Как выглядит сфера в 4 мерном пространстве

Что такое четырехмерное пространство?

Представление мира в различных измерениях меняет то, как мы воспринимаем все вокруг, включая время и пространство. Думать о разнице между двумя измерениями и тремя измерениями легко, но что насчет четвертого? Важно понимать, что имеют в виду ученые и другие исследователи, когда говорят о различных измерениях: наш мир имеет три пространственных измерения: ширину, глубину и высоту, а четвертым измерением может быть время. Ученые много лет проводят исследования в попытках выяснить что же такое четвертое пространственное измерение, однако по причине того, что наблюдать четвертое измерение мы не можем, доказательства его существования найти очень трудно.

Моделирование движения камеры в четырёхмерном пространстве.

Сколько существует измерений?

Чтобы лучше понимать, на что может быть похоже четвертое измерение, давайте поближе посмотрим на то, что именно делает три измерения трехмерными, и, следуя этим идеям, подумаем о том, что такое четвертое измерение. Итак, длина, ширина и высота составляют три измерения наблюдаемого мира. Все три измерения мы можем наблюдать благодаря эмпирическим данным, а также органами чувств – такими как зрение и слух.

Определить положение точек и направления векторов в трехмерном пространстве можно вдоль опорной точки. Проще всего представить себе трехмерное пространство как трехмерный куб с тремя пространственными осями, которые определяют ширину, высоту и длину куба. Оси движутся вперед и назад, вверх и вниз, влево и вправо вместе со временем – измерением, которое мы непосредственно не наблюдаем, но воспринимаем. При сравнении 3D и 4D, учитывая наблюдения трехмерного пространственного мира, четырехмерный куб будет Тессерактом – объектом, который движется в трех измерениях, которые мы и воспринимаем и в четвертом, которое е можем наблюдать.

Четырехмерный куб (тессеракт) выглядит так

Еще больше статей о последних открытиях в области теоретической физики и высоких технологий читайте на нашем канале в Яндекс.Дзен. Там регулярно выходят статьи, которых нет на сайте.

Четырехмерные объекты и тени

Как пишет Sciencing.com, поскольку трехмерные существа отбрасывают тень на двумерную поверхность Куба, это привело исследователей к предположению о том, что четырехмерные объекты отбрасывают трехмерную тень. Вот почему можно наблюдать «тень» в трех пространственных измерениях, даже если непосредственно наблюдать четыре измерения нельзя.

Математик Генри Сегерман из университета штата Оклахома создал и описал свои собственные 4-мерные скульптуры. Точно так же, как трехмерный объект отбрасывает двумерную тень, Сегерман утверждал, что его скульптуры являются трехмерными тенями четвертого измерения. Хотя эти примеры теней не дают прямых способов наблюдения четвертого измерения, они являются хорошим индикатором того, как думать о четвертом измерении.

Фигуры математика Генри Сегермана выглядят так

Математики часто приводят аналогию с муравьем, идущим по листу бумаги, описывая границы восприятия относительно измерений. Муравей, идущий по поверхности бумаги, может воспринимать только два измерения, но это не значит, что третьего измерения не существует. Это просто означает, что муравей может непосредственно видеть только два измерения и выводить третье измерение через рассуждения об этих двух измерениях. Точно так же люди могут размышлять о природе четвертого измерения, не воспринимая его непосредственно.

Четырехмерный куб Тессеракт – это один из примеров того, как трехмерный мир, описываемый x, y и z, может расширяться в четвертый. Математики, физики и другие ученые могут представлять векторы в четвертом измерении, используя четырехмерный вектор, который включает в себя другие переменные, такие как w. Геометрия объектов в четвертом измерении более сложна, так как включает в себя 4-многогранники, которые являются четырехмерными фигурами. Эти объекты показывают разницу между 3D и 4D изображениями.

Существует ли жизнь в четвертом измерении?

То, как выглядели бы существа или жизнь в четырех измерениях, занимало ученых и других специалистов на протяжении десятилетий. В рассказе писателя Роберта Хайнлайна 1940 года «Дом который построил Тим» речь шла о постройке здания в форме Тессеракта. Писатель Клифф Пиковер представлял себе четырехмерных существ как «воздушные шары телесного цвета, постоянно меняющиеся в размерах. Эти существа будут казаться вам разрозненными кусками плоти, точно так же, как двумерный мир позволяет вам видеть только поперечные сечения и остатки мира трехмерного.»

Кадр из мультсериала «Футурама», 15 серия 7 сезона. Перед вами герои в 2D

Четырехмерная форма жизни может видеть вас изнутри точно так же, как трехмерное существо может видеть двумерное со всех сторон.

Джон Нортон из Отдела истории и философии науки Питтсбургского университета считает, что можно прийти к пониманию природы четвертого измерения, задавая вопросы о том, что делает одно -, двух — и трехмерные объекты и явления такими, какие они есть, экстраполируя их в четвертое измерение. Существо, живущее в четвертом измерении, может обладать таким «стереовидением», описанным Нортоном, чтобы визуализировать четырехмерные образы, не будучи стесненным тремя измерениями.

