперь мысленно отложите вектор от любой другой точки плоскости. Совершенно очевидно, что его разложение будет «неотступно следовать за ним». Вот она, свобода вектора – вектор «всё носит при себе». Это свойство, разумеется, справедливо для любого вектора. Забавно, что сами базисные (свободные) векторы не обязательно откладывать от начала координат, один можно нарисовать, например, слева внизу, а другой – справа вверху, и от этого ничего не изменится! Правда, делать так не нужно, поскольку преподаватель тоже проявит оригинальность и нарисует вам «зачтено» в неожиданном месте.

Векторы , иллюстрируют в точности правило умножения вектора на число, вектор сонаправлен с базисным вектором , вектор направлен противоположно по отношению к базисному вектору . У данных векторов одна из координат равна нулю, дотошно можно записать так:

А базисные векторы, к слову, так: (по сути, они выражаются сами через себя).

И, наконец: , . Кстати, что такое вычитание векторов, и почему я не рассказал о правиле вычитания? Где-то в линейной алгебре, уже не помню где, я отмечал, что вычитание – это частный случай сложения. Так, разложения векторов «дэ» и «е» преспокойно записываются в виде суммы: , . Проследите по чертежу, как чётко в этих ситуациях работает старое доброе сложение векторов по правилу треугольника.

Рассмотренное разложение вида иногда называют разложением вектора в системе орт (т.е. в системе единичных векторов). Но это не единственный способ записи вектора, распространён следующий вариант:

Или со знаком равенства:

Сами базисные векторы записываются так: и

То есть, в круглых скобках указываются координаты вектора. В практических задачах используются все три варианта записи.

Сомневался, говорить ли, но всё-таки скажу: координаты векторов переставлять нельзя. Строго на первом месте записываем координату, которая соответствует единичному вектору , строго на втором месте записываем координату, которая соответствует единичному вектору . Действительно, и – это ведь два разных вектора.

С координатами на плоскости разобрались. Теперь рассмотрим векторы в трехмерном пространстве, здесь практически всё так же! Только добавится ещё одна координата. Трехмерные чертежи выполнять тяжко, поэтому ограничусь одним вектором, который для простоты отложу от начала координат:

Перед вами ортонормированный базис трехмерного пространства и прямоугольная система координат, единичные векторы данного базиса попарно ортогональны: и . Ось наклонена под углом 45 градусов только для того, чтобы складывалось визуальное впечатление пространства. О том, как правильно выполнять плоские и трехмерные чертежи на клетчатой бумаге, читайте в самом начале методички Графики и свойства функций.

Любой вектор трехмерного пространства можно единственным способом разложить по ортонормированному базису :
, где – координаты вектора (числа) в данном базисе.

Пример с картинки: . Давайте посмотрим, как здесь работают правила действий с векторами. Во-первых, умножение вектора на число: (красная стрелка), (зеленая стрелка) и (малиновая стрелка). Во-вторых, перед вами пример сложения нескольких, в данном случае трёх, векторов: . Вектор суммы начинается в исходной точке отправления (начало вектора ) и утыкается в итоговую точку прибытия (конец вектора ).

Все векторы трехмерного пространства, естественно, тоже свободны, попробуйте мысленно отложить вектор от любой другой точки, и вы поймёте, что его разложение «останется при нём».

Аналогично плоскому случаю, помимо записи широко используются версии со скобками: либо .

Если в разложении отсутствует один (или два) координатных вектора, то вместо них ставятся нули. Примеры:
вектор (дотошно ) – запишем ;
вектор (дотошно ) – запишем ;
вектор (дотошно ) – запишем .

Базисные векторы записываются следующим образом:

Вот, пожалуй, и все минимальные теоретические знания, необходимые для решения задач аналитической геометрии. Возможно многовато терминов и определений, поэтому чайникам рекомендую перечитать и осмыслить данную информацию ещё раз. Да и любому читателю будет полезно время от времени обращаться к базовому уроку для лучшего усвоения материала. Коллинеарность, ортогональность, ортонормированный базис, разложение вектора – эти и другие понятия будут часто использоваться в дальнейшем. Отмечу, что материалов сайта недостаточно для сдачи теоретического зачета, коллоквиума по геометрии, так как все теоремы (к тому же без доказательств) я аккуратно шифрую – в ущерб научному стилю изложения, но плюсом к вашему пониманию предмета. Для получения обстоятельной теоретической справки прошу следовать на поклон к профессору Атанасяну.