Однако точно ответить на вопрос о том, существуют ли 4D существа сегодня не может никто. Я полагаю, что даже концепция 4D-пространства ожесточенно обсуждается в физических лабораториях, хотя некоторые теории, такие как Теория струн и М-теория, используют существование нескольких измерений для объяснения нашей Вселенной. Важно также отметить, что биологически 4d жизнь не может существовать. А что вы думаете по этому поводу? Присоединятйесь к обсуждению этой темы в комментариях, а также с участниками нашего Telegram чата.

Как легко понять четырехмерное пространство (17 фото)

Из моего опыта вживую, надо начать с 2-х мерного пространства, подготовить мозг. Поэтому берем несчастных 2-мерных существ, живущих в 2-мерном мире, на плоскости. В Плоском мире )) Как им понять наш трехмерный мир? А очень просто.

Вот это — квадрат, фигура, хорошо знакомая плоскостникам.

А вот фигура, несколько странная и непонятная плоскостникам

Мы с вами, жители трехмерного мира, легко узнаем в ней куб, составленный из квадратов. Хотя бы еще не выходили из плоскости, но мы, трехмерники, ясно понимаем: куб, че тут еще думать )))

Однако жители двумерного мира, не умеющие мыслить как мы, тремя измерениями, видят в ней другие фигуры, с их точки зрения:

Из коих только 1 и 2 — квадраты, а остальные — нечто перекошенное. С некоторой натяжкой плоскостники могут сказать, что фигуры 3, 4, 5 и 6 — это перекошенные квадратики. Вот это важный момент.

Это переход от двумерного мышления — к нашему трехмерному. Что вы видите на следующей картинке? Там разные фигуры — или все одни и те же, квадратики, просто в разных проекциях?

Мы, трехмерники, спокойно можем сказать, что это все — квадраты. И плоскостник, умеющий мыслить на одно измерение больше — может сказать то же самое. Что это проекции квадратов в его плоское измерение. Хотя все его двумерные сотоварищи будут видеть трапеции и только два квадрата.

Все, закончили с плоскостниками, возвращаемся в наше, трехмерное измерение.

Обычный куб я вам показывать не буду, покажу сразу: 4-х мерный куб )) Он еще носит название «тессеракт» или «гиперкуб». Это вот такая штука:

Чтобы легче его представить, вот он в других разных видах:

Представьте, что вы такое держите в руках. Я делал такие штуки из разных материалов, это не сложно

Что вы здесь видите? Кубик, к которому присоединены шесть призм? Ну, это если мы будем думать по нашему, по трехмерному. А если думать по четырехмерному, на одно измерение больше, то это 8 (восемь) кубов!

Восемь кубиков, соединенных гранями. Просто шесть из них искажены в призмы, так как наше пространство 3-мерное, а этот объект — 4-мерный. Тессеракт это 4-мерный куб. Гиперкуб. Все просто )))

Вернемся на секунду к плоскому миру, с меньшим числом измерений, чем у нас.

С точки зрения двумерников (у них всего 2 измерения), это разные фигуры. А с нашей трехмерной точки зрения ( 2+1 = 3 измерения) это все одна и та же фигура: квадрат, которую мы видим под разными углами.

И двухмерник тоже может понять, что это трехмерный квадрат, который он видит под разными углами. А вот это — трехмерный куб, который двумерник видит частично искаженным.

Ну вот и славненько. А если взять наше измерение, то становится понятно, что вот это — четырехмерный гиперкуб. Просто мы его видим частично искаженным.

Это восемь кубов, соединенных гранями. Сторонами. И если посмотреть на них с другой проекции, то можно увидеть КАЖДЫЙ куб. Просто нужно вращать тессеракт в 4-м измерении.

По счастью, народ наделал много гифок, в которых именно это и показывает. Что меняя 4-х мерную перспективу, можно видеть ВСЕ кубы. Но в нашем трехмерном мире — только по-очередно.

И квадраты тоже можно видеть все. Ведь куб состоит из квадратов, и тессеракт — тоже.

Наш, трехмерный куб — можно развернуть в двумерные квадраты.

И точно так же 4-х мерный тессеракт (он же гиперкуб) можно развернуть в наши 3-мерные кубы.

Стройте себе тессеракт на 3D принтерах, из спичек, зубочисток и пластилина, паяйте из проволоки, смотрите — и прорывайтесь в четвертое измерение!

Кстати. А существуют ли другие четырехмерные фигуры? Да. Вот это, например, 4-мерная равносторонняя гиперпирамида, если я не ошибаюсь.

Принципе тот же: взяли наши обычные пирамидки, исказили в 4-мерной проекции, соединили гранями.

VI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум — 2014

В настоящей работе дается представление четырехмерного шара в четырехмерном пространстве с помощью его трехмерных сечений. Для объяснения трудностей, связанных с восприятием объектов четырёхмерного пространства, используется метод, который основан на рассмотрении пространств с более низкой размерностью. Актуальность данного подхода заключается в том, что он позволяет понять строение геометрических образов четырехмерного пространства, а также способствует развитию пространственного и абстрактного мышления. Данная работа представляет интерес для учащихся старших классов, студентов факультетов математических и естественных наук, а также учителей математики. Она излагается наглядным методом, без использования формул, на основе лишь школьного курса геометрии.

В научной и популярной литературе, в средствах массовой информации, часто упоминаются многомерные пространства и объекты. Существуют различные теории о многомерности нашей Вселенной. Человеку свойственно геометрические объекты представлять в наглядной форме. Поэтому многие, услышав словосочетание «четырёхмерный шар», сразу же пытаются наглядно представить его в своём воображении. Мы хорошо представляем двумерный шар (это круг, лежащий на плоскости), трёхмерный шар – объект, который часто встречается в нашей жизни. Но в четырёхмерном случае, мы никак не можем построить в нашем воображении геометрический образ четырёхмерного шара. Это связано с появлением четвёртого, недоступного для нас, измерения.

Формирование на интуитивном уровне понятного читателю представления о геометрическом образе четырёхмерного шара является целью нашей работы. В ней не используются строгие определения, математические формулы. Все используемые понятия, термины понимаются только интуитивно. Весь материал излагается в популярной форме.

Актуальность работы состоит в том, что она позволяет понять строение геометрических образов четырехмерного пространства, а также способствует развитию пространственного и абстрактного мышления и представляет интерес для учащихся старших классов, студентов факультетов математических и естественных наук, а также учителей математики.

Необычная особенность четырехмерного пространства.

а) Прямая в четырёхмерном пространстве пересекает трёхмерный шар только в одной внутренней точке.

б) Прямая на плоскости пересекает двумерный шар по отрезку.

с) Прямая, расположенная в пространстве, пересекает двумерный шар только в одной точке.

Четырехмерное пространство в некоторой степени является необычным пространством. Мы знаем, что в трёхмерном пространстве прямая линия пересекает ограниченный трёхмерный выпуклый объём (например, шар) по отрезку. Исключение составляет случай, когда прямая линия касается данного объекта. В четырехмерном пространстве всё может происходить иначе. Прямая линия может «пронзить» трёхмерный шар насквозь, задев только одну внутреннюю точку, не потревожив её окружение (рис. 1, а)). Это делает возможным для четырёхмерного человека (если бы он существовал) забрать все наши вещи из сумки, не раскрывая и не разрезая её, что кажется очень необычным и необъяснимым. Чтобы понять это, рассмотрим двумерное пространство (двумерное пространство – это плоскость, вложенная в трёхмерное пространство). Прямая на плоскости будет пересекать круг, расположенный в плоскости по отрезку, а прямая пространства, лежащая вне плоскости, пересечёт круг только в одной точке (рис. 1, б), с)).

Чтобы эпизод пропажи вещей из сумки был более понятным, нарисуем на доске двумерного человека, нарисуем его почки, камень в почке. Затем возьмём в руки тряпку и аккуратно, не задевая почки двумерного человека, сотрём камень (рис. 2). Теперь можем поздравить самого себя с тем, что мы только что успешно произвели операцию по удалению камня из почки без использования разрезов, и что наш пациент здоров. То, что неподвластно двумерному хирургу, оказалось простым делом для обычного трёхмерного человека.

Далее мы будем пользоваться данным приемом, связанным с переходом на размерность ниже для объяснения трудностей, связанных с восприятием объектов, находящихся в четырёхмерном пространстве. Трудности восприятия двумерного человека, когда он пытается понять трёхмерный мир, аналогичны нашим при восприятии четырёхмерного пространства, так как они связаны в обоих случаях появлением нового недоступного измерения.

Взаимное расположение трёхмерных пространств в четырёхмерном пространстве.

Два трёхмерных пространства могут пересекаться или быть параллельными в четырёхмерном пространстве.

Рассмотрим случай, когда они пересекаются.

Два трёхмерных пространства пересекаются в четырёхмерном пространстве по плоскости.

Если две плоскости x и y пересекаются по прямой l (рис. 4), то трёхмерные пространства P и Q пересекаются по плоскости α (рис. 3). Для двумерного человека прямая l (если она непрозрачна) будет стеной, разделившей его мир на две части. А полуплоскости y₁ и y₂ для него не существуют, так как находятся в недоступном для него, третьем измерении. Для трёхмерного человека такой стеной, разбивающей всё пространство на две части, будет плоскость α (рис. 3).

Далее, рассмотрим две пересекающиеся плоскости x и y, по одной из которых катится двумерный мяч (рис. 4).

Двумерный человек видит только точку касания круга с его плоскостью.

Заметим, что двумерный человек видит только прямую l из плоскости y, так как она находится в его пространстве x. Полуплоскости y₁ и y₂ ему невидимы, поэтому двумерный человек, находящийся в плоскости x увидит точку (плоский мяч коснулся прямой), которая затем раздвоится (мяч пересёк прямую). Далее, по мере движения мяча, точки будут расходиться, пока прямая пересечения плоскостей не совпадет с диаметром мяча, затем всё будет происходить в обратном порядке.