А мы переходим к практической части:

Простейшие задачи аналитической геометрии.
Действия с векторами в координатах

Задания, которые будут рассмотрены, крайне желательно научиться решать на полном автомате, а формулы запомнить наизусть, даже специально не запоминать, сами запомнятся =) Это весьма важно, поскольку на простейших элементарных примерах базируются другие задачи аналитической геометрии, и будет досадно тратить дополнительное время на поедание пешек. Не нужно застёгивать верхние пуговицы на рубашке, многие вещи знакомы вам со школы.

Изложение материала пойдет параллельным курсом – и для плоскости, и для пространства. По той причине, что все формулы… сами увидите.

Как найти вектор по двум точкам?

Если даны две точки плоскости и , то вектор имеет следующие координаты:

Если даны две точки пространства и , то вектор имеет следующие координаты:

То есть, из координат конца вектора нужно вычесть соответствующие координаты начала вектора.

Задание: Для тех же точек запишите формулы нахождения координат вектора . Формулы в конце урока.

Даны две точки плоскости и . Найти координаты вектора

Решение: по соответствующей формуле:

Как вариант, можно было использовать следующую запись:

Эстеты решат и так:

Лично я привык к первой версии записи.

Ответ:

По условию не требовалось строить чертежа (что характерно для задач аналитической геометрии), но в целях пояснения некоторых моментов чайникам, не поленюсь:

Обязательно нужно понимать различие между координатами точек и координатами векторов:

Координаты точек – это обычные координаты в прямоугольной системе координат. Откладывать точки на координатной плоскости, думаю, все умеют ещё с 5-6 класса. Каждая точка обладает строгим местом на плоскости, и перемещать их куда-либо нельзя.

Координаты же вектора – это его разложение по базису , в данном случае . Любой вектор является свободным, поэтому при желании или необходимости мы легко можем отложить его от какой-нибудь другой точки плоскости (во избежание путаницы переобозначив, например, через ). Интересно, что для векторов можно вообще не строить оси, прямоугольную систему координат, нужен лишь базис, в данном случае ортонормированный базис плоскости .

Записи координат точек и координат векторов вроде бы схожи: , а смысл координат абсолютно разный, и вам следует хорошо понимать эту разницу. Данное отличие, разумеется, справедливо и для пространства.

Дамы и господа, набиваем руку:

а) Даны точки и . Найти векторы и .
б) Даны точки и . Найти векторы и .
в) Даны точки и . Найти векторы и .
г) Даны точки . Найти векторы .

Пожалуй, достаточно. Это примеры для самостоятельного решения, постарайтесь ими не пренебрегать, окупится ;-). Чертежи делать не нужно. Решения и ответы в конце урока.

Что важно при решении задач аналитической геометрии? Важно быть ПРЕДЕЛЬНО ВНИМАТЕЛЬНЫМ, чтобы не допустить мастерскую ошибку «два плюс два равно нулю». Сразу извиняюсь, если где ошибся =)

Как найти длину отрезка?

Длина, как уже отмечалось, обозначается знаком модуля.

Если даны две точки плоскости и , то длину отрезка можно вычислить по формуле

Если даны две точки пространства и , то длину отрезка можно вычислить по формуле

Примечание: Формулы останутся корректными, если переставить местами соответствующие координаты: и , но более стандартен первый вариант

Даны точки и . Найти длину отрезка .

Решение: по соответствующей формуле:

Ответ:

Для наглядности выполню чертёж

Отрезок – это не вектор, и перемещать его куда-либо, конечно, нельзя. Кроме того, если вы выполните чертеж в масштабе: 1 ед. = 1 см (две тетрадные клетки), то полученный ответ можно проверить обычной линейкой, непосредственно измерив длину отрезка.

Да, решение короткое, но в нём есть ещё пара важных моментов, которые хотелось бы пояснить:

Во-первых, в ответе ставим размерность: «единицы». В условии не сказано, ЧТО это, миллиметры, сантиметры, метры или километры. Поэтому математически грамотным решением будет общая формулировка: «единицы» – сокращенно «ед.».

Во-вторых, повторим школьный материал, который полезен не только для рассмотренной задачи:

Обратите внимание на важный технический приём – вынесение множителя из-под корня. В результате вычислений у нас получился результат и хороший математический стиль предполагает вынесение множителя из-под корня (если это возможно). Подробнее процесс выглядит так: . Конечно, оставить ответ в виде не будет ошибкой – но недочетом-то уж точно и весомым аргументом для придирки со стороны преподавателя.

Вот другие распространенные случаи:

Нередко под корнем получается достаточно большое число, например . Как быть в таких случаях? На калькуляторе проверяем, делится ли число на 4: . Да, разделилось нацело, таким образом: . А может быть, число ещё раз удастся разделить на 4? . Таким образом: . У числа последняя цифра нечетная, поэтому разделить в третий раз на 4 явно не удастся. Пробуем поделить на девять: . В результате:
Готово.

Вывод: если под корнем получается неизвлекаемое нацело число, то пытаемся вынести множитель из-под корня – на калькуляторе проверяем, делится ли число на: 4, 9, 16, 25, 36, 49 и т.д.

В ходе решения различных задач корни встречаются часто, всегда пытайтесь извлекать множители из-под корня во избежание более низкой оценки да ненужных заморочек с доработкой ваших решений по замечанию преподавателя.

Давайте заодно повторим возведение корней в квадрат и другие степени:

Правила действий со степенями в общем виде можно найти в школьном учебнике по алгебре, но, думаю, из приведённых примеров всё или почти всё уже ясно.

Задание для самостоятельного решения с отрезком в пространстве:

Даны точки и . Найти длину отрезка .

Решение и ответ в конце урока.

Как найти длину вектора?

Если дан вектор плоскости , то его длина вычисляется по формуле .

Если дан вектор пространства , то его длина вычисляется по формуле .

Данные формулы (как и формулы длины отрезка) легко выводятся с помощью небезызвестной теоремы Пифагора.

Даны точки и . Найти длину вектора .

Я взял те же точки, что и в Примере 3.

Решение: Сначала найдём вектор :

По формуле вычислим длину вектора:

Ответ:

Не забываем указывать размерность – «единицы»! Всегда ли, кстати, нужно рассчитывать приближенное значение (в данном примере 8,94), если этого не требуется в условии? С моей точки зрения, лишним не будет, отсутствие приближенного значения тянет на придирку. Округление целесообразно проводить до 2-3 знаков после запятой.

Выполним чертеж к задаче:

В чём принципиальное отличие от Примера 3? Отличие состоит в том, что здесь речь идёт о векторе, а не об отрезке. Вектор можно переместить в любую точку плоскости, при этом его лучше переобозначить, например, через .

А в чём сходство Примера 3 и Примера 5? Геометрически очевидно, что длина отрезка равна длине вектора . Так же очевидно, что длина вектора будет такой же. По итогу:

Задачу 3 можно было решить и вторым способом, повторю условие: Даны точки и . Найти длину отрезка .

Вместо применения формулы , поступаем так:
1) Находим вектор .
2) А теперь ссылаемся на то, что длина отрезка равна длине вектора :

Этот способ широко практикуется в ходе решений задач аналитической геометрии.

Вышесказанное справедливо и для пространственного случая

а) Даны точки и . Найти длину вектора .
б) Даны векторы , , и . Найти их длины.

Решения и ответы в конце урока.

Действия с векторами в координатах

В первой части урока мы рассматривали правила сложения векторов и умножения вектора на число. Но рассматривали их с принципиально-графической точки зрения. Посмотрим, как данные правила работают аналитически – когда заданы координаты векторов:

1) Правило сложения векторов. Рассмотрим два вектора плоскости и . Для того, чтобы сложить векторы, нужно сложить их соответствующие координаты: . Как просто. На всякий случай запишу частный случай – формулу разности векторов: . Аналогичное правило справедливо для суммы любого количества векторов, добавим например, вектор и найдём сумму трёх векторов:

Если речь идёт о векторах в пространстве, то всё точно так же, только добавится дополнительная координата. Если даны векторы , то их суммой является вектор .