Теперь нетрудно понять, что мы увидим, находясь в трёхмерном пространстве P, в случае, когда мяч, запущенный ногой футболиста, находящегося в Q, пересечёт наше пространство. Вначале на плоскости α. появится точка, которая сразу же преобразуется в постепенно увеличивающуюся окружность, являющуюся пересечением плоскости α и мяча. Достигнув своего максимума, при радиусе равном радиусу футбольного мяча, она постепенно начнет уменьшаться до тех пор, пока не выродится обратно в точку и исчезнет с поля зрения (рис. 5). Что же мы увидим, когда вслед за мячом пробежит сам футболист, оставим вообразить читателю. Для интереса же представим, что произойдет, если футболист, каким-то невероятным способом, находясь в пространстве Q, случайно свернёт в наше пространство P (см. рис.6).

Вид мяча, пересёкшего пространство наблюдателя, в динамике.

Появление футболиста в пространстве P из пространства Q.

Рассмотрим случай, когда пространства параллельны.

В двумерном варианте легко представить две параллельные плоскости. Трёхмерное пространство можно представить как бесконечную совокупность параллельных «слипшихся» плоскостей. Такое представление можно получить, глядя на колоду карт, где каждая карта ассоциируется с плоскостью или книгой, где роль плоскостей выполняют листы данной книги.

Четырёхмерное пространство тоже представляет совокупность «слипшихся», но уже трехмерных параллельных пространств. Попытайтесь представить в своём воображении два параллельных (слипшихся), т.е. расположенных очень близко друг к другу, трёхмерных пространства. У вас ничего не получится. Пространства, которые мы хотим представить в своём воображении, либо начинают пересекаться, либо не хотят сближаться, отталкиваясь друг от друга.

Разберёмся в причине нашей неудачи. Для этого проанализируем, как попытается представить двумерный человек, живущий в плоскости x, две очень близко лежащие друг к другу параллельные плоскости y и z. Так как для двумерного человека не существует третьего измерения h (рис. 7а)), то он будет вынужден расположить их в своем пространстве, хотя в реальности они будут располагаться перпендикулярно (или под некоторым углом) пересекая плоскость x (рис. 7б)). Теперь сразу же становится очевидным, в чём состоит причина нашей неудачи. Мы пытаемся поместить два трёхмерных пространства в одно трехмерное пространство, в котором находимся (рис. 7с)), когда же они должны простираться по четвёртому, недоступному нам измерению. Понятно, что они никак не смогут казаться слипшимися.

а) Двумерный человек пытается представить две параллельные плоскости.

б) Реальное расположение параллельных плоскостей.

c) Мы пытаемся поместить два трёхмерных пространства в одно трехмерное пространство.

Заметим, что трёхмерное пространство можно представить как след, оставляемый плоскостью в результате её движения по заданному направлению (рис. 8).

Трёхмерное пространство, получаемое движением плоскости.

Теперь, как и ранее, рассмотрим пространства P и Q, пересекающиеся по плоскости α (рис. 9 а)). Каждое из пространств можно получить движением плоскости α соответственно направлениям осей координат x и t.

Далее проведём в пространстве P плоскость β на очень близком расстоянии параллельно плоскости α. Очевидно, β не будет находиться в пространстве Q. Начнём движение данных плоскостей по направлению t так, что в любой момент t движущиеся плоскости были параллельны и близки друг к другу. Тогда пространство Q и пространство Q_β, полученные движением соответственно плоскостей α и β, параллельны, и будут находиться на очень близком расстоянии друг от друга (на расстоянии, равном расстоянию между плоскостями α и β, по измерению x). Тогда два трёхмерных тела, например, два шара, находящиеся в совершенно разных, но близких друг к другу параллельных пространствах Q и Q_β, могут оказаться очень близкими («слипшимися») (рис. 9б)).

а) Плоскость β из пространства P близка и параллельна плоскости α

и не находится в пространстве Q.

б) Совокупности плоскостей, полученных движением плоскостей α и β по направлению t,

образуют близкие друг к другу параллельные пространства Q и Q_β. Изображённые шары, находящиеся в этих пространствах, близки друг к другу по всем точкам («слипшиеся» шары).

Всё четырёхмерное пространство можно рассматривать как совокупность параллельных, очень близко расположенных («слипшихся») трёхмерных пространств. Если в качестве четвёртого измерения взять время, то движение человека на машине времени будет соответствовать переходу из одного параллельного пространства в другое. В этом случае, в отличие от пересекающихся пространств, когда мы видим только сечение объекта, который движется по второму пространству, пересекая наше, перед нами неожиданно возникнет машина времени с сидящим в ней человеком, которая растворится в прошлом или будущем в зависимости от направления её движения.

Мы поняли, что трёхмерные пространства пересекаются по плоскости.

Четырёхмерное пространство можно представить как совокупность «слипшихся» параллельных трёхмерных пространств.

Получили представление о «слипшихся» трёхмерных телах, находящихся в параллельных пространствах.

Что собой представляет собой четырехмерный шар? Чтобы ответить на этот вопрос проанализируем то, как устроен наш обычный трёхмерный шар, с точки зрения двумерного человека. Безусловно, полностью шар он видеть не может, в его поле зрения находится только двумерная сфера — окружность, окаймляющая двумерный круг, и являющаяся пересечением мира двумерного человека с шаром (то, что находится внутри окружности, ему не видно. Рис10 а)). При переходе в параллельные пространства окружность будет сужаться, пока не выродится в точку (рис. 10 б)).