2) Правило умножения вектора на число. Ещё проще! Для того чтобы вектор умножить на число , нужно каждую координату данного вектора умножить на число :
.

Для пространственного вектора правило такое же:

Приведённые факты строго доказываются в курсе аналитической геометрии.

Примечание: Данные правила справедливы не только для ортонормированных базисов , но и для произвольного аффинного базиса плоскости или пространства. Более подробно о базисах читайте в статье Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов.

Даны векторы и . Найти и

Решение чисто аналитическое:

Ответ:

Чертеж в подобных задачах строить не надо, тем не менее, геометрическая демонстрация будет весьма полезной. Если считать, что векторы заданы в ортонормированном базисе , то графическое решение задачи будет таким:

Коль скоро речь идет только о векторах в ортонормированном базисе, то оси рисовать не обязательно. Достаточно начертить базисные векторы, причём, где угодно. Ну, и координатную сетку для удобства. Строго говоря, ранее я допустил небольшой огрех – в некоторых чертежах урока тоже можно было не чертить декартову прямоугольную систему координат. Векторам она не нужна, им нужен базис. Впрочем, лучше всегда рисуйте, а то напугаете всех своими знаниями =)

Как видите, графический способ решения привёл к тем же результатам, что и аналитический способ решения. Ещё раз заметьте свободу векторов: любую из трёх «конструкций» можно переместить в любую точку плоскости.

Для векторов в пространстве можно провести аналогичные выкладки. Но там чертежи строить значительно сложнее, поэтому ограничусь аналитическим решением (на практике, собственно, бОльшего и не надо):

Даны векторы и . Найти и

Решение: Для действий с векторами справедлив обычный алгебраический приоритет: сначала умножаем, потом складываем:

Ответ:

И в заключение занятный пример с векторами на плоскости:

Даны векторы . Найти и

Это задача для самостоятельного решения.

Какой вывод? Многие задачи аналитической геометрии прозрачны и просты, главное, не допустить вычислительных ошибок. Следующие рекомендуемые к изучению уроки:

Это, так скажем, вектор-минимум студента =)

Любите векторы, и векторы полюбят вас!

Решения и ответы:

Пример 4: Решение:
По соответствующей формуле: и

Ответ:

Пример 6: и
а) Решение: найдём вектор :

Вычислим длину вектора:

Ответ:

б) Решение:
Вычислим длины векторов:

Пример 9: Решение:

Примечание: Перед выполнением действий можно предварительно раскрыть скобки:

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Contented.ru – онлайн школа дизайна

SkillFactory – получи востребованную IT профессию!

Как выражать векторы через другие векторы?

Пробывал выразить через сумму/разность векторов AB и AD, вектор OP, но безрезультатно.

Как вариант решения:

Точка P распологается на векторе AD, следовательно:
AD = AP + PD.

Вектор BC равен вектору AD, как сторона параллелогамма, отсюда:
AD = CO + OB

Вектор AB = CD как сторона параллелограмма.

Вектор OP исходя из этого может быть выражен через сумму векторов:
OP = PD + DC + CO

Метод координат

Заметим, что если два вектора a и b коллинеарны, то обязательно найдется такое число k, для которого будет справедливо равенство:

Длина а составляет 6 клеток, а длина b – 9 клеток, при этом они сонаправлены. Получается, что b длиннее a в 9/6 = 1,5 раза, а потому можно записать:

Мы смогли выразить b через а. Иначе можно сказать, что мы разложили вектор b по вектору a. Можно и наоборот, выразить b через a:

Теперь посмотрим на вектора с и d. Их длины составляют 4 и 8 клеток, то есть отличаются в 2 раза, при этом они противоположно направлены. Поэтому эти вектора можно выразить так:

Обратите внимание, что выразить, например, а через с не удастся. Действительно, предположим, что есть такое число k, что

Тогда, по определению операции умножения вектора на число, вектора а и c должны быть коллинеарными, но они таковыми не являются.

Вектор можно раскладывать не на один, а на два вектора, которые ему не коллинеарны. Покажем это на примере:

Здесь вектора р, а и b не коллинеарны, при этом р выражен через а и b:

В данном случае говорят, что р разложен на вектора а и b, а числа 2 и 4 именуют коэффициентами разложения.

Верно следующее утверждение:

Продемонстрируем, как можно осуществить такое разложение. Пусть заданы вектора с, а и b, и требуется разложить c на а и b:

На первом шаге просто отложим все три вектора от одной точки. Далее построим прямые, проходящие через вектора а и b:

Далее через конец вектора с проведем прямые, параллельные построенным на предыдущем шаге прямым. В результате у нас получится некоторый параллелограмм АВСD:

Заметим, что вектор с оказался диагональю в этом параллелограмме. Тогда, согласно правилу параллелограмма, можно записать:

Ясно, что вектора АВ и b коллинеарны, так как лежат на одной и той же прямой. Тогда найдется такое число k, для которого будет верно отношение:

Конкретно в данном случае видно по рисунку, что АВ вдвое длиннее вектора b, поэтому

Аналогично коллинеарными являются вектора а и АD, поэтому существует число m, при котором справедливо равенство:

Понятно, что числа k и m определяются единственным образом. В общем случае они могут быть не только целыми, но и дробными (в том числе иррациональными) и даже отрицательными числами. Проще говоря, они могут быть любыми действительными числами.

Задание. Найдите коэффициенты разложения вектора d на вектора e и f:

Решение. Отложим все три вектора от одной точки. Далее проведем прямые, на которых лежат вектора e и f:

Теперь через конец d проводим ещё две прямые, параллельные двум уже построенным прямым, и в результате получаем параллелограмм:

Вектор d можно представить в виде суммы:

Особняком стоит случай, когда раскладываемый вектор коллинеарен одному из тех векторов, на которые он раскладывается. В этом случае один из коэффициентов разложения оказывается равным нулю. Например, пусть с надо разложить на а и b:

Строить параллелограмм в данном случае не нужно. Так как а и с коллинеарны, то найдется некоторое число k, при котором будет выполняться равенство:

Координаты векторов

Из курса алгебры нам известна прямоугольная система координат. В ней есть оси Ох и Оу, а каждая отмеченная на плоскости точка имеет свои координаты:

Естественно, что на координатной плоскости можно отметить и вектора. Построим два вектора, которые начинаются в начале координат, имеют длину, равную единице, и направление которых совпадает с направлениями осей координат. Тот вектор, который лежит на оси Ох, обозначают буквой i, а тот, который лежит на оси Оу, обозначают как j.

Эти вектора называют единичными векторами, или ортами (ещё используется термин координатный вектор). Они не коллинеарны друг другу, а это означает, что любой вектор на плоскости можно разложить на единичные вектора. Коэффициенты такого разложения как раз и являются координатами вектора.

Посмотрим на примере, как находить координаты вектора. Пусть задан вектор а:

Нам надо разложить а по векторам i и j. Для этого их следует отложить от одной точки. Удобно перенести вектор а к началу координат:

Теперь надо через конец а провести прямые, параллельные векторам iи j. В результате получится прямоугольник АВСD:

Можно записать равенство:

Значит, и координаты данного вектора – это числа 3 и 2. Записывается это так:

Обратите внимание, что порядок чисел в скобках принципиально важен. Первое число – это коэффициент разложения, стоящий перед вектором i. Эту координату можно называть координатой х (по аналогии с координатами точек). Второе число – это коэффициент при векторе j, оно является координатой у. Также заметим очевидный факт, что координаты равных векторов одинаковы.

В приведенном выше примере легко заметить, что после того, как мы перенесли вектор в начало координат, координаты его конца (он обозначен точкой С) совпали с координатами самого вектора. Действительно, точка С имеет координаты (3; 2).