а) Двумерному человеку видна только часть окружности, окаймляющая круг, являющийся пересечением плоскости и шара.

б) При переходе человека в параллельные плоскости окружность постепенно выродится в точку.

В случае четырёхмерного шара, поле зрения человека ограничено пространством, в котором он находится. По аналогии можно предположить, что он видит сферу, окаймляющую шар, являющуюся пересечением данного трёхмерного пространства с четырёхмерным шаром. При переходе в параллельные пространства сфера также будет уменьшаться в радиусе, пока не выродится в точку (рис. 11 а)). Теперь постараемся более подробно разобраться, что за шары мы видим, и как они образуют четырёхмерный шар.

Рассмотрим трёхмерный шар 2 (рис. 11 б)) и его сечения параллельными плоскостями. Совокупность этих параллельных плоскостей образуют трёхмерное пространство с измерениями y, z, t, в котором находится искомый шар 2. Каждая из этих плоскостей своим движением по направлению x образуют «слипшиеся» трёхмерные пространства. Именно в этих пространствах находятся трёхмерные шары (см. шар 1), которые мы наблюдаем при (описанных выше) переходах в параллельные пространства (рис. 11а)). Совокупность данных шаров будет образовывать четырёхмерный шар. Таким образом, четырёхмерный шар есть совокупность слипающихся по всем точкам шаров, уменьшающихся в размерах, которая и образует геометрический образ четырёхмерного шара. Однако мы не можем увидеть общую цельную картину шара, так как не можем видеть вне нашего пространства.

а) Видимые человеком, при переходах в параллельные пространства, шары, уменьшающиеся в размерах.

б) Четырёхмерный шар представляет собой совокупность уменьшающихся «слипшихся» шаров, являющихся сечениями четырёхмерного шара трёхмерными пространствами, параллельными пространству P.

Рассмотрим четырёхмерный шар с разных сторон. Наблюдатель, находящийся в трехмерном пространстве P с измерениями y, z, t и смотрящий по направлению t, будет видеть шар (рис. 12), который состоит из сечений шаров, образующих четырёхмерный шар (на рис. 11 это шар 2).

Наблюдатель, находящийся в пространстве Q и смотрящий по направлению x, так же увидит трёхмерный шар (рис 12). Таким образом, наблюдатели, находящиеся в пространствах P и Q, видят одну и ту же картинку – трёхмерный шар. Однако шары, которые они наблюдают, являются различными геометрическими объектами, находящимися в различных пространствах и пересекающимися по двумерному кругу.

Наблюдатели, находящиеся в пересекающихся пространствах P и Q видят трёхмерный шар. Однако на самом деле они обозревают различные шары, пересекающиеся по кругу.

К нашему сожалению, как было отмечено выше, поле нашего зрения ограничивается трёхмерным пространством, поэтому мы не можем видеть четырёхмерные образы в целом. Тем не менее, британский математик Ч.Хинтон (1853-1907) разработал особый метод построения моделей геометрических фигур в четырехмерном пространстве по их трехмерным сечениям. Этот метод подробно изложен в двух его монографиях [1,2]. Хинтон утверждал, что в результате многолетней работы, в основе которой лежал этот особый метод, он научился мысленно представлять геометрические образы в четырехмерном пространстве. Он также полагал, что человек, достаточно хорошо овладевший этим методом, обретет интуитивное представление о четырехмерном пространстве.

Hinton Charles H. ANewEraofThought, orig. 1888, reprinted 1900, by Swan Sonnenschein&Co. Ltd., London;

Hinton Charles H. The Fourth Dimension, orig. 1904, 1912 by Ayer Co., Kessinger Press reprint, ISBN 0-405-07953-2, scanned version available online at the Internet Archive.

Какова геометрия Вселенной?

Облачные решения хороши тем, что позволяют создавать проекты любой сложности, вплоть до виртуального дата-центра. Если попробовать визуализировать эти структуры, то получится этакая мини-вселенная. Давайте поиграем с геометрией, попробовав визуализировать разные модели нашей вселенной.

В нашем сознании вселенная кажется бесконечной. Но с помощью геометрии мы можем рассмотреть различные трехмерные формы, которые предлагают альтернативу «обычному» бесконечному пространству.

Когда смотришь на ночное небо, кажется, будто пространство расширяется во всех направлениях. Такова наша ментальная модель вселенной, но она не всегда является верной. В конце концов, было время, когда все думали, что Земля плоская, потому что изгибы нашей планеты было чрезвычайно трудно заметить, а уж про сферическую форму Земли и вовсе не думали.

Сегодня мы знаем, что Земля имеет форму сферы. Но мало кто задумывается о форме Вселенной. Подобно тому, как сфера стала альтернативой плоской Земле, другие трехмерные формы предлагают альтернативу «обычному» бесконечному пространству.

Мы можем задать два разных, но все же тесно связанных между собой вопросов о форме Вселенной. Один из них касается её геометрии: мелкозернистых локальных измерений таких элементов, как углы и области. Другой — о топологии: как эти локальные части сшиваются в общую форму.