Это правильно несколько упрощает определение координат вектора. Достаточно просто отложить вектор от точки начала координат, после чего посмотреть на координаты его конечной точки. Отметим, что вектор, чье начало совпадает с началом координат, имеет особое название – радиус-вектор.

Задание. Определите координаты векторов a, b, c и d, отмеченных на рисунке:

Решение. Во всех случаях будем просто переносить вектора к началу координат, получая радиус вектора. Далее будем просто смотреть, каковы координаты конца радиус-вектора. Начнем с а:

После переноса а его конец оказался в точке А(4; 3), поэтому и координаты всего вектора можно записать так:

После переноса вершина радиус-вектора попала в точку B (1; – 3), поэтому вектор имеет координаты <1; – 3>.

Выполним построение и для с:

Конец вектора попал в точку С (3,5; 0), а потому и координаты вектора составляют <3,5; 0>.

Осталось рассмотреть d:

Здесь координаты вектора будут равны <– 2,5; – 2,5>, так как такие же координаты имеет точка D.

Рассмотрим решение обратной задачи, в которой необходимо построить вектор по заранее заданным координатам.

Задание. Даны координаты вектора:

Постройте по три вектора, имеющие заданные координаты.

Решение. Проще всего построить радиус-вектор, вершина которого будет иметь те же координаты, что и требуемый вектор:

Чтобы построить ещё два вектора с такими же координатами, надо просто отложить уже построенный вектор от любых других точек:

Аналогично поступаем и во второй задаче – сначала откладываем радиус-вектор с заданными координатами, а потом добавляем ещё два равных ему вектора, отложенных от других точек:

Отдельно отметим нулевой вектор. Очевидно, что все его координаты равны нулю, так как для него можно записать такое разложение на орты:

Также можно сказать, что если отложить нулевой вектор от начала координат, то его конец также будет находиться в начале координат (так как у нулевого вектора начало и конец совпадают), то есть в точке с координатами (0; 0).

Сложение и вычитание векторов

Пусть у нас есть векторы a1; у₁> и b2; у₂>. Можно ли, зная только их координаты, определить их сумму и разность? Оказывается, можно. Действительно, по определению координат векторов (напомним, они являются коэффициентами разложения вектора на орты) можно записать:

Эта запись означает, что с имеет координаты <х₁ + х₂; у₁ + у₂>. В результате мы можем сформулировать правило сложения векторов:

Проиллюстрируем правило на примере. Пусть надо сложить вектора а <2; 3>и b <4; 5>. Понятно, что в результате получится новый вектор, который мы обозначим как с <х; у>. Чтобы найти его первую координату, надо сложить первые координаты векторов a и b:

Для нахождения второй координаты складываем соответственно вторые координаты векторов:

В итоге получился вектор с <6; 8>.

Задание. Сложите вектора, имеющие координаты:

Решение. Сначала просто складываем первые числа в скобках (и получаем координату х), а потом – вторые (и получаем координату у):

Теперь попытаемся понять, как вычислять разность двух векторов. Пусть есть вектора с заранее заданными координатами a1; у₁> и b2; у₂>. Снова запишем их разложение на единичные вектора:

Теперь мы можем сформулировать правило вычитания векторов:

Например, пусть надо вычесть из вектора а <5; 3>вектор b<2;1>. Искомая разность будет представлять собой вектор, чья координата х будет равна разности первых координат векторов а и b:

Аналогично вычисляем и координату у:

В итоге получили вектор с координатами <3; 2>.

Задание. Вычтите из вектора а вектор b, если известны их координаты:

Решение. Во всех случаях мы сначала из первой координаты вектора а вычитаем первую координату b, в результате чего получаем координату х искомого вектора. Далее повторяем процесс со второй координатой (то есть с у):

Далее рассмотрим такую операцию, как умножение вектора на число. Снова запишем, что вектор а с координатами х₁и у₁ можно разложить на орты следующим образом:

Это означает, что при умножении вектора на число надо просто умножить на это число каждую его координату.

Например, есть вектор а<3; 7>, который надо умножить на 5. Умножим на 5 по отдельности каждую координату:

В результате получился вектор <15; 35>.