Космологические данные свидетельствуют о том, что часть Вселенной, которую мы можем видеть, гладкая и однородная, по крайней мере приблизительно. Локальная ткань пространства выглядит одинаково в каждой точке и во всех направлениях. Только три геометрические формы подходят под это описание: плоская, сферическая и гиперболическая. Давайте рассмотрим эти модели, некоторые топологические предположения а также то, что говорят космологические данные о формах лучше всего описывающих нашу вселенную.

Плоская геометрия (планиметрия)

Это геометрия, которую мы изучали в школе. Углы треугольника составляют 180 градусов, а площадь круга — πr2. Самым простым примером плоской трёхмерной формы является обычное бесконечное пространство — то, что математики называют евклидовым пространством, — но есть и другие плоские формы, которые тоже нужно учитывать.

Эти формы сложнее визуализировать, но мы можем попробовать пофантазировать, думая в двух измерениях, а не в трёх. В дополнение к обычной евклидовой плоскости, мы можем создать другие плоские формы, вырезая часть плоскости и скрепляя её края вместе. Например, предположим, что мы вырезаем прямоугольный лист бумаги и скрепляем его противоположными краями. Склеивание верхней и нижней граней даёт нам цилиндр:

Потом мы можем заклеить правый и левый края, чтобы получить пончик (то, что математики называют тором):

Теперь вы, наверное, думаете: «но мне не кажется это плоским». И будете правы. Мы немного сжульничали, описывая, как устроен плоский тор. Если бы вы действительно попытались сделать тор из листа бумаги таким образом, вы бы столкнулись с определенными трудностями. Сделать цилиндр было бы легко, но заклеить концы цилиндра у вас бы не вышло: Бумага сминалась бы по внутреннему кругу тора и не растягивалась бы достаточно далеко по внешнему кругу. Вместо бумаги пришлось бы использовать какой-нибудь растягивающийся материал. Но это растяжение искажает длины и углы, меняя геометрию.

Внутри обычного трёхмерного пространства невозможно построить реальный, гладкий физический тор из плоского материала без искажения его геометрии. Но мы можем отвлечённо порассуждать о том, каково это — жить внутри плоского тора.

Представьте, что вы двумерное существо, чья вселенная — плоский тор. Поскольку геометрия этой вселенной происходит от плоского листа бумаги, все геометрические факты, к которым мы привыкли, такие же, только в маленьком масштабе: углы в треугольнике суммируются до 180 градусов и так далее. Но изменения, которые мы внесли в глобальную топологию путём вырезания и заклеивания, означают, что опыт пребывания в торе будет сильно отличаться от того, к чему мы привыкли.

Для начала, на торе есть прямые пути, которые изгибаются и возвращаются туда, откуда начинались:

Эти пути выглядят изогнутыми на искаженном торе, но обитателям плоского тора они кажутся прямыми. А так как свет распространяется по прямым путям, то если посмотрите прямо, то увидите себя сзади:

На листе бумаги свет, который вы видите, проходил сзади, пока не достигал левого края, а затем снова появился справа, как будто в видеоигре:

Можно представить это иначе. Например, вы (или луч света) пересекаете одну из четырёх границ, появляясь в том, что кажется новой «комнатой». Но на самом деле это та же самая комната, только увиденная с новой перспективы.

Это значит, что вы также можете видеть бесконечное множество различных копий себя, глядя в разных направлениях. Это своего рода эффект «Зеркального коридора», за исключением того, что копии вас не являются отражениями:

На пончике они соответствуют множеству различных колец, по которым свет может перемещаться от вас к вам:

Точно так же мы можем построить плоский трехмерный тор, приклеив противоположные стороны куба. Визуализировать это пространство как объект внутри обычного бесконечного пространства не получится, но мы можем абстрактно рассуждать о жизни внутри него.

Подобно тому, как жизнь в двухмерном торе была подобна жизни в бесконечном двухмерном массиве одинаковых прямоугольных комнат, жизнь в трёхмерном торе подобна жизни в бесконечном трёхмерном массиве одинаковых кубических комнат. Вы увидите бесконечно много копий себя:

Трёхмерный тор — всего лишь один из 10 различных плоских конечных миров. Существуют также плоские бесконечные миры, такие как трехмерный аналог бесконечного цилиндра. В каждом из этих миров существует разный набор зеркальных залов.

Является ли наша Вселенная одной из этих плоских форм?

Когда мы смотрим в космос, мы не видим бесконечно много копий себя. Тем не менее, на удивление трудно исключить эти плоские формы. Во-первых, они все имеют одну и ту же локальную геометрию, что и евклидово пространство, поэтому никакое локальное измерение не может различить их.

И если бы вы увидели копию себя, то это далёкое изображение показало бы, как вы (или ваша галактика, например) выглядели в далеком прошлом, так как свет должен был долго путешествовать, чтобы добраться до вас. Может быть, мы видим там неузнаваемые копии себя. Что ещё хуже, разные копии себя, как правило, находятся на разных расстояниях от вас, поэтому большинство из них будут выглядеть по-разному. И, возможно, они всё равно слишком далеко, чтобы мы могли их увидеть.

Чтобы обойти эти сложности, астрономы, как правило, ищут не копии самих себя, а повторяющиеся черты в самом дальнем из того, что мы можем видеть: космическое микроволновое фоновое (CMB) излучение, оставшееся после Большого взрыва. На практике это означает поиск пар кругов в реликтовом излучении, которые имеют совпадающие узоры горячих и холодных точек, что позволяет предположить, что это действительно один и тот же круг, который мы видим с двух разных точек.

В 2015 году астрономы провели именно такой анализ, используя данные с космического телескопа Планка. Они прочесали данные о видах совпадающих кругов, которые мы ожидали увидеть внутри плоского трехмерного тора или другой плоской трехмерной формы, называемой пластиной, но им не удалось их найти.

Это означает, что если мы действительно живем в торе, то он, вероятно, настолько велик, что любые повторяющиеся узоры лежат за пределами наблюдаемой вселенной.

Сферическая геометрия

Мы все знакомы с двумерными сферами — поверхностью шара, апельсина, Земли. Но что бы означало для нашей вселенной быть трёхмерной сферой?

Сложно представить себе трёхмерную сферу, но её легко описать с помощью простой аналогии. Подобно тому, как двумерная сфера — это совокупность всех точек на фиксированном расстоянии от некоторой центральной точки в обычном трёхмерном пространстве, так и трёхмерная сфера (или «трехсфера») — это совокупность всех точек на фиксированном расстоянии от некоторой центральной точки в четырёхмерном пространстве.

Жизнь в трёх сферах сильно отличается от жизни в плоском пространстве. Чтобы почувствовать это, представьте, что вы двухмерное существо, живущее в двухмерной сфере. Двухмерная сфера — это вся Вселенная — вы не можете видеть и не можете получить доступ ни к одному из окружающих трёхмерных пространств. Внутри этой сферической вселенной свет движется по кратчайшим путям: по большим кругам. Для вас эти большие круги кажутся прямыми линиями.

Теперь представьте, что вы и ваш двумерный друг тусуетесь на Северном полюсе, и ваш друг идет на прогулку. В то время как ваш друг прогуливается, вначале он будет становиться все меньше и меньше в вашем зрительном пространстве, так же, как и в нашем обычном мире (хотя он не будет уменьшаться так быстро, как мы привыкли). Это из-за того, что пока ваше зрительное пространство будет увеличиваться, ваш друг будет занимать все меньше и меньше места в нём:

Но как только друг проходит экватор, происходит что-то странное: он начинает казаться всё больше и больше, чем дальше уходит. Это потому, что процент, который он занимает в вашем зрительном пространстве, растёт:

Когда ваш друг будет в трёх метрах от Южного полюса, он будет выглядеть такими же большими, как и в трёх метрах от вас:

А когда он достигнет самого Южного полюса, его можно будет увидеть во всех направлениях, так что он заполнит весь ваш визуальный горизонт:

Если на Южном полюсе никого нет, то ваш визуальный горизонт — это нечто ещё более странное: вы сами. Всё потому, что свет, исходящий от вас, будет идти по всей сфере, пока не вернется к вам.

Это можно соотнести с жизнью в трёхмерной сфере. Каждая точка на трёхсфере имеет противоположную точку, и, если там есть объект, мы увидим его как фон, будто это небо. Если же там ничего нет, то вместо этого мы увидим самих себя в качестве фона – будто наш экстерьер был наложен на воздушный шар, затем вывернут наизнанку и надут, чтобы стать целым горизонтом.

Трёхсфера является фундаментальной моделью сферической геометрии, но это не единственное такое пространство. Подобно тому, как мы строили плоские пространства, вырезая кусок из евклидового пространства и склеивая его, мы можем строить сферические пространства, склеивая подходящий кусок из трех сфер. Каждая из этих склеенных форм, как и в торе, будет иметь эффект «лабиринта отражений», но в этих сферических формах есть только ограниченное количество комнат, через которые можно пройти.

Может ли наша Вселенная быть сферической?

Даже самые самовлюбленные люди не могут представить себя фоном всего ночного неба. Но, как и в случае с плоским тором, тот факт, что мы не видим какое-либо явление, не означает, что оно не может существовать. Окружность сферической вселенной может быть больше, чем размер обозримой вселенной, что делает фон слишком далёким, чтобы его можно было разглядеть.

Но в отличие от тора, сферическая вселенная может быть обнаружена с помощью чисто локальных измерений. Сферические формы отличаются от бесконечного евклидового пространства не только глобальностью топологии, но и тончайшей геометрией. Например, из-за того, что прямые линии в сферической геометрии представляют собой большие окружности, треугольники получаются более пухлые, чем их евклидовые аналоги, а сумма углов больше 180 градусов:

В сущности, измерение космических треугольников является основным способом, с помощью которого космологи проверяют, является ли Вселенная изогнутой. Для каждой горячей или холодной точки на космическом микроволновом фоне известны ее диаметр по горизонтали и расстояние от Земли, что образует три стороны треугольника. Мы можем измерить угол, под которым пятно скрывается в ночном небе — один из трёх углов треугольника. Затем проверить, подходит ли для плоской, сферической или гиперболической геометрии (в которой сумма углов треугольника больше 180 градусов) комбинация из длины сторон и измеренного угла.