Задание. Умножьте вектор а на число k, если известно, что:

Решение. Надо всего лишь умножить каждую координату а на число k, и таким образом получить новые координаты:

Признак коллинеарности векторов

Напомним, что если два вектора (обозначим их как a и b) коллинеарны, то обязательно существует такое число k, что

Из равенства (1) и рассмотренного нами правила умножения вектора на число вытекают два соотношения между этими координатами:

Если числа х₂ и у₂ не равны нулю, то можно выразить из каждого уравнения число k, после чего выражения можно будет приравнять:

Получили соотношение, которое можно считать свойством коллинеарных векторов. Это правило работает и в обратную сторону – если координаты векторов удовлетворяют выведенному отношению, то можно смело утверждать, что вектора – коллинеарны.

Примечание. Формулировка «тогда и только тогда» означает, что правило действует в обе стороны – из пропорциональности координат следует коллинеарность векторов, а из коллинеарности векторов следует пропорциональность координат.

Покажем, как пользоваться этим признаком коллинеарности векторов. Пусть вектор а имеет координаты <8; 5>, а у вектора b они равны <24; 15>. Нам надо определить, коллинеарны ли они. Для этого поделим друг на друга их координаты х:

Получили число 3. Далее поделим и координаты у:

Снова получили тройку. То, что в обоих случаях получилось одно и тоже число, указывает на то, что вектора коллинеарны. Более того, можно даже записать, что вектор b втрое больше a:

В данном примере мы делили координаты второго вектора b на координаты первого вектора a. Но можно было поступить и наоборот, делить координаты а на координаты b:

Естественно, снова получилось одинаковое число.

Особняком стоит случай, когда одна из координат вектора равна нулю. Например, пусть вектор имеет координаты <0; у₁>, причем у₁≠ 0. Любой коллинеарный ему вектор можно получить, умножив вектор на какое-то число k. В этом случае его координаты 2; у₂> составят:

Получается, что и у коллинеарного вектора координата х обязательно будет равняться нулю. В свою очередь координаты у₂ и у₁ могут быть любыми, ведь мы всегда можем найти такое число k, для которого будет выполняться условие

Например, есть вектор <0; 5>. Можно сказать, что ему будет коллинеарен любой вектор, у которого первая координата также равна нулю, в частности,

Но любой вектор, у которого координата х НЕ равна нулю, НЕ будет коллинеарен вектору <0; 5>. В частности, ему не будут коллинеарны вектора:

Аналогичная логика действует и тогда, когда нулю равна не координата х, а координата у.

Если же у вектора обе координаты равны нулю, то он является нулевым вектором, то есть точкой. Напомним, что такой вектор считается коллинеарным любому другому вектору.

Задание. Определите, являются ли коллинеарными два вектора, если их координаты равны:

Решение. В первых пяти случаях все координаты – ненулевые, а поэтому надо просто проверить их пропорциональность. Для этого надо делить координаты друг на друга:

Числа различны, поэтому вектора НЕ коллинеарны.

В следующих примерах как минимум одна из координат равна нулю, поэтому делить координаты уже не нужно.

У обоих векторов координаты х нулевые, этого достаточно, чтобы утверждать, что они коллинеарны.

У первого вектора координата х – нулевая, в то время как у второго нет. Значит, они не коллинеарны.

У первого вектора координата х – нулевая, в то время как у второго нет. Значит, они не коллинеарны.

Здесь у первого вектора нулю равна координата х, а у второго она ненулевая, поэтому вектора не коллинеарны.

Здесь имеет место особый случай, ведь первый вектор – нулевой, то есть представляющий собой точку. Считается, что он коллинеарен любому вектору, поэтому в данном примере вектора коллинеарны.

Ответ: а) да; б) нет; в) да; г) да; д) нет; е) да; ж) нет; з) да; и) нет; к) да.

Пока что мы рассматривали задачи, в которых фигурируют только вектора. Однако в будущем мы научимся с помощью метода координат решать и другие задачи, в которых рассматриваются отрезки, треугольники, окружности и прочие геометрические фигуры.