Большинство таких исследований, наряду с другими измерениями кривизны, свидетельствуют о том, что Вселенная либо плоская, либо очень близка к плоской. Но одна исследовательская группа недавно заявила, что часть данных, полученных с помощью космического телескопа Планка в 2018 году, свидетельствуют о существовании сферической вселенной. Другие исследователи возражают против этого утверждения, полагая, что это скорее всего, статистическая случайность.

Гиперболическая геометрия

В отличие от сферы, которая изгибается сама по себе, гиперболическая геометрия раскрывается вовне. Это геометрия гибких шляп, коралловых рифов и седел. Базовая модель гиперболической геометрии – это бесконечное пространство, подобно плоскому евклидовому пространству. Но поскольку гиперболическая геометрия распространяется наружу намного быстрее, чем плоская, не существует способа поместить даже двумерную гиперболическую плоскость внутри обычного евклидового пространства, если только мы не хотим исказить его геометрию. Здесь, например, искажено представление о гиперболической плоскости, известной как диск Пуанкаре:

С нашей точки зрения, треугольники вблизи пограничного круга выглядят намного меньше, чем вблизи центра, но с точки зрения гиперболической геометрии все треугольники одинакового размера. Если бы мы попытались сделать треугольники одинакового размера – например, используя растягивающийся материал для нашего диска и увеличивая каждый треугольник по очереди, выходя наружу из центра, — наш диск стал бы похож на гибкую шляпу и сгибался бы все больше и больше по мере того, как мы прокладывали себе путь наружу. По мере приближения к границе, этот изгиб становился бы все более неконтролируемым.

С точки зрения гиперболической геометрии, граничная окружность бесконечно далека от любой внутренней точки, так как для этого нужно пересечь бесконечно много треугольников. Таким образом, гиперболическая плоскость простирается до бесконечности во всех направлениях, точно так же, как и евклидовая плоскость. Но с точки зрения локальной геометрии жизнь в гиперболической плоскости сильно отличается от того, к чему мы привыкли.

В простой евклидовой геометрии окружность прямо пропорциональна её радиусу, но в гиперболической геометрии окружность растет экспоненциально по сравнению с радиусом. Мы можем видеть экспоненциальное скопление в массах треугольников вблизи границы гиперболического диска.

Из-за этой особенности математики любят говорить, что в гиперболическом пространстве легко заблудиться. Если ваш друг уйдёт от вас в обычном евклидовом пространстве, он начнёт выглядеть меньше, но это будет происходить медленно, потому что ваш визуальный круг растёт не так стремительно. В гиперболическом пространстве ваш зрительный круг растёт в геометрической прогрессии, так что вскоре ваш друг будет выглядеть сжатым до экспоненциально мелкой точки. Если вы внимательно не отследили его маршрут, найти дорогу к нему будет практически невозможно.

А в гиперболической геометрии сумма углов треугольника составляет менее 180 градусов — например, треугольники в нашей плитке диска Пуанкаре имеют углы, составляющие 165 градусов:

Боковые стороны этих треугольников не выглядят прямыми, но это только потому, что мы смотрим на гиперболическую геометрию через искаженную линзу. Для жителя диска Пуанкаре эти кривые являются прямыми линиями, потому что самый быстрый способ добраться из точки A в точку B – срезать путь к центру:

Есть вполне закономерный способ изготовления трехмерного аналога диска Пуанкаре – просто сделайте трехмерный шар и заполните его трехмерными формами, которые становятся меньше по мере приближения к граничной зоне, как треугольники в диске Пуанкаре. И точно так же, как в плоской и сферической геометрии, мы можем сделать ряд других трехмерных гиперболических пространств, вырезая подходящий кусок трехмерного гиперболического шарика и склеивая его грани.

Может ли наша Вселенная быть гиперболической?

Гиперболическая геометрия, с ее узкими треугольниками и экспоненциально растущими кругами, не похожа на геометрию пространства вокруг нас. И действительно, как мы уже видели, большинство космологических измерений указывают на плоскую вселенную.

Но при этом возможность того, что мы живем либо в сферическом, либо в гиперболическом мире, не исключена, так как маленькие кусочки обоих этих миров выглядят почти плоскими. Например, малые треугольники в сферической геометрии имеют углы, которые составляют лишь чуть более 180 градусов, а малые треугольники в гиперболической геометрии имеют углы, которые составляют лишь чуть менее 180 градусов.

Неспроста древние люди считали, что Земля плоская – кривизна Земли была слишком мала, чтобы ее можно было обнаружить. Чем больше сферическая или гиперболическая форма, тем более плоская каждая маленькая деталь. Поэтому, если наша Вселенная имеет чрезвычайно большую сферическую или гиперболическую форму, то та часть, которую мы можем наблюдать, может быть настолько близка к плоской, что ее кривизна может быть обнаружена только с помощью сверхточных приборов, которые нам ещё только предстоит изобрести.

Что ещё полезного можно почитать в блоге Cloud4Y

Подписывайтесь на наш Telegram-канал, чтобы не пропустить очередную статью. Пишем не чаще двух раз в неделю и только по делу.